初三数学二次函数培优提高训练题
初三数学提高训练题2019-10-2
1．将抛物线y＝x2－4x＋3平移，使它平移后的顶点为(－2，4)，则需将该抛物线() A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
2．将函数y＝x2＋x的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数y＝x2－3x＋2的图象，则a 的值为()
A．1 B．2 C．3 D．4
3．关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当x＞10时，y随x的增大而减小；
③当－1＜x＜2时，－4＜y＜－1；
④若（m，p），（n，p）是该抛物线上两点，则m＋n＝0.
其中正确的说法有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是（）A．若y1＝y2，则x1＝x2
B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2
D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
5．【数形结合思想】一次函数y＝ax＋b（a≠0，b≠0）的图象如图所示，则二次函数y＝bx2＋a的大致图象是（）
6．已知y＝ax2＋k的图象上有三点A（－3，y1），B（1，y2），C（2，y3），且y2 A．a>0 B．a<0 C．a≥0 D．a≤0 7．已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等．当x取x1＋x2时，函数值为（） A．a＋c B．a－c C．－c D．c 8．【易错】若二次函数y＝（x－m）2－1，当x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（） A．m＝1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤1 9．（山西中考）将抛物线y＝x2－4x－4先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线的解析式为（D） A．y＝（x＋1）2－13 B．y＝（x－5）2－3 C．y＝（x－5）2－13 D．y＝（x＋1）2－3 10．（陕西中考）对于抛物线y ＝ax 2 ＋（2a －1）x ＋a －3，当x ＝1时，y ＞0，则这条抛物线的顶点一定在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 二、填空题 1．二次函数y ＝34x 2＋bx ＋c ，其图象对称轴为直线x ＝1，且经过点(2，－94 )．求此二次函数的解析式． 2．(肇庆二模)已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为______________________． 3．(玉林二模)已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围为________． 4．已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴的两个交点为（－1，0），（3，0），其形状与抛物线y ＝－2x 2相同，则该二次函数的解析式为 ． 5．（盐城中考）如图，将二次函数y ＝12 （x －2）2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数解析式是 6．已知二次函数y ＝－3x 2 ＋1的图象如图所示，将其沿x 轴翻折后得到的抛物线的解析式为 7．如图，点P （x ，y ）在抛物线y ＝－（x －1）2 ＋2的图象上，若－1＜x ＜2，则y 的取值范围是 8、已知二次函数的图象经过点（－1，72）和（－3，72 ），且该二次函数的最小值为3，则该二次函数的解析式为 三、解答题： 1．(合肥校级四模)已知抛物线y ＝12x 2－4x ＋7与y ＝12 x 交于A 、B 两点(A 在B 点左侧)． (1)求A 、B 两点坐标； (2)求抛物线顶点C 的坐标，并求△ABC 面积． 2．(滨州中考)一种进价为每件40元的T 恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，为提高利益，就对该T 恤进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，请确定该T 恤涨价后每周销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？ 3．(东营中考)如图，抛物线经过A(－2，0)，B(－12，0)，C(0，2)三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线AC 下方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求点D 的坐标． 4．（巴彦淖尔中考改编）工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计） （1）请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕； （2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍（长大于宽），并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？ 九年级培优二次函数辅导专题训练附详细答案 一、二次函数 1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标； （3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣3x。 （2）点B的坐标为：（4，4）。 （3）存在；理由见解析； 【解析】 【分析】 （1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。 （2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。 （3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。 【详解】 解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。 ∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。 （2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D， 令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。∴AO=3。 ∵△AOB 的面积等于6，∴ 1 2 AO•BD=6。∴BD=4。 ∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上， ∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。 又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4， ∴x 轴下方不存在B 点。 ∴点B 的坐标为：（4，4）。 （3）存在。 ∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=+=。 若∠POB=90°，则∠POD=45°。 设P 点坐标为（x ，x 2﹣3x ）。 ∴2 x x 3x =-。 若2x x 3x =-，解得x="4" 或x=0（舍去）。此时不存在点P （与点B 重合）。 若( ) 2 x x 3x =--，解得x="2" 或x=0（舍去）。 当x=2时，x 2﹣3x=﹣2。 ∴点P 的坐标为（2，﹣2）。 ∴22OP 222= += ∵∠POB=90°，∴△POB 的面积为： 12PO•BO=1 2 ×2×2=8。 2．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由． 二次函数应用（能力提高） 一、选择题： 1、二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9 2、下列四个函数中，y 的值随着x 值的增大而减小的是（ ） （A ）x y 2=（B ）()01 >= x x y （C ）1+=x y （D ）()02>=x x y 3、抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图，OA=OC ，则 （ ） （A ） ac+1=b （B ） ab+1=c （C ）bc+1=a （D ）以上都不是 4、若二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c 的变化范围是 ( ) (A) 0 人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》培优训练题（含答案）一．