代数学引论第二版答案
代数学引论第二版答案
【篇一：代数学引论第一章答案】
则g. 证明: 对任意a,b错误！未找到引用源。g,由结合律我们可得
到
(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b
再由已知条件以及消去律得到
ba=ab,
由此可见群g为交换群.
2. 如果群g中,每个元素a都适合a2=e, 则g为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,b错误！未找到引用源。g,
ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)
=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab
因此g为交换群.
[方法2] 对任意a,b错误！未找到引用源。g,
a2b2=e=(ab)2,
由上一题的结论可知g为交换群.
3. 设g是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件: (1)
a(bc)=(ab)c; (2) 由ab=ac推出b=c; (3) 由ac=bc推出a=b; 证明g
在该乘法下成一群. 证明:[方法1]
设g={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若i错误！未找到引用源。j(i,j=1,2,…,n),有
akai错误！未找到引用源。ak aj------------1 aiak错误！未找到引用源。aj ak------------2
再由乘法的封闭性可知
g={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------3
g={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------4
由1和3知对任意at错误！未找到引用源。g, 存在am错误！未找
到引用源。g,使得
akam=at.
由2和4知对任意at错误！未找到引用源。g, 存在as错误！未找
到引用源。g,使得
asak=at.
由下一题的结论可知g在该乘法下成一群.
下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法2]
为了证明g在给定的乘法运算下成一群，只要证明g内存在幺元(单
位元)，并且证明g内每一个元素都可逆即可.为了叙述方便可设
g={a1,a2,…,an}. (Ⅰ) 证明g内存在幺元.
1 存在at错误！未找到引用源。g，使得a1at=a1.(这一点的证明并
不难，这里不给证明); 2 证明a1at= ata1; 因为
a1(ata1)at=(a1at) (a1at)=(a1)2 a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)=
(a1)2,
故此
a1(ata1)at= a1(a1at)at.
由条件(1),(2)可得到
a1at= ata1.
3 证明at就是g的幺元; 对任意ak错误！未找到引用源。g,
a1(atak) =(a1at)ak=a1ak
由条件(2)可知
atak=ak.
类似可证
akat=ak.
因此at就是g的幺元. (Ⅱ) 证明g内任意元素都可逆；
上面我们已经证明g内存在幺元，可以记幺元为e，为了方便可用a,b,c,…等符号记g内元素.下面证明任意a错误！未找到引用源。g，存在b错误！未找到引用源。g，使得
ab=ba=e.
1 对任意a错误！未找到引用源。g，存在b错误！未找到引用源。g，使得
ab=e;
(这一点很容易证明这里略过.)
2 证明ba=ab=e; 因为
a(ab)b=aeb=ab=e a(ba)b=(ab)(ab)=ee=e
再由条件(2),(3)知
ba=ab.
因此g内任意元素都可逆.
由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1)可知g在该乘法下成一群.
4. 设g是非空集合并在g内定义一个乘法ab.证明:如果乘法满足结
合律,并且对于任一对元素a,b错误！未找到引用源。g,下列方程
ax=b和ya=b
取一元a错误！未找到引用源。g,因xa=a在g内有解, 记一个解为ea对任意 b错误！未找到引用源。g, ax=b在g内有解, 记一个解为c,那么有ac=b ,所以
eab= ea(ac)= (eaa)c=ac=b,
因此ea为g内的左幺元.
再者对任意d错误！未找到引用源。g, xd=ea在g内有解,即g内
任意元素对ea存在左逆元, 又因乘法满足结合律,故此g在该乘法下成一群.
[总结]
群有几种等价的定义:
(1) 幺半群的每一个元素都可逆，则称该半群为群.
(2) 设g是一个非空集合，g内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且g内包含幺元, g内任意元素都有逆元,则称g为该运算下的群.
(3) 设g是一个非空集合，g内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且g内包含左幺元, g内任意元素对左幺元都有左逆元,则称g 为该运算下的群.
