永嘉县X中学七年级数学下册 第八章 二元一次方程组知识点归纳 新人教版
二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题
1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次
方程。
2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方
程组。
注意：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程
的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解
2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
2.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
例：解方程组x+y=5①
6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③
把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7
把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
基本思路：未知数又多变少。
消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
代入法解二元一次方程组的一般步骤：
1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一
个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”
2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”
5、把x、y的值用｛联立起来即“联”
加减消元法：像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
例：解方程组x+y=9①
x-y=5②
解：①+②2x=14 即 x=7 把x=7带入①得7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y =-2 为方程组的解
用加减消元法解二元一次方程组的解
6、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的
数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
7、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加
减”。
8、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“解”。
9、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回
代”。
10、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。教科书中没有的几种解法
(一)加减-代入混合使用的方法.
例1, 13x+14y=41 (1)
14x+13y=40 (2)
解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3)
把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得x=1 所以:x=1, y=2
特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.
(二)换元法
例2， (x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n 原方程可写为m+n=8 m-n=4 解得m=6, n=2 所以x+5=6,
y-4=2 所以x=1, y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（三）另类换元
例3， x:y=1:4 5x+6y=29
令x=t, y=4t 方程2可写为：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4
★重点★
一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）☆内容提要☆
二、解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c 2．a=b←→ac=bc (c≠0)
三、解法
1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。
2．元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法
六、列方程（组）解应用题
列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
其具体步骤是：
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。
二元一次方程组练习题
一、选择题：
1．下列方程中，是二元一次方程的是（）
A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．1
x
+4y=6 D．4x=
2
4
y-
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）
A．
2
2
8 423119
(23754624)
x y
x y a b x
B C D
x y b c y x x y
+= +=-=⎧⎧
=
⎧⎧
⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩
3．二元一次方程5a－11b=21 （）
A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（）
A．
3333
...
2422 x x x x
B C D
y y y y
==-==-⎧⎧⎧⎧
⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩
5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（）
A．－1 B．－2 C．－3 D．3 2
6．方程组
43
235
x y k
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解与x与y的值相等，则k等于（）
7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（）
①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1
x
+y=5；④x=y；⑤x2－y2=2
⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x
A．1 B．2 C．3 D．4
8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，•则下面所列的方程组中符合题意的有（）
A．
246246216246
... 22222222 x y x y x y x y
B C D
y x x y y x y x
+=+=+=+=
⎧⎧⎧⎧
⎨⎨⎨⎨=-=+=+=+⎩⎩⎩⎩
二、填空题
9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x为：x=________．
10．在二元一次方程－1
2
x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______．
11．若x3m－3－2y n－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．
12．已知
2,
3
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
是方程x－ky=1的解，那么k=_______．
13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．14．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．
15．以
5
7
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
为解的一个二元一次方程是_________．
16．已知
23
16
x mx y
y x ny
=-=
⎧⎧
⎨⎨
=--=
⎩⎩
是方程组的解，则m=_______，n=______．
三、解答题
17．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）•有相同的解，求a的值．
18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？
19．二元一次方程组
437
(1)3
x y
kx k y
+=
⎧
⎨
+-=
⎩
的解x，y的值相等，求k．
20．已知x ，y 是有理数，且（│x │－1）2
+（2y+1）2
=0，则x －y 的值是多少？
21．已知方程
1
2
x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，•使它与已知方程所组成的方程组的解为4
1
x y =⎧⎨=⎩．
22．根据题意列出方程组：
（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，•问明明两种邮票各买了多少枚？
（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；•若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
23．方程组25
28x y x y +=⎧⎨-=⎩
的解是否满足2x －y=8？满足2x －y=8的一对x ，y 的值是否是方程组
25
28
x y x y +=⎧⎨
-=⎩的解？
24．（开放题）是否存在整数m ，使关于x 的方程2x+9=2－（m －2）x 在整数范围内有解，你能找到几个m 的值？你能求出相应的x 的解吗？
题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题
5、 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，贤计划
用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套
题型二、列二元一次方程组解决行程问题
2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。
相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时候后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？
3、一轮船从甲地到乙地顺流航行需4小时，从乙地到甲地逆流航行需6小时，那么一木筏由甲地漂流到
乙地需要多长时间？
题型三、列二元一次方程解决商品问题
4、在“五一”期间，某超市打折促销，已知A商品7.5折销售，B商品8折销售，买20件A商品与10
件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A商品和10件B商品共用1090元。求A、B 商品打折前的价格。
题型四、列二元一次方程组解决工程问题
5、某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中
来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成，问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？
题型五：列二元一次方程组解决增长问题
6、某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校
生将增加10%，则该校现在有初中生多少人？在校高中生有多少人？
有理数的大小比较
1．[2017·丽水]在数1，0，－1，－2中，最大的数是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 2．下列各组有理数的大小比较中，错误的是( ) A ．＋(－3.8)>－2.5 B ．－(－10.7)>8.6
C ．－(＋2.1)<0
D ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋56<1
6
3．比较大小：－103____－3.3；－56____－7
8.