选择题 1．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（） A．B．C．D． 2．抛物线y＝x2的图象向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（） A．y＝x2﹣3 B．y＝（x﹣3）2C．y＝x2+3 D．y＝（x+3）2 3．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（） A．顶点坐标是（2，1）B．对称轴是直线x＝﹣2 C．开口向下D．与x轴有两个交点 4．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，y的值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 5．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（） A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m 6．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（） A．15元B．400元C．800元D．1250元 7．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 8．已知二次函数y＝mx2﹣3mx﹣4m（m≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C 且∠ACB＝90°，则m的值为（） A．±2 B．±4 C．±D．± 9．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论是（） A．③④B．②④C．②③D．①④ 2023年春九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练（附答案）1．已知：抛物线y＝x2+x+m交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B在点A 的右侧，且AB＝7． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D在第一象限内抛物线上，连接CD，AD，AD交y轴于点E．设点D 的横坐标为d，△CDE的面积为S，求S与d之间的函数关系式（不要求写出自变量d的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DH⊥CE于点H，点P在DH上，连接CP，若∠OCP＝2∠DAB，且HE：CP＝3：5，求点D的坐标及相应S的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C，D的坐标分别（1，0），（3，0），（3，4），以A为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D匀速运动，过点P作PE⊥x轴，交对角线AC于点N．设点P运动的时间为t（秒）． （1）求抛物线的解析式； （2）若PN分△ACD的面积为1：2的两部分，求t的值； （3）若动点P从A出发的同时，点Q从C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D匀速运动，点H为线段PE上一点．若以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形，求t的值． 3．如图1，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为，其对称轴交x轴于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使△ACD 面积最大时点D的坐标； （3）在对称轴上是否存在点P，使得点A关于直线OP的对称点A'满足以点O、A、C、A'为顶点的四边形为菱形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．综合与探究 如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，顶点为D． （1）求抛物线的解析式及点D坐标； （2）在直线l上是否存在一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线，AD，AC于点E，F，G． ①判断线段FP与FG的数量关系，并说明理由 ②连接EA，ED，CD，当m为何值时，四边形AEDC的面积最大？最大值为多少？ 5．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与双曲线y＝相交于点A、B，已知点A坐标（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）． 2021中考数学专题复习：二次函数综合培优训练题(精选习题40道附答案详解) 1.如图，函数尸一F+gx+c(—20202W1)的图象记为厶，最大值为M：函数尸一 W+2cr+1(1502020)的图象记为厶2,最大值为他.b的右端点为A,厶2的左端点为B，L\,厶2合起来的图形记为厶. (1)当el时，求Mi, 的值； (2)若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点"，当点A, B重合时，求厶上，美点“的个数： 47 (3)若Mi, Mi的差为直接写出Q的值. 2.如图，二次函数y = ax2+bx-1的顶点C的坐标为(hl)・ (2)已知A点为抛物线上异于C的一点，且A点横.纵坐标相等，〃为x轴上任意一点, 当BA + BC取最小值时，求出3点坐标和此时AABC的而积. 3.如图，二次函数y = &+加的图象交x轴于点A(-2,0),点3(1,0),交y轴于点C(0,2) (1)求二次函数的解析式: 备用图 （2）连接AC,在直线AC上方的抛物线上有一点N,过点N作『轴的平行线，交直线AC 于点F,设点N的横坐标为"，线段NF的长为/,求/关于"的函数关系式; （3）若点M在x轴上，是否存在点M,使以3、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写岀点M的坐标：若不存在，说明理由. 4.如图，抛物线G：y = L x2+bx + c（/?, c是常数）经过A（7,0）、3（0,2）两点. 乙 （1）求/?，C的值； （2）向右平移抛物线G，使它经过点3,得抛物线C?, 02与％轴的一个交点为（？，且在另一个交点的左侧. ①求抛物线C2的表达式： ②D是点3关于抛物线C2对称轴的对称点，E•是线段CD上一点，EF丄x轴，交抛物线C?于点F, H为垂足，设H（f,0）,线段EF的长为川，求7的值，使加取得最大值. 5.综合与探究 已知：P、9是方程X2-6X +5= 0的两个实数根，且PS,抛物线），=一疋+加+ c 的图像经过点心0）、B（0,g）. （1）求这个抛物线的解析式： （2）设（1）中抛物线与*轴的另一交点为C,抛物线的顶点为试求出点C、D的 坐标和△BCD的而积： （3）P是线段OC上的一点，过点P作PH丄x轴，与抛物线交于H点，若直线 把ZXPCH分成而积之比为2:3的两部分，请直接写出p点的坐标___________ : （4）若点M在直线CB上，点N在平而上，直线CB上是否存在点M，使以点C、点D、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写岀点M的坐标：若不存在，请说明理由. 人教版九年级数学上册 第22章 二次函数 章末综合培优、能力提升练习卷 （时间：100分钟 满分:100分） 一、填空题（24分） 1．抛物线y ＝－x 2＋15有最______点，其坐标是______． 2．若抛物线y ＝x 2－2x －2的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，则过A ，B 两点的直线的解析式为____________． 3．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与抛物线y ＝x 2－4x ＋3的图象关于y 轴对称，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为______． 4．若抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，S △ABC ＝3，则b ＝______． 5．二次函数y ＝x 2－6x ＋c 的图象的顶点与原点的距离为5，则c ＝______． 6．二次函数222 12--=x x y 的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为____________． 二、选择题（21分） 7．把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象顶点是( ) A ．