初三中考数学压轴题精选100题

初三中考数学压轴题精选100题

一、中考压轴题

1．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率．

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；

（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．

【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，

则6000（1﹣x）2＝4860，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），

故平均每次下调的百分率为10%；

（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；

方案②可优惠：80×100＝8000（元）．

故选择方案①更优惠．

【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．

2．一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，任意摸出一个黄球的概率为．

（1）试求口袋里绿球的个数；

（2）若第一次从口袋中任意摸出一球（不放回），第二次任意摸出一球，请你用树状图或列表法，求出两次都摸到红球的概率．

【分析】（1）根据概率的求解方法，利用方程求得绿球个数；

（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为不放回实验．

【解答】解：（1）设口袋里绿球有x个，则，解得x＝1．故口袋里绿球有1个．

（2）

红一红二黄绿

红一红二，红一黄，红一绿，红一

红二红一，红二黄，红一绿，红二

黄红一，黄红二，黄绿，黄

绿红一，绿红二，绿黄，绿

故，P（两次都摸到红球）＝．

【点评】（1）解题时要注意应用方程思想；

（2）列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．

（1）当PQ∥AD时，求x的值；

（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；

（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．

【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ 求x即可；

（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；

（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．

【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则

∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，

又∵AB∥CD，

∴四边形APQD是矩形，

∴AP＝QD，

∵AP＝CQ，

AP＝CD＝，

∴x＝4．

（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．

∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2，

∴y＝．

∵0≤y≤6，

∴0≤≤6，

∴≤x≤．

（3）S△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝，

S△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝，

∵AP＝CQ，

∴S BPQC＝，

∴S＝S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ＝24﹣﹣，

整理得：S＝＝（x﹣4）2+12（），

∴当x＝4时，S有最小值12，

当x＝或x＝时，S有最大值．

∴12≤S≤．

【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．

4．如图，反比例函数的图象经过点A（4，b），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB

的面积为2．

（1）求k和b的值；

（2）若一次函数y＝ax﹣3的图象经过点A，求这个一次函数的解析式．

【分析】（1）由△AOB的面积为2，根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知k的值，得出反比例函数的解析式，然后把x＝4代入，即可求出b的值；

（2）把点A的坐标代入y＝ax﹣3，即可求出这个一次函数的解析式．

【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，A（4，b），

∴OB×AB＝2，

×4×b＝2，

∴AB＝b＝1，

∴A（4，1），

∴k＝xy＝4，

∴反比例函数的解析式为y＝，

即k＝4，b＝1．

（2）∵A（4，1）在一次函数y＝ax﹣3的图象上，

∴1＝4a﹣3，

∴a＝1．

∴这个一次函数的解析式为y＝x﹣3．

【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

5．我国年人均用纸量约为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．

（1）若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？

（2）我市从2000年初开始实施天然林保护工程，大力倡导废纸回收再生，如今成效显著，森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩．假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变，请你按全市总人口约为1000万计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几？（精确到1%）

【分析】（1）因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸，用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树，所以有40000×10÷1000×18÷80，计算出即可求出答案；

（2）森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩，可先求出森林面积年均增长率，进而求出2005到2006年新增加的森林面积，而因回收废纸所能保护的最大森林面积＝1000×10000×28×20%÷1000×18÷50，然后进行简单的计算即可求出答案．

【解答】解：（1）4×104×10÷1000×18÷80＝90（亩）．

答：若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使90亩森林免遭砍伐．

（2）设我市森林面积年平均增长率为x，

依题意列方程得50（1+x）2＝60.5，

解得x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），

1000×104×28×20%÷1000×18÷50＝20160，

20160÷（605000×10%）≈33%．

答：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%．

【点评】本题以保护环境为主题，考查了增长率问题，阅读理解题意，并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力；

解答时需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．

6．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．

（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；

（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；

（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？

【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；

（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；

（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥

ED，即可求出．

【解答】（1）证明：连接C01

∵AC为⊙O2直径

∴∠AO1C＝90°

即CO1⊥AD，

∵AO1＝DO1

∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；

（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，

∴∠E+∠ABD＝180°，

∵∠ABC+∠ABD＝180°，

∴∠ABC＝∠E，

又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，

∴∠E＝∠AO1C，

∴CO1∥ED，

又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，

∴O1C⊥AD，

（3）（2）中的结论仍然成立．

证明：

连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，

∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，

∴∠B＝∠EO1C，

又∵∠E＝∠B，

∴∠EO1C＝∠E，

∴CO1∥ED，又ED⊥AD，

∴CO1⊥AD．

【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．

7．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．

（1）该公司2006年盈利多少万元？

（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？

【分析】（1）需先算出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率，然后根据2005年的盈利，算出2006年的利润；

