圆锥的侧面积和全面积_同步练习(含答案)

24.4.2 圆锥的侧面积和全面积

一、课前预习(5 分钟训练)

1._________________________________________________________________________ 圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm，这个圆锥的底面圆的半径为_____________ cm，高为

2

_______ cm ，侧面积为____ cm 2.

2.___________________________________________________________________________ 圆锥的轴截面是一个边长为10 cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为___________ cm2，锥角为______ ，高为_____ cm.

3.已知Rt△ABC 的两直角边AC=5 cm ，BC=12 cm，则以BC 为轴旋转所得的圆锥的侧面积

为_______ cm2，这个圆锥的侧面

展开图的弧长为____________________________________ cm，面积为______ cm2.

4.如图24-4-2-1 ，已知圆锥的底面直径为

二、课中强化(10 分钟训练)

1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为(

22

A. 6 m 2

B.6 πm 2

4 m ，母线长为 3 m，为防雨需在粮仓的顶)

22

C.12 m2

D.12 πm 2

2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为

(

)

A.a

3

B. a

3 C.3a

3

D. a

2

3.用一张半径为9 cm、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是cm.

4.如图24-4-2-2，已知圆锥的母线长OA=8 ，地面圆的半径r=2.若一只小虫从 A 点出发，绕

圆锥的侧面爬行一周后又回到 A 点，则小虫爬行的最短路线的长是(结果保留根式).

5.一个圆锥的高为 3 3 cm，侧面展开图是半圆，

求：(1)圆锥母线与底面半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积

三、课后巩固 （30 分钟训练 ）

2

1.

已知圆锥的母线与高的夹角为 ______________ 30°，母

线长为 4 cm ，则它的侧面积为 _____________________________________ cm 2（结

果 保留π）.

2.

如图 24-4-2-3 ，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为

6 m 的正三角形 ABC ，母线 AC 的中

点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从 B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短

路程是 ________ m.（结果不取近似数 ）

3. ___________________________________________________________________ 若圆锥的底面直

径为 6 cm ，母线长为 5 cm ，则它的侧面积为 __________________ .（ 结果保留π）

4. 在 Rt △ABC 中，已知 AB=6 ，AC=8，∠A=90°.如果把 Rt △ ABC 绕直线 AC 旋转

一周得到 一个圆锥，其全面积为 S 1；把 Rt △ABC 绕直线 AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积

为 S 2.那么 S 1∶ S 2等于 ( )

5. 如图 24-4-2-4 是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示

意图，

积为 _________ cm 2（不考虑接缝等因素，计算结果用 π表示 ）.

7.在半径为 27 m 的广场中央，点 O 的上空安装了一 个照明光源 S ，S 射向地面的光

束呈圆

锥形，其轴截面 SAB 的顶角为 120°（如图 24-4-2-5） ，求光源离地面的垂直高度

图 24-4-2-3

A.2∶3

B.3∶4

C.4∶9

D.5 ∶12

则围成这个灯罩的铁皮的面

6.制作一个底面直径为 30 cm 、高为 40 cm 的圆柱形无盖铁桶

,所需铁皮至少为 （ 2

A.1 425 πcm

2

B. 1 650

πcm

2

C. 2 100 πcm

2

D. 2 625 πcm

SO.（精确

到0.1 m； 2 =1.414， 3 =1.732， 5 =2.236 ，以上数据供参考)

图24-4-

、课前预习 （5 分钟训练 ）

2

_______ cm ，侧面积为 ____ cm .

思路解析：圆的面积为

S=π2r ，所以 r= 25 =5(cm) ；圆锥的高为 132 52 =12(cm) ；

1 侧面积为 ×10π· 2

答案： 5 12 65π

2

13=65 π). (cm

2.圆锥的轴截面是一个边长为 ________________________________________ 10 cm 的

正三角形，则这个圆锥的侧面积为 ___________________________________ cm 2

，锥

角为 ______ ，高为 _____ cm.

12

思路解析： S 侧面积= ×10π× 10=50 π2）；（cm 锥角为正三角形的内角，高为正三角形的高

2

答案： 50π 60° 5 3

3.已知 Rt △ABC 的两直角边 AC=5 cm ， BC=12 cm ，则以 BC 为轴旋转所得的圆锥的

侧面积

为 ________ cm 2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为 ____ cm ，面积为 _______

2 cm .

思路解析：以 BC 为轴旋转所得圆锥的底面半径为 5 cm ，高为 12 cm ，母线长为

13 cm.

利用公式计算 . 答案： 65π 10π 65π

4.如图 24-4-2-1 ，已知圆锥的底面直

径为

思路解析：圆锥的全面积为侧面积加底面积 答案： 16π

二、课中强化 （10 分钟训练 ）

1. 粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直参考答案

1.圆锥的底面积为 25π，母线长为 13 cm ，这个圆锥的底面圆的半径为 _______ cm ，高为

4 m ，母线长为 3 m ，为防雨需在粮仓的顶

径是

部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为 ( )

2 2 2 2

A.6 m

B.6 πm

C.12 m

D.12 πm

1 1

2 思路解析：侧面积 = 底面直径·π母·线长 = ×4×π× 3=62)π. (m

22

答案： B

2.

若圆锥的侧面展开图是一个半径为 a 的半圆，则圆

锥的高为 ( )

思路解析：展开图的弧长是 aπ，故底面半径是 a ，这时母线长、底面半径和高构成直角

2

三角形 . 答案： D

3. 用一张半径为 9 cm 、圆心角为 120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面 (不

计接缝 )，

那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是 _____ cm.

120 9

6

思路解析：扇形的弧长为 =6π (cm ，) 所以圆锥底面圆的半径为 =3(cm).