(4) 设g是一个非空集合，g内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且对于任一对元素a,b错误！未找到引用源。g,下列方程
ax=b和ya=b
分别在g内恒有解，则称g为该运算下的群.
值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律, 则该半群一定是群.
5. 在s3中找出两个元素x,y,适合
(xy)2错误！未找到引用源。x2y2.
[思路] 在一个群g中，x,y错误！未找到引用源。g, xy=yx错误！未找到引用源。 (xy)2错误！未找到引用源。x2y2(这一点很容易证明).因此只要找到s3中两个不可交换的元素即可. 我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素. 解: 取
x=错误！未找到引用源。, y=错误！未找到引用源。
那么
(xy)2错误！未找到引用源。= x2y2.
[注意]
我们可以通过mathematica软件编写sn的群表,输出程序如下:
pr[a_,b_,n_]:=(*两个置换的乘积*)
(table[a[[b[[i]]]],{i,1,n}]);
se[n_]:=(*{1,2,…,n}的所有可能的排列做成一个表格*)
(permutations[table[i,{i,1,n}]]);
stable[n_]:=(*生成sn群表*)
(a=se[n];
table[pr[a[[i]],a[[j]],n],{i,1,n},{j,1,n}])
当n=3时群表如下：
123132213231312321
132123231213321312
213312123321132231
231321132312123213
31221332112323113 2
[说明]：错误！未找到引用源。表示置换错误！未找到引用源。, 剩下的类似.为了让更清楚，我们分别用e,a,b,c,d,f表示错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。那么群表如下:
6. 对于n2,作一阶为2n的非交换群.
7. 设g是一群, a,b错误！未找到引用源。g,如果a-1ba=br,其中r 为一正整数,证明a-ibai=错误！未找到引用源。. 证明：
我们采用数学归纳法证明.
当k=1时, a-1ba=br=错误！未找到引用源。, 结论成立；假设当
k=n时结论成立, 即a-nban=错误！未找到引用源。成立, 下面证明当k=n+1时结论也成立. 我们注意到
a-1bka=错误！未找到引用源。= bkr,
因此
a-(n+1)ban+1= a-1 (a-nban)a=a-1错误！未找到引用源。a=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, 可见k=n+1时结论也成立.由归纳原理可知结论得证.
8. 证明:群g为一交换群当且仅当映射错误！未找到引用源。是一同构映射. 证明:
(Ⅰ)首先证明当群g为一个交换群时映射错误！未找到引用源。是一同构映射.
由逆元的唯一性及错误！未找到引用源。可知映射错误！未找到引用源。为一一对应，又因为
错误！未找到引用源。,
并且群g为一个交换群,可得
错误！未找到引用源。.
因此有
错误！未找到引用源。.
综上可知群g为一个交换群时映射错误！未找到引用源。是一同构映射. (Ⅱ)接着证明当映射错误！未找到引用源。是一同构映射,则群g为一个交换群. 若映射错误！未找到引用源。是一同构映射,则对任意错误！未找到引用源。有
错误！未找到引用源。,
另一方面，由逆元的性质可知
错误！未找到引用源。.
因此对任意错误！未找到引用源。有
错误！未找到引用源。,
即映射错误！未找到引用源。是一同构映射,则群g为一个交换群.
9. 设s为群g的一个非空子集合，在g中定义一个关系a～b当且仅当ab-1∈s.证明这是一个等价关系的充分必要条件为s是一个子群.