（2）相等关系是：2008年盈利＝2007年盈利×每年盈利的年增长率．

【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，

根据题意得1500（1+x）2＝2160

解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）

∴1500（1+x）＝1500（1+0.2）＝1800

答：2006年该公司盈利1800万元．

（2）2160（1+0.2）＝2592

答：预计2008年该公司盈利2592万元．

【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率．等量关系为：2005年盈利×（1+年增长率）2＝2160．

8．如图①，有四张编号为1、2、3、4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正

面朝下放置在桌面上．

（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？

（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：（1）所求概率为；

（2）方法①（树状图法）

共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）

∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，

∴贴法正确的概率为，

方法②（列表法）

1 2 3 4

第一次抽取

第二次抽取

1（2，1）（3，1）（4，1）

2（1，2）（3，2）（4，2）

3（1，3）（2，3）（4，3）

4（1，4）（2，4）（3，4）

共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），

∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，

∴贴法正确的概率为．

【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．

9．⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如图（1），连接O2O1并延长交⊙O1于P点，连接P A、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连接CO2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD＝α．

（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；

（2）试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；

（3）设点P’为⊙O1上（⊙O2外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O2于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O1的位置关系如何？并说明理由．

（注：图（2）与图（3）中⊙O1和⊙O2的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．

【分析】（1）作⊙O2的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；

（2）连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO1的位置关系是互相垂直；

（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．

【解答】解：（1）连接DE．

根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．

∵CE是直径，

∴∠CDE＝90°．

∴CD＝CE•sin E＝2R sinα；

（2）CD与PO1的位置关系是互相垂直．理由如下：

连接AB，延长PO1与⊙O1相交于点E，连接AE．

∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，

∴∠ABP′＝∠C′．

∵P′E是直径，

∴∠EAP′＝90°，

∴∠AP′E+∠E＝90°．

又∠ABP′＝∠E，

∴∠AP′E+∠C′＝90°，

即CD与PO1的位置关系是互相垂直；

（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O1的位置关系是互相垂直．

【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．

注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．

10．如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ＝．

（1）求k的值；

（2）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．

【分析】（1）由一次函数解析式确定A点坐标，进而确定C，Q的坐标，将Q的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值．

（2）由（1）可分别确定QC＝CP，AC＝OC，且QP垂直平分AO，故可证明四边形APOQ是菱形．

【解答】（1）解：∵y＝﹣x﹣2

令y＝0，得x＝﹣4，即A（﹣4，0）

由P为AB的中点，PC⊥x轴可知C点坐标为（﹣2，0）

又∵tan∠AOQ＝可知QC＝1

∴Q点坐标为（﹣2，1）

将Q点坐标代入反比例函数得：1＝，

∴可得k＝﹣2；

（2）证明：由（1）可知QC＝PC＝1，AC＝CO＝2，且A0⊥PQ

∴四边形APOQ是菱形．

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，又结合了几何图形进行考查，属于综合性比较强的题目，有一定难度．

11．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．

【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．

【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，

∴CD∥AB

∴△CGE∽△AHE

∴

即：

∴

∴AH＝11.9

∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．

【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．

12．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC 并延长PC交y轴于点D（0，3）．

（1）求证：△POD≌△ABO；

（2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．

【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△P AB是等边三角形，可得AB＝OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；

（2）易求得∠PDO＝30°，由OP＝OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式．

【解答】（1）证明：连接PB，

∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，

∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，

∵P A＝PB，

∴△P AB是等边三角形，

∴AB＝P A，∠BAO＝60°，

∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD，

在△POD和△ABO中，

∴△POD≌△ABO（ASA）；

（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，

∴∠PDO＝∠AOB，

∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°，

∴∠PDO＝30°，

∴OP＝OD•tan30°＝3×＝，

∴点P的坐标为：（﹣，0）

∴，

解得：，

∴直线l的解析式为：y＝x+3．

【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．

13．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的⊙O经过点C．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且＝，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．

（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．

【分析】（1）首先连接OC，由PC切⊙O于点C，可得∠OCP＝90°，又由∠BAC＝30°，即可求得∠COP＝60°，∠P＝30°，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，证得OB＝BP；

（2）由（1）可得OB＝OP，即可求得AP的长，又由＝，即可得∠CAD＝∠BAC

＝30°，继而求得∠E＝90°，继而在Rt△AEP中求得答案．

【解答】解：（1）OB＝BP．

理由：连接OC，

∵PC切⊙O于点C，

∴∠OCP＝90°，

∵OA＝OC，∠OAC＝30°，

∴∠OAC＝∠OCA＝30°，

∴∠COP＝60°，

∴∠P＝30°，

在Rt△OCP中，OC＝OP＝OB＝BP；

（2）由（1）得OB＝OP，

∵⊙O的半径是2，

∴AP＝3OB＝3×2＝6，

∵＝，

∴∠CAD＝∠BAC＝30°，

∴∠BAD＝60°，

∵∠P＝30°，

∴∠E＝90°，

在Rt△AEP中，AE＝AP＝×6＝3．

【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．

14．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．

（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；

（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．

【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；

（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．

【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．

∵P是优弧BAC的中点，

∴＝．

∴PB＝PC．

又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），

∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．

∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．

（2）过点P作PE⊥AD于E，

由（1）可知，

当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，

则AE＝AD＝1．

∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），

∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，

∴P A＝．

【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．

15．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，AB＝2，M、N分别是边AB、AC的中点，直线MN交⊙O于E、F两点，BD∥AC交直线MN于点D．求出图中线段DM上已有的一条线段的长．