4．比较下列各组数的大小： (1)－1315和－5
8；
(2)－78和－87
；
(3)－⎝ ⎛⎭
⎪⎫＋227和－|－3.14|. 5．比较下列各组数的大小：
(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪35与⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－25； (2)－|－7|和－(－7)； (3)|－4|与－4； (4)|－(－3)|与－|－3|； (5)－89与－79；
(6)－58与－711
.
6．在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． －(＋2)，－|－1|，11
2，0，－(－3.5)．
解：如答图，
，第6题答图)
故－(＋2)＜－|－1|＜0＜11
2
＜－(－3.5)．
7如图，四个实数m 、n 、p 、q 在数轴上对应的点分别为M 、N 、P 、Q ，若n 、q 互为相反数，则m 、n 、p 、q 四个实数中，绝对值最大的一个是( )
A ．p
B ．q
C ．m
D ．n
8．如图，若点A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于A.－A.1的大小关系表示正确的是( )
A ．a<1<－a
B ．a<－a<1
C ．1<－a D ．－a 2 、－1、0. (1)将以上各数表示在数轴上，并用“＜”连接； (2)求出以上各数的绝对值，并用“＞”连接． 10．将－1819，－198199，－1 998 1 999 按从大到小的顺序排列起来． 参考答案 1.D 2. A 3. < > 4. 解：(1)因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1315>⎪⎪⎪⎪⎪⎪－58，又因为两个负数，绝对值大的反而小，所以－1315<－58. (2)因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－78<⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪－87.又因为两个负数，绝对值大的反而小，所以－78>－87. (3)因为－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋227＝－227，－|－3.14|＝－3.14，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－227>|－3.14|，又因为两个负数，绝 对值大的反而小，所以－227<－3.14，所以－⎝ ⎛⎭ ⎪⎫＋227<－|－3.14|. 5. 解：(1)因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪35＝35，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－25＝25，35＞2 5， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪35＞⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪－25. (2)因为－|－7|＝－7<0，－(－7)＝7＞0， 所以－|－7|＜－(－7)． (3)因为|－4|＝4＞0，－4＜0，所以|－4|＞－4. (4)因为|－(－3)|＝3＞0，－|－3|＝－3＜0， 所以|－(－3)|＞－|－3|. (5)因为－89＜0，－79＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－89＝89＞⎪⎪⎪⎪⎪⎪－79＝7 9，所以－89＜－79. (6)因为－58＝－5588＜0，－711＝－56 88 ＜0， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5588＜⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪－5688，所以－58＞－711. 6. 解：如答图， 第6题答图 故－(＋2)＜－|－1|＜0＜11 2＜－(－3.5)． 7.A 8.A 9. 解：(1)在数轴上表示为： 第9题答图 根据图示知－112＜－1＜0＜3； (2)它们的绝对值分别为3，112，1，0，且112＞3＞1＞0. 10. 解：－1819＋1＝119，－198199＋1＝1199， －1 9981 999＋1＝11 999. 因为119>1199>11 999， 所以－1819＋1>－198199＋1>－1 9981 999＋1， 即－1819>－198199>－1 9981 999 平行线的判定 一、判断题 （1）同位角一定相等；（ ） （2）两条直线被三条直线所截，如果同错角相等，则这两条直线平行；（ ） （3）长方形对边互相平行；（ ） （4）如图，如果︒=∠45A ，要使AB a //，则必须有︒=∠451．（ ） 二、填空题 1．如图，21l l 、和3l 相交，1∠和2∠是______角，1∠和3∠是______角，2∠和3∠是______角，2∠和4∠是______角． 2．如图，直线AB.CD.GH 相交于M 点，EF 、GH 相交于N 点，则和ENG ∠是同位角的有_____________________，和ENG ∠是内错角的有_________，和ENG ∠是同旁内角的有____________________． 3．如果两条直线被第三条直线所截，要使这两条直线平行，角的条件必须有________或__________或________． 4．如图：C ∠的同位角是______，B ∠的内错角是______，EAC ∠的同旁内角是______． 三、解答题 1．如图： ︒ = ∠ + ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠180 3 1 ,4 2 ,4 1，找出其中互相平行的直线，并说明理由． 2．如图，已知DE平分 AF BDF, ∠平分BAC ∠，且2 1∠ = ∠，试说明AC DF//． 3．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行吗？如果平行请说明理由． 参考答案 一、判断题 （1）× （2）√ （3）√ （4）√ 二、填空题 1．（1）同位，对顶，内错，同旁内 2．GMC ∠和BMN AMG ∠∠,和CMN DMN ∠∠,和AMN ∠ 3．内错角相等、同位角相等、同旁内角互补 4．C ∠∠∠,2,1 三、解答题 1．b a n m l // //// 理由（略） 2．说明：因为22,12∠=∠∠=∠BAC BDF ，又因为21∠=∠，所以 BAC BDF ∠=∠，所以AC DF //，根据是同位角相等，两直线平行． 3．平行，根据是同位角都是直线，或内错角都是直角，即相等，两直线平行，或根据同旁内角都是直角所以互补，故两直线平行． 