【篇二：俄罗斯教材《代数学引论》的启迪】
ass=txt>庄瓦金
（漳州师范学院，福建，363000）
一《引论》的特色
1 继承性
在注意《引论》继承自己前辈工作之时，我们注意到《引论》三卷本与n.jacobson的《抽象代数学》三卷本[6]在分卷上的相似性，这也多少说明[3~5]继承了国际上代数教材的遗产，使得这三卷本能够更好地贯串一条主线。因此，《引论》的继承性不仅是莫斯科大学的，而且也包涵了全世界各著名大学的。
2 整体性
《引论》的特色不仅在于教材的系统性，更在于教材的整体性。首先是代数科学的整体性，中国的高等代数与抽象代数两门课程，在[3~5]中则整合为一，使整个代数教材的水平提高了一个层次，让学生尽早接触抽象代数思想，推进了学生对代数结构的理解。这显然对于学生的整个数学学习大有好处。其次是数学课程的整体性，《引论》第一卷的前言一开头就写到：“人们很早就感到有必要把代数、线性代数和几何放到一个统一的教程中。而教科书《代数学引论》自出版后的22年来可以看作是这种统一处理的初步考试。”因此，《引论》突出了代数与几何的统一；同时也注意了与分析的联系，特别是注意到了线性代数的两大后继课程：计算数学与泛函分
析，这不仅在教材中有交代，而且在基本术语上相一致，如“线性变换”称为“线性算子”。再次是数学语言的整体性，在[1]中，著者就注
意了范畴论，在[4]中注意了范畴中的“态射”，这或许影响了丘维声
在[7]中前言的用词。
3 权威性
4 先进性
《引论》第一卷的前言中，对第三卷有个说明：这里的代数属初等
水平，但充分包含了当代每个数学家所需的代数系统。因此可以猜想：《引论》是以培养数学家为目标的。这在以后的各卷中都有明
确的表露。在第一卷的第一章“代数的起源”中，在对高斯消元法作
注时，提及了1969年的施特拉辛的研究，为第二卷的待解问题：施
特拉辛问题作了伏笔。第一章7的例1是费马猜想，点出了费马数
的最新成果f1945；例2是欧拉研究的一个多项式：形如n2?n+41
的数；7的最后的例子是“给定圆周上任意n个点，确定由????条弦
划分的圆
?2?
?n?
内的区域数rn=1+?《引论》在阐述代数?2??+??4??，则留给读者
完成。由此可见，
????
起源时就把人们带进了解决数学难题的王国，为贯彻培养数学家的
宗旨打下基础。
再看《引论》各卷之末，第一卷是“关于多项式的公开问题”，第二
卷是“有待解决的问题”，第三卷是“未解决的问题”，都充分体现了《引论》培养数学家的宗旨。当然，《引论》没有直接这么说，但
在序言中明确写到：“教科书应当成为创造性思维的推动力”。著者
就是围绕某些基本问题刻意安排大量习题，并与这些猜想相串通，
以培养学生的创造性思维，为未来的数学家增进数学素质的。再加
上教材内容之深刻，将之综合，充分地体现了《引论》的先进性，
与欧美教材相比较，这种先进性也是世界的。 ?n??n?
二中国的矛盾
为了从《引论》中吸收营养，这里不得不面对我们之现实。
1 文革冲击
[10]还在第七章4介绍域的特征之后用两页的篇幅回顾了“关于矩阵、行列式、线性方程组以及多项式的一般理论”，这与[3]第四章3.6的“关于线性方程组的注记”是多么的吻合。我们设想，中国的《高等
代数》教材如果能在20世纪六十年代[10]的基础上巩固、发展，或
许其水平也可剂身于世界之列。但是，1966年的文化大革命，高等
学校受到严重冲击，抽象的数学更是受到了严重冲击，《高等代数》几乎处于消失状态。不仅如此，文革还制造了数学家之间的隔核，
大大削弱了集体攻关的力量。1977年恢复高考以来，《高等代数》
才从死亡中复活，元气至今难以复原。
2 市场冲击
“学好数理化，走遍天下都不怕”，这是文化大革命以前人们的口头语，可时下，在市场经济的冲击下，已消失得无影无踪，每年大学
招生，不仅高考状元无一人学习数业专业，而且连数学奥赛的优胜
者也基本不念数学专业，新生质量较文革前大为下降，而且女生人
数的比例在逐年增加。市场经济的冲击还远不止于此。如教材、教
学参考书，我们统计了1977以来出版的46种带上高等代数帽子的
