第八章 二元一次方程

第八章二元一次方程

（一）二元一次方程组知识点

1、 二元一次方程的定义：含有（ ）未知数，并且未知数的项的次数都是（ ），

像这样的方程叫做二元一次方程。

2、 二元一次方程组的定义：把（ ）的两个二元一次方程合在一起，就

组成了一个二元一次方程组。

3、 二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值（ ）的两个未知数的值，

叫做二元一次方程的解，二元一次方程有（ ）解。

4、 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的（ ），叫做二元

一次方程组的解。

考点1：二元一次方程的定义

1.下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）

A. {

B. {

C. {

D.{

3.关于x 的方程（m-4)x+(m+2）x+(m+1)y=m+5,当m=( ），它是一元一次方程；当m=( ), 它是一元二次方程。

考点2：二元一次方程组的解

4、下列各对数值中是二元一次方程x ＋2y=2的解的是〔 〕

A ⎩⎨

⎧==02y x B ⎩⎨⎧=-=2

2y x C ⎩⎨⎧==10y x D ⎩⎨⎧=-=01

y x

5.方程2x+y=9的正整数解有（ ）

A.1组

B.2组

C.3组

D.4组 6..当x=1时，关于x,y 的二元一次方程组｛

的解互为相反数，，则a=( )；b=（ ）

5.1代入消元法解二元一次方程组：

（1） 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含（ ）的式

子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称（ ）。

5.2加减消元法解二元一次方程组

（2） 两个二元一次方程中同一个未知数的系数（ )时，把这两个方程的

两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到( )方程，这种方法叫做加减消元法，简称( )。

例题导引

例1用代入法解方程组2319,

5 1.+=-⎧⎨+=⎩x y x y ；

23,

32 5.

=⎧⎨

-=⎩s t s t

xy=1 x+y=2 5x-2y=3 1/x+y=3

2x+z=0

3x-y=1/5

x-5 x/2+y/3=7 ax+2y=5

2x-by=5

例2用加减法解下列方程组

257,

32 1.

-=⎧⎨

+=-⎩x y y x ； 233,

3211.

+=⎧⎨

+=⎩x y x y

例3若(a-3)x+y

︱a ︱-2

=9是关于的x 、y 的二元一次方程，求a 的值。

例4已知方程组35,

4.

x y ax by -=⎧⎨

-=⎩与方程组6,47 1.ax by x y +=⎧⎨-=⎩的解相同，求

a －

b 的值。

例5兴华学校美术小组的同学分铅笔若干枝，若其中4人每人各取4枝，其余的人每人取3枝，则还剩16枝；若有1人只取2枝，则其余的人恰好每人各得6枝，问同学有多少人？铅笔有多少枝？

三、练习升华

夯实基础

1、将二元一次方程5x ＋2y=3化成用含有x 的式子表示y 的形式是y= ；化成用含有y 的式子表示x 的形式是x= 。

2、若方程21

(32)7m x

n y -+-=是二元一次方程，则m ，n .

3、已知x ＝2，y ＝2是方程ax －2y ＝4的解，则a ＝________.

4、方程x ＋2y=7在自然数范围内的解〔 〕 A 有无数个 B 有一个 C 有两个D 有三个

5、若⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-81my nx ny mx 的解则⎩⎨⎧=

=

n m

6、解方程组 （1）453(1)23x y x y -=⎧⎨-=-⎩ （2）3429525x y x y +=⎧⎨-=⎩　

（3） 53215.05.1=+=-y x y x （4）2312

3417x y x y +=⎧⎨+=⎩

7、已知方程组⎩⎨⎧-=+=-2

755

32y x y x ，求y x :的值。

8、超市里某种罐头比解渴饮料贵1元，小彬和同学买了3听罐头和2听解渴饮料一共用了16元，你能求出罐头和解渴饮料的单价各是多少元吗？

实际问题与二元一次方程

典型例题讲解

题型一、列二元一次方程组解决行程问题

1、一轮船从甲地到乙地相距140千米，一艘轮船从乙地到甲地航行了7小时，逆流航行需10小时，那么这艘船在静水中的速度和水流速度？

题型二、列二元一次方程解决商品问题

2、在“五一”期间，某超市打折促销，已知A商品7.5折销售，B商品8折销售，买20

件A商品与10件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A商品和10件B商品共用1090元。求A、B商品打折前的价格。

类型三、列二元一次方程组解决——工程问题

1.一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？

思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元。

类型四、列二元一次方程组解决——银行储蓄问题

1．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）

思路点拨：扣税的情况：本金×年利率×(1-20%)×年数=利息（其中，利息所得税=利息金额×20%）.不扣税时：利息=本金×年利率×年数.

类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题

1．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).

总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.

【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。

类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题

1.某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？

思路点拨：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有：

总产值 x（万元）总支出 y （万元）利润x-y（万元）去年的利润：200万元

今年总产值 120%x 今年总支出90%y 今年的利润（总产值—总支出）：780 万元

根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式。

三元一次方程组

解三元一次方程组的基本思路：

通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为_______，使解三元一次方程组转化为解_____________，进而转化为解______________。

如：小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数

这里有三个未知数，自然要设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，依题意，有

x+y+z=12

x+2y+5z=22

x=4y

这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程全在一起，写成

这个方程含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程叫做三元一次方程组。

三元一次方程组的解法

例题例1 解三元一次方程组

3x+4z=12 ①

2x+3y+z=9 ②

5x－9y+7 z=8 ③

分析：消去哪一个未知数可以把这个方程组转化为二元一次方程组？怎么消元？

解：②×3+ ③，得:

④

联立①④有

3 x +4z=7

11x+10z=35

解之，得

x =

z=-

把x =5，x=-2代入②，得

∴y=

因此，这个方程的解为

x=

y=

z=-

例2在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时y=0，当x=-2时y=3，当x=5时,y=60求a、b、c的值。

练习

解方程组

（1）2x+y+3z=11 (2) x+y=1

3x+2y-2z=11 y+z=6

4x-3y-2z=4 z+x=3

能力提高

9、二元一次方程组941

611x y x y +=⎧⎨

+=-⎩

的解满足2x －ky =10，则k 的值等于〔 〕

A ．4

B ．－4

C ．8

D ．－8

10、在b ax y +=中，当5=x 时6=y ，当1-=x 时2-=y ，则=a ，

=b .

11、二元一次方程组⎩⎨

⎧-=-+=+1

223

23m y x m y x 的解互为相反数，则m ＝〔 〕 A 、 －7 B 、 －8 C 、 －10 D 、 －12 12、解方程组

（1）⎩⎨⎧-=+=-++10512)()(2y x y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+7

43243y x y

x

13、已知0432)2052(2

=-++--y x y x 求y x ,的值。

14、为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集1号电池4节,5号电池5节,总重量为460克,第二天收集1号电池2节,5号电池3节,总重量为200克,试问1•号电池和5号电池每节分别重多少克?