人教版七年级下册第八章第一课时认识二元一次方程组 一、二元一次方程及其解 （1）二元一次方程：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠. （2）二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】 二、二元一次方程组及其解 （1）、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组. （2）、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程 组解的情况：①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨+=⎩，1226x y x y +=⎧⎨+=⎩；②有且只有一组解，例如：122 x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数组解，例如：1222 x y x y +=⎧⎨+=⎩.】 例1、若方程213257m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值. 解：∵方程213257m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程 ∴211321m n -=⎧⎨-=⎩解得11m n =⎧⎨ =⎩ 例2、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x 的代数式表示y . 解:去括号得，106263y x -+=- 移项得，261063y x =-+- 合并同类项得，223y x =- 系数化为1得，232 x y -= 例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解？ 解：有三组解，分别是147,,321 x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ 例4、若23x y =⎧⎨=⎩是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解，求m n 、的值. 解：∵23x y =⎧⎨=⎩是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解 ∴431235m n m -=⎧⎨-=-⎩解得11 m n =⎧⎨=-⎩ 例5、已知(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值. 解：∵(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程∴10110 1 m m n n +≠⎧⎪=⎪⎨-≠⎪⎪=⎩ 解得11m n =⎧⎨=-⎩ ∴1(1)1m n =-=- 人教版七年级下册数学知识点归纳 第八章二元一次方程组 8.1 二元一次方程组 1.二元一次方程：含有两个未知数的方程并且所含未知项的最高次数是1，这样的整式方程叫做二元一次方程。 2．方程组：有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。 8.2 消元——解二元一次方程组 二元一次方程组有两种解法：一种是代入消元法,一种是加减消元法. 1．代入消元法：把二元一次方程中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。 2．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。 8.3 实际问题与二元一次方程组 实际应用：审题→设未知数→列方程组→解方程组→检验→作答。 关键：找等量关系 常见的类型有：分配问题、追及问题、顺流逆流、药物配制、行程问题 顺流逆流公式： 8.4 三元一次方程组的解法 三元一次方程组：方程组含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程组，像这样的方程组叫做三元一次方程组。 解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元。把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。 二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次 方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方 程组。 注意：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程 的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 2.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。 一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种： 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7 把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 基本思路：未知数又多变少。 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。 代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一 个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变” 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联” 加减消元法：像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 例：解方程组x+y=9① x-y=5② 解：①+②2x=14 即 x=7 把x=7带入①得7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y =-2 为方程组的解 用加减消元法解二元一次方程组的解 6、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的 数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。 7、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加 减”。 8、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“解”。 9、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回 代”。 10、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。 注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。教科书中没有的几种解法 (一)加减-代入混合使用的方法. 第八章 二元一次方程组 8.1 二元一次方程组 1、 二元一次方程的定义：每一个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的 方程叫做二元一次方程. 