各种图书，习题解答类竞多达一半，而教科书性质者，大多类同，
较高水平又方便学生学习的是很少很少。因此，学生基本上停滞在
单一的教材上苦学，难以提高自身的学习能力。更不少学生成了习
题解答的奴隶，这样一门着力培养学生创造思维能力的课程竞有不
少学生在背习题解答、应付考试，年复一年的这样高师数学毕业生
到中学任教，请大家想想，这对于中国后代的数学教育有多么大的
危害？！
3 体制之疑
上面例子已涉及大学体制。熊丙奇先生在《教育熊视》[11]中有个
标题：“大学最深刻的危机：体制化”，“官”太让人无可奈何！：有
个代数教授，他的老师好不容易争取到一个出国名额，使他有机会
跟一位国际代数名家读硕、读博、做博士后，回国后不久就评上教授，学校对他也十分关照，但中国的气候毕竟与欧美有异，他深知，要在国内为先，在国内一级刊物发文是自然之事，可他投这些一级
刊的文章老是被退回，因此就查起审稿人的为人来了，但得到的答
复是中国代数老前辈们为人极佳。于是，随着时间的流失，他想当“院士”的雄心消失了，因而寻找机会，利用民主党派参政人才之缺，离开学校去当个副厅长，这种还算真才实学者的当官之路，钻体制
的漏洞，一步步走上大学领导，利用手中的权力打扮自己，为数也
不少，且党内居多，而且反转过来，欺压你
这些教授，你们又怎么样？！这种现状怎不引起人们的关注！
中国实施经济改革，可教育不然。教育是在教育部的主导下进行的
改革，体制问题左右一切，例如教材，鼓励老师积极性，可本科评估，教材认定的是姓“高”，像北大代数小组的《高等代数》，编著
者都不好意思，第三版时加了“王萼芳、石生明修订”，可人们只认
是高等教育出版社出版，不管北京大学的现实情况如何，不少学校
仍然把它认定为首选教材，考研用书！在这样的体制下，丘维声退位，蓝以中日子也有担忧。前几天，蓝先生通过北大出版社理学部
主任给我寄来了他的新著《高等代数学习指南》[12]，这是一本编著
目的正确、阐述简洁、方便学习阅读并达到一定深广度的学习指导书，加上国家首批精品课程、北京大学的牌子，可在当今体制下，
对市场、消路还是有担心。
4 环境混沌
上述表明，在当今体制下，环境受污染，已处于混沌。这类混沌的
深广度如何？我们不仿来看看教育部抓的质量工程吧！此下，四年
一次的“教学成果奖”评选，每年评定的“教学名师”、“精品课程”、“教学团队”，花样不少，名堂也应有尽有！我还当省政协委员时，
针对其中的“名堂”曾写了个提案，教育厅可热情啊，连处长都来电话，以示重视。其中，关键的建议是各种评优应有“答辩”环节，厅
里也同意了，可至今未见实施。原因何在？五颜六色，色彩交混。
就说“教学成果奖”，既无发表正式论文，又无实际成果推广应用，
单凭几个人七措八拼，整理出一篇“综述”，竟然可以评上省教学成
果一等奖。最近试行“成果鉴定”，用一个鉴定专家的话说：问题不
少(指所谓成果)，可在纸上这些都不会写，因而结论是很漂亮的。有
了教学成果一等奖，随之带来的好处有“教学名师”、所“主持”的课
程是省精品课程(从来不上这门课)。而且还上了政府特殊津贴，有一
个获奖者，政府特殊津贴十几年前就报，可以说是纷了十几年，是
评上了教学成果一等奖(其实他搞的是倒退教学)后才拿到津贴。如果
能把所有获省教学成果奖的申报书及附件都在网上公开供人们浏览
评议，我看有意思的东西一定不少！
至于“教学名师”，不上课、少上课的领导更容易上，只要他想评。
而“精品课程”，网评为主，学校的网页慢点，你再好也没用；且单
看网页，只要有钱、有权，我可以抄袭，可以找人做得漂漂亮亮的，还拍上不了？！因此，网评的材料必须是独立自主的，否则是在鼓
励抄袭，其害无穷！
环境混沌，说到底是体制问题，教师在学校的地位。有个学校本科
质量评审刚过不日，请来了一位名校校长报告，参加者是全校行政
人员和副教授以上
【篇三：数学专业参考书整理推荐】
>从数学分析开始讲起：
数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的
一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难