(－5，1) B ．(1，－5) C ．(－1，1) D ．(－1，3) 8．若点(2，5)，(4，5)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则它的对称轴是( ) A ．a b x -= B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝3 9．已知函数4212--= x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ＞－2 D ．－2＜x ＜4 【二次函数】 一．选择题 1．抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）A．y＝（x+1）2﹣2B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2+2 2．关于二次函数y＝﹣2（x+3）2+8的图象，下列说法错误的是（） A．开口向下B．对称轴x＝﹣3 C．最小值是8D．顶点坐标（﹣3，8） 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论： ①abc＞0； ②4a+2b+c＞0； ③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝3，x2＝﹣1； ④2a+c＜0．其中正确的结论有（）个． A．1B．2C．3D．4 4．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加 工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（） A．3min B．3.75min C．5min D．7.5min 5．函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B． C．D． 6．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的x，y的部分对应值： x…﹣012… y…﹣1﹣m﹣﹣1n… 则对于该函数的性质的判断： ①该二次函数有最小值； ②不等式y＞的解集是x＜﹣或x＞； ③方程ax2+bx+c＝﹣的实数根分别位于0＜x＜﹣和＜x＜2之间； ④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大； 其中正确的是（） A．①②③B．②③C．①②D．①③④ 7．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留 二次函数考点分析培优 ★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点: 开口方向,对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． ★★二次函数y=ax 2 +bx+c(a ，b,c 是常数，a ≠0） 一般式：y=ax 2 +bx+c ，三个点 顶点式：y=a （x －h)2 +k ，顶点坐标对称轴 顶点坐标（－2b a ，244ac b a -）． 顶点坐标(h ，k ） ★★★a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄,│a │越大,开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时,对称轴 x=－b 〈0,即对称轴在y 轴左侧，当a ，b•异号时，对称轴x=－2b a 〉0，即对称轴在y 轴右侧, c•的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点,c 〉0时，与y 轴交于正半轴；c<0时,与y•轴交于负半轴,以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出． 交点式：y=a(x- x 1)(x — x 2），（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2 2 1x x h += 1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为 ２。二次函数的图象顶点坐标为（2,1），形状开品与抛物线y= - 2x 2 相同,这个函数解析式为________。 ３.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数，则k 的值是______ ４.(08绍兴）已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12y y =,则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > ５.(兰州10） 抛物线 c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为 2021中考数学二次函数专项培优训练 一、选择题（本大题共10道小题） 1. 如图，抛物线的函数解析式是() A．y＝x2－x＋2 B．y＝x2＋x＋2 C．y＝－x2－x＋2 D．y＝－x2＋x＋2 2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则() A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0 3. 若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为() A. x1＝－3，x2＝－1 B. x1＝1，x2＝3 C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝－3，x2＝1 4. 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2＋5x＋6，则原抛物线的解析式是() A. y＝－(x－5 2) 2－ 11 4 B. y＝－(x＋ 5 2) 2－ 11 4 C. y＝－(x－5 2) 2－ 1 4 D. y＝－(x＋ 5 2) 2＋ 1 4 5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿AC 向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B时，两点同时停止运动)，在运动过程中，四边形P ABQ的面 积的最小值为() A．19 cm2B．16 cm2C．15 cm2D．12 cm2 6. 若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3＋2，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系是() A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2 7. 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是() A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2 8. 二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是() A. 抛物线开口向下 B. 抛物线经过点(2，3) C. 抛物线的对称轴是直线x＝1 D. 抛物线与x轴有两个交点 9. 抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的值不可能是() A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 10. 2019·丹东如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(－2，0)，对称轴为直线x＝1.有以下结论：①abc＞0；②8a＋c＞0；③若A(x1，m)，B(x2，m)是抛物线上的两点，当x＝x1＋x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1； ⑤若方程a(x＋2)(4－x)＝－2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则－2≤x1＜x2＜4.其中结论正确的有() A．2个B．3个C．4个D．5个 2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》培优提升专题训练（附答案）1．