2、 二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方 程组. 3、 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的 解，二元一次方程有无数个解. 4、 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 1．方程组23x y x y +=+=⎧⎨⎩ ■的解为2x y ==⎧⎨⎩■，则被遮盖的两个数分别是（ B ） A ．1，2 B ．5，1 C ．2，-1 D ．-1，9 解：把x=2代入x+y=3中，得：y=1， 把x=2，y=1代入得：2x+y=4+1=5， 则被遮住得两个数分别为5，1， 2．下列方程是二元一次方程的是（ D ） A ． 2132254 y y B ．2x －4y=5 C.xy=x+y D.x+(3－2y )=5 解：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．A 、是一元一次方程，故A 错误；B 、是二元二次方程，故B 错误；C 、是二元二次方程，故C 错误；D 、是二元一次方程，故D 正确； 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ D ） A ．12xy x y =⎧⎨-=⎩ B ．52313x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ C ．20132x z x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ D ．5723x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解：A 、第一个方程值的xy 是二次的，故该选项错误； B 、1x 是分式，故该选项错误； C 、含有3个未知数，故该选项错误； D 、符合二元一次方程组的定义； 4．以方程组⎩ ⎨⎧+-=+=11x y x y 的解为坐标的点（x ，y ）位于（ C ） A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴 C ．y 轴的正半轴 D ．y 轴的负半轴 解：解方程组⎩⎨⎧+-=+=11x y x y 可得⎩⎨⎧==10y x ，所以以方程组⎩⎨⎧+-=+=1 1x y x y 的解为坐标的点为（0，1），这个点的 坐标位于y 轴的正半轴. 5．已知2-=x ，y=3是二元一次方程5ax y +=的一个解，则a = -1 . 第八章二元一次方程（组） 8.2 二元一次方程（组）的解法Ⅰ——代入法（能力提升） 【要点梳理】 知识点一、消元法 1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想. 2.消元的基本思路：未知数由多变少. 3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 要点二、代入消元法 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． 要点诠释： (1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便； ③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便． 【典型例题】 类型一、用代入法解二元一次方程组 例1．用代入法解方程组： 237 338 x y x y += ⎧ ⎨ -= ⎩ ① ② 【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现①中x的系数较小，所以先把方程①中 x用y表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．【答案与解析】 解：由①得 73 2 y x - =③ 将③代入② 73 338 2 y y - ⨯-=，解得 1 3 y=． 将 1 3 y=代入③，得x＝3 所以原方程组的解为 3 1 3 x y = ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪⎩ ． 【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”． 举一反三： 【变式】m取什么数值时，方程组的解 （1）是正数； （2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解. 【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数； （2）m=-3，-2，0，. 例2.对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组： 解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1． 把x=1代入②得，y=0． 所以方程组的解为 请用同样的方法解方程组：． 【思路点拨】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可． 第八章二元一次方程组是七年级下册数学的章节之一，主要介绍了二元一次方程组的相关知识。本章内容比较重要，是学习方程组的基础，也是解决实际问题的基础。以下是对该章节重要知识点的归纳： 一、二元一次方程及方程组： 1. 二元一次方程：二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，形式一般为ax+by=c。其中，a、b、c为已知数，a和b不全为零。 2.方程的解：给定一个二元一次方程，如果存在一对数(x,y)，使得将这些数代入方程使等式成立，那么这对数(x,y)就是方程的解。 3.方程组：由两个或多个方程组成的集合称为方程组。二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的方程组。 二、解二元一次方程组的方法： 1.消元法： a.加法消元法：通过给每个方程乘以适当的倍数，使得待消元的未知数的系数相同，然后将两个方程相加，消去这个未知数。 b.减法消元法：通过给其中一个方程乘以适当的倍数，使得待消元的未知数的系数相反，然后将两个方程相减，消去这个未知数。 2.代入法：将一个方程的一元表达式代入到另一个方程中，从而将二元一次方程组转化为一个一元二次方程。 三、方程组的解的情况： 1.无解的情况：当方程组中的方程互相矛盾，即无法找到同时满足所有方程的解时，方程组无解。 2.有唯一解的情况：当方程组中的方程相互独立，且无论怎样组合方程，都只能得出一个解时，方程组有唯一解。 3.有无穷多解的情况：当方程组中的方程有冗余的情况，即两个或多个方程实际上是同一个方程的时候，方程组有无穷多解。 四、应用问题： 1.运用二元一次方程组解决实际问题，如两个数字之和为一些数，两数之差为一些数等。 2.通过问题中给出的条件建立方程组，然后解方程组找到问题的解。 3.运用代入法解决更复杂的实际问题，如一个数以另一个数的几倍和为一些数等。 五、实战习题： 1.练习整理方程组、解方程组的方法； 2.挑战实际问题，在解决问题的过程中巩固知识点； 3.深入思考不同的解法对于问题的实际意义，触类旁通。 以上就是《第八章二元一次方程组》的知识点的归纳。