的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实
随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉
轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单
的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数
部分
数学分析书：
初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推
荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。
中国人自己写的：
1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）
应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看
出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不
少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，
而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使
用一定有它自己的一些优势。
2《数学分析》华东师范大学数学系著
师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多
的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。 3《数学分析》陈纪修等著
以上三本是考研用的最多的三本书。
4《数学分析》李成章，黄玉民
是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常
被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系
各门课编写的教材。
5《数学分析讲义》刘玉链
我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由
最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。
6《数学分析》曹之江等著
内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的
基础，不会盲目的向n维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。 7《数学分析新讲》张筑生
公认是一本新观点的书，课后没有习题。材料的处理相当新颖。作
者已经去世。 8《数学分析教程》常庚哲，史济怀著
中国科学技术大学教材，课后习题极难。
9《数学分析》徐森林著
与上面一本同出一门，清华大学教材。程度好的同学可以试着看一看。书很厚，看起来很慢。
10《数学分析简明教程》邓东翱著
也是一本可以经常看到的书，作者已经去世。国家精品课程的课本。 11许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社
这些书应该够了，其他书不一一列举。从中选择一本当作课本就可
以了。
外国数学分析教材：
11《微积分学教程》菲赫金格尔茨著
数学分析第一名著，不要被它的大部头吓到。我大四上半年开始看，发现写的非常清楚，看起来很快的。强烈推荐大家看一下，哪怕买
了收藏。买书不建议看价格，而要看书好不好。一本好的教科书能
打下坚实的基础，影响今后的学习。
12《数学分析原理》菲赫金格尔茨著
上本书的简写，不提倡看，要看就看上本。
13《数学分析》卓立奇
观点很新，最近几年很流行，不过似乎没有必要。
14《数学分析简明教程》辛钦
课后没有习题，但是推荐了《吉米多维奇数学分析习题集》里的相