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），直线l经过点B． （1）求二次函数的表达式和顶点D的坐标； （2）如图2，当直线l过点D时，求△BCD的面积； （3）如图3，直线l与抛物线有另一个交点E，且点E使得∠BAC﹣∠CBE＞45°，求点E的横坐标m的取值范围； （4）如图4，动点F在直线l上，作∠CFG＝45°，FG与线段AB交于点G，连接CG，当△ABC与△CFG相似，且S△CFG最小时，在直线l上是否存在一点H，使得∠FHG＝45°存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）分别与x轴交于A，B两点，且A点在B点的左侧，与y轴交于C点． （1）AB＝； （2）当a＞0时，设抛物线上一点D（m，n）； ①已知﹣2≤m≤3时，﹣18≤n≤14，求C的坐标； ②若∠ADB＝90°，直接写出a的取值范围． （3）作直线y＝t（t是常数，且﹣1≤t≤2）交抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）于P、Q两点，若线段PQ的长不小于3，请求出a的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．抛物线与y轴交于C点，P为该抛物线上一动点． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）将该抛物线沿y轴向下平移3个单位，点P的对应点为P'，若OP＝OP'，求P的坐标； （3）y＝x﹣3与抛物线交点为Q，连结AC，AQ，PQ，当P在x轴下方，且∠CAB＝∠AQP时，求直线PQ解析式． 4．已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点C（0，﹣2），顶点坐标为（，）．（1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，当最大时，求D点坐标； （3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在y轴右侧是否存在这样的点P，Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（1，a），（﹣1，a），（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式； （2）已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动（不与点A，C重合）． ①当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标； ②若直线OD与抛物线的另一交点为E，点F在射线ED上，且点F的纵坐标为﹣2，求 证：． 初三数学二次函数的专项培优练习题及详细答案 一、二次函数 1.如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A (0, 3)、B (1, 0),其对称轴为直线 l: x=2,过点A作AC// x轴交抛物线于点C, /AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m. % 图①图② (1)求抛物线的解析式； (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE PO,当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值； (3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使4POF成为以 点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不 存在，请说明理由. 【答案】(1) y=x2-4x+3. (2)当m=5时，四边形AOPE面积最大，最大值为学.(3) P 2 8 点的坐标为：P1 (3^5, LJ5),巳(3^5, 1+/5), P3(5+^5, 1+^5), 2 2 2 2 2 2 D , 5石1石) P4 ( 5 / . 2 2 【解析】 分析：(1)利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式； (2)设P (m, m2-4m+3),根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值； (3)存在四种情况： 如图3,作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP^^PNF,根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标. 详解：(1)如图1,设抛物线与x轴的另一个交点为D, 图1 由对称性得：D (3, 0), 设抛物线的解析式为：y=a (x-1) ( x-3), 把A (0, 3)代入得：3=3a, a=1, •1•抛物线的解析式；y=x2-4x+3； (2)如图2,设P (m, m2-4m+3), “小I 图上 •・ OE 平分/AOB, /AOB=90； / AOE=45 ； ••.△AOE是等腰直角三角形， .•.AE=OA=3, ••E (3, 3), 易得OE的解析式为：y=x, 过P作PG// y轴，交OE于点G, •• G (m , m), 1. PG=m- (m2-4m+3) =-m2+5m-3, S 四边形AOPE F S AAOE+S X POE, =1X 3X 3+PG?AE, 2 2 =2 + —x 3 X -m2+5m-3), 2 2 =-3m2+-m, 2 2 =3 (m-5) 2+75, 2 2 8 •.-3<0, 2 ・•・当m=5时，S有最大值是75; 2 8 (3)如图3,过P作MN^y轴，交y轴于M,交l于N, 九年级数学二次函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)含详细答案 一、二次函数 1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) y=﹣234 x + 94x+3；(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173 ，﹣25 3）． 【解析】 试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P （m ，﹣34 m 2+9 4m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解 析式为：y=﹣34 x+3，表示PD=﹣2 334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应 边的比得： =PED PD BOC BC V V 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365 ，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣ 23n 4 +9 4 n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣3 4n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析: （1）由OC=3OA ，有C （0，3）， 将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得： 九年级数学二次函数的专项培优练习题(含答案)及答案 一、二次函数 1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）点P（4，6）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣1 2 t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN•AG+ 1 2 PN•BM= 1 2 PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数 的性质求解可得； （3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣1 2 ， 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 2 x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G， 九年级数学二次函数的专项培优练习题(含答案)及详细答案 一、二次函数 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x= 32 ． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ； （3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x= 32列出关于a 、c 的方程组求解即可； （2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】 初三数学二次函数的专项培优练习题附详细答案 一、二次函数 1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标； （3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣3x。 （2）点B的坐标为：（4，4）。 （3）存在；理由见解析； 【解析】 【分析】 （1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。 （2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。 （3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。 【详解】 解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。 ∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。 （2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D， 令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。∴AO=3。 ∵△AOB 的面积等于6，∴ 1 2 AO•BD=6。∴BD=4。 ∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上， ∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。 又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4， ∴x 轴下方不存在B 点。 ∴点B 的坐标为：（4，4）。 （3）存在。 ∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=+=。 若∠POB=90°，则∠POD=45°。 设P 点坐标为（x ，x 2﹣3x ）。 ∴2 x x 3x =-。 若2x x 3x =-，解得x="4" 或x=0（舍去）。此时不存在点P （与点B 重合）。 若( ) 2 x x 3x =--，解得x="2" 或x=0（舍去）。 当x=2时，x 2﹣3x=﹣2。 ∴点P 的坐标为（2，﹣2）。 ∴22OP 222= += ∵∠POB=90°，∴△POB 的面积为： 12PO•BO=1 2 ×2×2=8。 2．如图，抛物线212 222 y x x =-++与x 轴相交于A B ，两点，（点A 在B 点左侧）与y 轴交于点C. 2020-2021初三数学二次函数的专项培优练习题(含答案)附答案解析 一、二次函数 1．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示． ()1求y 与x 的函数关系式； ()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元． 【解析】 【分析】 ()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数 关系式； ()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价， 也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值． 【详解】 解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠， Q 函数图象经过点()40,200和点()60,160， { 40200 60160k b k b +=∴+=，解得：{ 2 280k b =-=， y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+． ()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+． Q 试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千 克40元， ∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤． 20- 中考数学 二次函数 培优练习(含答案)含详细答案 一、二次函数 1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2 y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两 点，其中A 点的坐标为（－3，0）． （1）求点B 的坐标； （2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点． ①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标； ②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94 . 【解析】 【分析】 （1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标． （2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标． ②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】 解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）. （2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1 b 12a 9a 3b c 0 =⎧⎪⎪ -=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. 20210508手动选题组卷5 一、解答题（本大题共50小题，共400.0分） 1.如图，抛物线C 1：y=x 2+2x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC， 点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线C 1的解析式及点D的坐标． (2)平移抛物线C 1后，得到抛物线C 2：y=x 2+2x−3+m(m≠0).若点P(x，y)是抛 物线C 2上任意一点，且当m≤x≤m+4时，y的最小值是−3，试求出m的值． 2.如图，抛物线y=−x2+2x+c分别交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y 轴正半轴于点C，过点A作CB的平行线AE交抛物线于另一点E，交y轴于点D． (1)如图(1)，c=3． ①直接写出点A的坐标和直线CB的解析式； ②直线AE上有两点F，G，横坐标分别为t，t+1，分别过F，G两点作y轴的平 行线交抛物线于M，N两点．若以F，G，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求t的值． (2)如图(2)，若DE=3AD，求c的值． 3.如图所示，已知在△ABC中，∠B=90∘，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始 沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q同时从点B开始沿边BC向点C以1cm/s 的速度移动，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止.设运动时间为ts， (1)当t=1时，△PBQ的周长=cm． (2)当t为多少时，△PBQ的面积等于4cm2?请说明理由． (3)当t=s时，PQ的长度最小，最小值为cm? 4.如图，抛物线y=ax2−3ax−4a的图象经过点C(0,2)，交x轴于点A、B(点A在 点B左侧)，连接BC，直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F． (1)求抛物线的解析式及点A、B的坐标； (2)EF 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，DF 请说明理由． 九年级数学 二次函数的专项 培优练习题附详细答案 一、二次函数 1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ． （1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标； （3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）； （3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】 【分析】 （1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可 【详解】 （1）∵2234323y x x =-+a=233 -，则抛物线的“衍生直线”的解析式为九年级培优二次函数辅导专题训练附详细答案
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