【分析】连接OA交MN于点G，则OA⊥BC，由三角形的中位线的性质可得MN的长，易证得△BMD≌△AMN，有DM＝MN，由相交弦定理得ME•MF＝MA•MB，就可求得EM，DE的值．

【解答】解：∵M，N分别是边AB，AC的中点

∴MN∥BC，MN＝BC＝1

又∵BD∥AC

∴∠DBA＝∠A＝60°

∵BM＝AM，∠BMD＝∠AMN

∴△BMD≌△AMN

∴DM＝MN＝1

连接OA交MN于点G，则OA⊥BC

∴OA⊥EF

∴EG＝FG，MG＝FN

由相交弦定理得：ME•MF＝MA•MB

∴EM（EM+1）＝1

解得EM＝（EM＝不合题意，舍去）

∴DE＝DM﹣EM＝

∴DE（3﹣DE）＝1

解得DE＝（DE＝不合题意，舍去）．

【点评】本题利用了三角形的中位线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的解法求解．

16．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），

（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；

（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；

（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．

【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．

（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．

【解答】解：（1）AB1∥BC．

证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，

∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，

∵AC1＝AC，

∴∠AC1C＝∠ACC1，

∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，

∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，

同理，在△ABC中，

∵BA＝BC，

∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，

∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，

∴AB1∥BC．（5分）

（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）

（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．

证明：显然△ABC≌△AB1C1，

∴∠BAC＝∠B1AC1，

∴∠B1AB＝∠C1AC，

∵AC1＝AC，

∴∠AC1C＝∠ACC1，

∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，

∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，

同理，在△ABC中，

∵BA＝BC，

∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，

∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，

∴AB1∥BC．（13分）

【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．

17．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．

（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；

（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；

（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC＝m，AF＝n，用含n的代数式表示

m．

【分析】（1）由等边三角形的性质知，OBA＝∠CBD＝60°，易得∠OBC＝∠ABD，又有OB＝AB，BC＝BD故有△OBC≌△ABD；

（2）由1知，△OBC≌△ABD⇒∠BAD＝∠BOC＝60°，可得∠OAE＝60°，在Rt△EOA 中，有EO＝OA•tan60°＝，即可求得点E的坐标；

（3）由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝，由切割线定理知，OE2＝EG•EF，在Rt△EOA中，由勾股定理知，AE＝＝2，故建立方程：（）2＝（2﹣）（2+n），就

可求得m与n关系．

【解答】解：（1）两个三角形全等．

∵△AOB、△CBD都是等边三角形，

∴OBA＝∠CBD＝60°，

∴∠OBA+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，

即∠OBC＝∠ABD；

∵OB＝AB，BC＝BD，

△OBC≌△ABD；

（2）点E位置不变．

∵△OBC≌△ABD，

∴∠BAD＝∠BOC＝60°，

∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°；

在Rt△EOA中，EO＝OA•tan60°＝，

或∠AEO＝30°，得AE＝2，

∴OE＝

∴点E的坐标为（0，）；

（3）∵AC＝m，AF＝n，由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝；

又∵OC是直径，

∴OE是圆的切线，OE2＝EG•EF，

在Rt△EOA中，AE＝＝2，

（）2＝（2﹣）（2+n）

即2n2+n﹣2m﹣mn＝0

解得m＝．

【点评】命题立意：考查圆的相交弦定理、切线定理、三角形全等等知识，并且将这些知识与坐标系联系在一起，考查综合分析、解决问题的能力．

18．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝DE，AC，BD的交点为O．

（1）求证：△AEC≌△DEB；

（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2 cm，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）在△AEC和△DEB中，已知AE＝DE，BE＝CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．

（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积＝•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．

【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠DEC＝90°，

∴∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，即∠AEC＝∠DEB，

∵△BEC是等边三角形，

∴CE＝BE，

又AE＝DE，

∴△AEC≌△DEB．

（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC＝BD．

∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝180°，

∴AB∥DC，AB＝＝CD，

∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，

∴OA＝OB＝OC＝OD，

又∵BE＝CE，

∴OE所在直线垂直平分线段BC，

∴BF＝FC，∠EFB＝90°．

∴OF＝AB＝×2＝1，

∵△BEC是等边三角形，

∴∠EBC＝60°．

在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，

∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，

∴BE＝AB•cos30°＝，

在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，∠EBF＝60°，

∴BF＝BE•cos60°＝，