应习题。但是随着习题集的更新，题已经对不上号了，不过辛钦的
文笔还是不错的。
15《数学分析讲义》阿黑波夫等著
莫斯科大学的讲义，不过是一本讲义，看着极为吃力，不过用来过
知识点不错。 16《数学分析八讲》辛钦大师就是大师，强烈推荐。
17《数学分析原理》rudin
中国的数学是从前苏联学来的，和俄罗斯教材比较像，看俄罗斯的
书不会很吃力。不过这本美国的书还是值得一看的。写的简单明了，可以自己试着把上面的定理推导一遍。 18《微积分与分析引论》库
朗
又一本美国的经典数学分析书。有人认为观点已经不流行了，但是
数学分析是一门基础课目的是打下一个好的基础。
19《流形上的微积分》斯皮瓦克
分析的进一步。中国的数学分析一般不讲流形上的微积分，不过流
形上的微积分是一种潮流，还是看一看的好。
20《在南开大学的演讲》陈省身
从中会有一些领悟，不过可惜好像网络上流传的版本少了一些内容。 21华罗庚《高等数学引论》科学出版社
数学分析习题集
不做题就如同没有学过一样。希望将课本后的习题一道道自己做完，不要看答案。买习题集也要买习题集，不买习题集的答案。
1《吉米多维奇数学分析习题集》
最近几年人们人云亦云的说这本书多么不好，批评计算题数目过多，不适合数学系等等。但这本习题集不再被广泛使用的原因是那本习
题解答的出现，学生对答案的抄袭使这部书失去了价值。如果你不
看答案的话它依然是数学分析第一习题集。不要没有做过就盲目的
批评。有没有做过自己心里知道，并会影响自己今后的学习。
2《数学分析习题课教材》第一版或《数学分析解题指南》第二版，林源渠，方企勤等两本书一样的，再版换了名字。第一版网上有电
子版，第二版可以买纸版。和3成一套。 3《数学分析习题集》林源渠，方企勤等
由于《吉米多维奇数学分析习题集》答案的出现使这本书得到的评
价变高了，原因是这本书没有答案。只能自己做。
4《数学分析习题精解》科学出版社版，还有裴礼文或者钱吉林的书
过考试不错，要学数学分析不提倡。
5各种教材的答案书
一堆垃圾。毁人不倦。
解析几何：
解析几何有被代数吃掉的趋势，不过就数学系的学生而言，还是应该好好学一下，我大一没有好好学，后来学别的课时总感觉哪里有些不太对劲，后来才发现是自己的数学功底尤其是几何得功底没有打好。
1吴光磊《解析几何简明教程》高等教育出版社
写的简单明了，我基础没有打好，快速翻了一下这本书收获还是不少的。不过打基础的时候还是从下面三本选一本看，把这本当参考书。
2《解析几何》丘维声，北京大学出版社
我大一时的课本
3《解析几何》吕根林，许子道
4《解析几何》尤承业
2，3，4写的大同小异
习题集有巴赫瓦洛夫的《解析几何习题集》不过不是那么容易找的到了
代数
前面说过代数有吃掉几何的倾向，所以有许多与时俱进的《代数与几何》。不过还是建议分开学，一门一门的打好基础。许多所谓的简明教程，还有将代数与解析几何合在一起的课本目前都还不是非常成熟。不建议使用。
1《高等代数》北京大学数学系代数与几何教研室代数小组
目前国内各大学尤其是综合大学数学系广泛采用的代数教材，有着悠久的传统。目前通常使用的是第三版。也是各大学的考研指定用书。这本书更多以教师为主，给了教师以很大的发挥空间，受到教师的普遍欢迎。不过对基础不好的学生在某些地方有一定的难度。讲到了所有应该讲的内容。
2《高等代数》张禾瑞，郝鈵新
被各个师范大学的数学系广泛使用，和1同分天下。张禾瑞已经去世，但书已经出到第五版。
3《线性代数》李烔生，中国科学技术大学出版社
中科大的书一向比较难。
4《线性空间引论》叶明训，武汉大学出版社
5《高等代数学》张贤科，清华大学出版社
6《线性代数与矩阵论》许以超，高等教育出版社
以上三本是一份书单上写的，拿了过来，不过我知道5还是不错的 7《代数学引论》柯斯特利金
一本和菲赫金戈尔茨的《微积分学教程》齐名的伟大数学著作。一本传世经典，没有什么可多说的。最近刚刚有新译本出版，共分了三册，但都不是很厚，也不贵。
8《线性代数习题集》普罗斯库列柯夫
9《高等代数习题集》法捷耶夫，索明斯基
8，9是前苏联的经典代数习题集分别有两千道和一千道题，做完会打下非常好的基本功。
10《高等代数》丘维声著