180 2

答案： 3

4. 如图 24-4-2-2，已知圆锥的母线长 OA=8 ，地面圆的半径 r=2.若一只小虫从 A 点出

发，绕

圆锥的侧面爬行一周 后又回到 A 点，则小虫爬行的最短路线的长是 __ (结果保留 根式 ).

A.a

B. 3 a

C.3a

3 D. a

2

思路解析：如图，圆锥的侧面展开图是扇形，它的圆心角是 2 2 180

2 28

180

=90°，连结

AB，则△ AOB 是等腰直角三角形，8282 =8 2 .

答案：8 2

5.一个圆锥的高为 3 3 cm，侧面展开图是半圆，

求：(1)圆锥母线与底面半径的比；

(2)锥角的大小；

(3) 圆锥的全面积.

思路分析：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径，底面周长是展开扇形的弧长.锥角是轴截面的等腰三角形的顶角.知道圆锥母线和底面半径，就可由扇形面积公式求侧面积，底面积加侧面积就得圆锥全面积.

解：如图，AO 为圆锥的高，经过AO 的截面是等腰△ ABC ，则AB 为圆锥母线l，BO 为底面半径r.

(1)因圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr= π，l则l =2.

r

(2)因l=2，则有AB=2OB ，∠ BAO=30°，所以∠ BAC=60°，即锥角为60°.

r

(3)因圆锥的母线l，高h和底面半径r构成直角三角形，所以l2=h2＋r2；又

l=2r ，h=3 3

cm，则r=3 cm ，l=6 cm.

所以S 表=S 侧＋S底=πr＋l π2r=3· 6＋π32π =27π (c2m).

三、课后巩固(30 分钟训练)

1.已知圆锥的母线与高的夹角为______________________________________ 30 °，母线长为 4 cm，则它的侧面积为cm2(结果

保留π ).

11

思路解析：S 圆锥侧= × 2×π×× 4× 4=8 π.

22

答案：8π

2.如图24-4-2-3 ，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为 6 m的正三角形ABC ，母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从 B 处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是_____ m.(结果不取近似数)

图24-4-2-3

180 6

则扇形的圆心角为

=180 °,因为 P 在AC 的中点上，

6

所以∠ PAB=90° .在 Rt △ PAB 中， PA=3 ，AB=6 ， 则 PB= 62 32 =3 5 . 答案： 3 5

3. ___________________________________________________________________ 若圆锥的底面直径

为 6 cm ，母线长为 5 cm ，则它的侧面积为 _____________________ .（ 结果保留 π）

思路解析：已知底面直径和 母线长直接代入圆锥侧面积公式即可 .

设圆锥底面半径为 r ，母线为 l ，则 r=3 cm ，l=5 cm ，∴ S 侧=πr ·l=π×3×5=152π）.

（cm 答案： 15π cm 2

4. 在 Rt △ABC 中，已知 AB=6 ，AC=8 ，∠ A=90°.如果把 Rt △ ABC 绕直线 AC 旋转一

周得到 一个圆锥，其全面积为 S 1；把 Rt △ ABC 绕直线 AB 旋转一周得到另一个圆锥，其全面积 为 S 2.那么 S 1 ∶ S 2 等于 （ ）

A.2∶3

B.3∶4

C.4∶9

D.5 ∶12

思路解析：根据题意分别计算出 S 1 和 S 2 即得答案 .在求 S 1和 S 2时，应分清圆锥侧

面展

开图（扇形）的半径是斜边 BC ，弧长是以 AB （或 AC ）为半径的圆的周长 . ∵∠ A=90°，AC=8 ，AB=6 ，∴ BC= AC 2 AB 2= 82 62 =10.

当以 AC 为轴时， AB 为底面半径， S 1=S 侧＋S 底=πAB ·B ＋C πAB 2=π×6×＋1π0 ×

36=96 π. 当以 AB 为轴时， AC 为底面半径， S 2=S 侧＋S 底=80 π＋ π×28=144 π.

∴S 1∶ S 2=96π∶ 144 π =∶2 3，故选 A. 答案 :A

5.

如图 24-4-2-4 是小芳学习时

使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，

则围成这个灯罩的铁皮的面

2

积为 _________ cm 2（不考虑接缝等因素，计算结果用 π表示 ）.

思路解析：小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的 PB （

如图 ）

.

图24-4-2-4

1

2

思路解析：由题意知：S侧面积= ×30π× 20=300 π2).( cm

2

答案：300π

6.制作一个底面直径为30 cm、高为40 cm 的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为( )

2 2 2 2

A.1 425 πcm 2

B.1 650 πcm 2

C.2 100 πcm 2

D.2 625 πcm 2

思路解析:由题意知S铁皮=底面积+侧面积=π× 125+40× 2π× 15=15×95π=1 425 π.

答案:A

7.在半径为27 m 的广场中央，点O 的上空安装了一个照明光源S，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°(如图24-4-2-5) ，求光源离地面的垂直高度SO.(精确到0.1 m；2 =1.414，3 =1.732，5 =2.236 ，以上数据供参考)

图24-4-2-5

思路分析：利用勾股定理和30°的角所对的直角边等于斜边的一半解题.

解：在△ SAB 中，SA=SB ，∠ ASB=120° .

∵SO⊥AB ，∴ O 为AB 的中点，且∠ ASO= ∠ BSO=6°0 ，∠ SAO=3°0 .

在Rt△ASO中，OA=27 m，设SO=x，则AS=2x，∴272+x2=(2x)2.∴x=9 3 ≈

15.6(m).

答：光源离地面的垂直高度SO 为15.6 m.