书写的不错，不过是北京大学数学系用书，北京大学的教学内容和重点一贯与国内其他大学的不太一样，而且邱维声采用了与其他教材完全不同的编排方式，所以用这本书研也许有一些不适应。建议用来作参考书而不是教材。
11《高等代数习题集》杨子胥著
相对8，9很容易买到，很多人用来做考研的参考书，而且符合所谓的教学或考研大纲。 12《线性代数》蒋尔雄，高锟敏，吴景琨著
名为线性代数，实际上是一本高等代数教材。是一本非常老的为当时计算数学专业编写的书。市面上根本找不到，但各大学的藏书中肯定会有。
近世代数：不光是数学系最重要的几门课，而且在计算机方面有很多应用，通常的离散数学第二部分就是近世代数内容，也叫抽象代数。
1《近世代数引论》冯克勤
2《近世代数》熊全淹
3《代数学》莫宗坚
4《代数学引论》聂灵沼
5《近世代数》盛德成
分析的后继课程有常微分方程,偏微分方程，实变函数，复变函数，泛函分析。下面一一介绍：
常微分方程：
1《常微分方程教程》丁同仁、李承治，高等教育出版社
公认的国内写的最好的教材。
2《常微分方程》王高雄等
使用相当广泛的教材。初学建议从1，2中选
3《常微分方程》v.i.arnold
常微分不可不读的书。
4《常微分方程》庞特里亚金
前苏联教材，作者是数学奇才，因为化学实验的一次事故导致双目
失明，不得已转而学数学，成为一代数学大师。
5常微分方程习题集》菲利波夫
很简单，打通这本书。不是题目简单，是对你的要求简单。
复变函数：
1《简明复分析》龚昇
写的非常有特色的一本书。
2《complex analysis 》l.v.ahlfors
学数学还是提倡多看大师的著作
3《复变函数》余家荣
4《复变函数》钟玉泉
上面两本是国内数学系用的最多的书，不过通常会剩下一到两章讲
不完。
5《解析函数论初步》h.嘉当
6《应用复分析》任尧福
7《复变函数论习题集》沃尔科维斯
实变函数：
1《实变函数与泛函分析概要》郑维行
很好的入门书。
2《实变函数论》周民强
普遍认为是一本非常好的书，不过个人认为对基础不是很好的人来
说比较难懂。写法和其他几本不太一样。
3《实变函数》江泽坚，吴志泉
我初学时用的书，和2相比我更愿意用这本和4
4《实变函数与泛函分析》夏道行，伍卓人，严绍宗，舒五昌
上世纪八十年代中国大学数学系的标准课本，2009年3月会出新版。强烈推荐这本和上一1《随机过程及应用》陆大金
2《随机过程》孙洪祥
3《随机过程论》钱敏平，龚鲁光
很多学校没有随机过程，但这部分还是相当重要的，无论工科还是经济或者数学本身。微分几何：
1《微分几何》彭家贵
2《微分几何》陈省身
3《微分几何讲义》吴大任
4《微分几何》陈维垣
5《微分几何习题集》菲金科
6《微分几何理论与习题》里普希茨
拓扑学：
1《点集拓扑讲义（第二版）》熊金城
2《拓扑空间论》儿玉之宏
3《基础拓扑学》m.a.armstrong
4《点集拓扑学》《点集拓扑学题解与反例》陈肇姜
5《几何学与拓扑学习题集》巴兹列夫
再说一次，忽视几何,包括解析几何，微分几何，拓扑学会后悔的。数学基础
1《数学基础》汪芳庭
2《数学概观》戈丁
刚开始学时翻一翻会知道数学什么。
3《什么是数学》克朗，罗宾
一代名著。
离散数学：建议分开学。
1《基础集合论》北师大
2《面向计算机科学的数理逻辑》陆钟万
3《图论及其算法》王树禾
4《图论及其应用》bondy，murty
5《离散数学》耿素云，屈婉玲
6《具体数学》格拉厄姆，高德纳等
有英文版与中文版，我大四上过英文版的课，不是很难。建议大家看一看，还有组合数学的书也要看一下。
算法
1 introduction to algorithmscorman
数值分析:计算数学方向传统的科目是数值逼近，数值代数，数值优化，微分方程数值解法。数值逼近，数值代数，微分方程数值解法
合称数值分析，数值优化和运筹学有点像。传统的教材是下面四本（不算1）：全部由人民教育出版社出版
1蒋尔雄，高坤敏，吴景坤的《线性代数》
2李岳生，黄友谦的《数值逼近》
3曹志浩，张德玉，李瑞遐的《矩阵计算和方程求根》
4王德人的《非线性方程组解法与最优化方法》