通过掌握这些知识点，我们可以更好地理解方程组的基本概念和解法，解决实际问题。在学习过程中，要多做习题，加强对知识点的运用和理解。 第八章二元一次方程组 第一节、知识梳理 二元一次方程组 一、学习目标 1.了解并认识二元一次方程的概念. 2.了解与认识二元一次方程的解. 3.了解并掌握二元一次方程组的概念并会求解. 4. 掌握二元一次方程组的解并知道与二元一次方程的解的区别. 5.掌握代入消元法与加减消元法. 二、知识概要 1.二元一次方程：像x＋y＝2这样的方程中含有两个未知数（x与y），并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3.二元一次方程组：把两个方程x＋y＝3与2x＋3y＝10合写在一起为像这样，把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 4.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 5.代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 6.加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的 两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 三、重点难点 代入消元法与加减消元法是本周学习的重点，也是本周学习的难点. 四、知识链接 本周的二元一次方程组由我们学过的一元一次方程演化而来，为以后解决实际问题提供了一种有力的工具. 五、中考视点 本周所学的二元一次方程组经常在中考中的填空、选择中出现，还有的出现在解答题的计算当中. 二元一次方程组的实际应用 一、学习目标 将实际问题转化为纯数学问题，建立数学模型（即二元一次方程组），解决问题. 二、知识概要 列方程组解应用题的常见类型主要有： １. 行程问题.包括追及问题与相遇问题，基本等量关系为：路程＝速度×时间； ２. 工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题. 基本等量关系为：工作量＝工作效率× 工作时间； 3. 与差倍分问题.基本等量关系为：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数× 1倍量； 4. 航速问题.此类问题分为水中航行与风中航行两类，基本关系式为： 顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速 逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速 1．如图，周长为78cm的长方形团由10个形状大小完全相同的小长方形拼成，其汇总一个小长方形的面积为（） A．2 32cm B．2 35cm C．2 36cm D．2 40cm 2．《孙子算经》是中国古代著名的数学著作．在书中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译成白话文：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设木头的长度为x尺，绳子的长度为y尺．则可列出方程组为（） A． 4.5 1 2 x y y x -= ⎧ ⎪ ⎨ -= ⎪⎩ B． 4.5 1 2 y x y y -= ⎧ ⎪ ⎨ -= ⎪⎩ C． 4.5 1 2 y x y x -= ⎧ ⎪ ⎨ -= ⎪⎩ D． 4.5 1 2 x y y y -= ⎧ ⎪ ⎨ -= ⎪⎩ 3．若x，y均为正整数，且2x＋1·4y＝128，则x＋y的值为() A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5 4．如图，在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①、图②，已知大长方形的长为2a，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（）（用a的代数式表示） A．﹣a B．a C．1 2 a D．﹣ 1 2 a 5．有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头，从下面数，有84条腿﹐问笼中各有几只鸡和兔？若设笼中有x只鸡，y只兔，则列出的方程组为（） A． 30 284 x y x y += ⎧ ⎨ += ⎩ B． 30 2484 x y x y += ⎧ ⎨ += ⎩ C． 30 4284 x y x y += ⎧ ⎨ += ⎩ D． 30 284 x y x y += ⎧ ⎨ += ⎩ 数学七年级下册第八章知识点 数学考试要注重计算，很多孩子成绩丢分在计算上，解题步骤没有问题，但是计算的过程中出现马虎的问题，导致丢分，影响整体成绩。下面是整理的数学七年级下册第八章知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。 数学七年级下册第八章知识点 (1)二元一次方程组的概念 由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。 注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元(一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0 的二元方程)。 (2)二元一次方程组的解 二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数。 3)二元一次方程组的解法 ●a.代入消元法 代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一。 通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法。 步骤： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用另一个未知数如x 的代数式表示出来，即写成y = ax + b 的形式; ② y = ax + b 代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程; ③解这个一元一次方程，求出x 的值; ④回代求解：把求得的x 的值代入y = ax + b 中求出y 的值，从而得出方程组的解。 ●b.加减消元法 加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一。加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程(组)经常用到的方法。 步骤： ①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等; ②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程; ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值; ④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值。 ●加减消元方法的选择： 第八章 二元一次方程组 一、知识网络结构 二、知识要点 1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。 2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为c by ax =+(c b a 、、为常数，并且00≠≠b a ，)。使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。 3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧三元一次方程组解法问题二元一次方程组与实际加减法代入法二元一次方程组的解法方程组的解定义二元一次方程组方程的解定义二元一次方程二元一次方程组 4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。 5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。 6、解三元一次方程组的一般步骤：①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组； ③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。 第八章 二元一次方程（组） 8.1 二元一次方程（组）的相关概念（能力提升） 【要点梳理】 知识点一、二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 要点诠释：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 要点二、二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 要点诠释： (1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如： 2,5. x y =⎧⎨ =⎩． (2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程． 要点三、二元一次方程组 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如⎩ ⎨⎧=-=+520 13y x x 也是 二元一次方程组. 要点四、二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释： （1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般 写成x a y b =⎧⎨ =⎩的形式． (2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组25 26 x y x y +=⎧⎨ +=⎩无 解，而方程组1 222x y x y +=-⎧⎨+=-⎩ 的解有无数个． 【典型例题】 类型一、二元一次方程 例1．已知方程（m ﹣2）x n ﹣ 1+2y |m ﹣1| =m 是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值． 【答案与解析】 解：∵（m ﹣2）x n ﹣ 1+2y |m ﹣1| =m 是关于x 、y 的二元一次方程， ∴n ﹣1=1，|m ﹣1|=1， 解得：n=2，m=0或2， 若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去， 则m=0，n=2． 举一反三： 【变式1】已知方程3 241252 m n x y +-- =是二元一次方程，则m= ，n= . 【答案】-2， 14 【变式2】方程(1)(1)0a x a y ++-=，当______a a ≠=时，它是二元一次方程，当时，它是一元一次方程． 【答案】1±；11-或 类型二、二元一次方程的解 例2.已知是方程2x ﹣6my+8=0的一组解，求m 的值． 【答案与解析】 解：∵ 是方程2x ﹣6my+8=0的一组解， ∴2×2﹣6m ×（﹣1）+8=0， 认识二元一次方程组 一、本节学习指导 重点理解二元一次方程组的解，二元一次方程组的解一定满足此二元一次方程组， 这一点就跟前面学习的一元一次方程一样。这一节的知识主要是为后面学习求二元一次 方程组的解做基础，如果有知识点不理解的话，也不用着急！待学完整章节了，相信你就 能够理解了。 二、知识要点 1、二元一次方程组 （1）、概念：二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是1 的方程，叫二元一次方程。 二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是 二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成 了二元一次方程组。 （2）、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：【重点】 使二元一次方程左右两边的值相等（即等式成立）的两个未知数的值，叫 二元一次方程的解。 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫 二元一次方程组的解。 注：①、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组（对）数，用大括号联立； ②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组； ③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只 有唯一的一组，但也可能有无数组或无解（即无公共解）。 2、二元一次方程组的解的讨论：【重点】 3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：【重点】 用含X 的代数式表示Y,就是先把X 看成已知数，把Y 看成未知数；用含Y 的 代数式表示X,则相当于把Y 看成已知数，把X 看成未知数。 例：在方程2x + 3y = 18 中，用含x 的代数式表示y 为：,用含y 的代数式表示x 为：. 4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值： 要抓住两个方面：①、未知数的指数为1,②、未知数前的系数不能为0 例：已知方程（a-2）x（|a|-1）- （b+3）y（b2-8）= 3 是关于x、y 的二元一次 方程，求a、b 的值。 分析：1、题目中给出的方程明确说明是关于x、y 的二元一次方程，那么我们 就知道这两个未知数的系数都不会为零，即a-2≠0,b+3≠0 2、既然是二元一次方程，最高次数就是1,所以（|a|-1）=1,（b2-8）=1. 综合上面的可得出，由1 条件得a≠2,b≠-3;由2 条件得a=2 或a=-2,b=3 或b=-3 故求出：a=-2,b=3 二元一次方程组知识点回顾及典例变式训练 一、知识回顾 1、含有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程；能使二元一次方程的两个未知数的值叫做二元一次方程的解。 2、把具有未知数的方程合在一起就组成了一个二元一次方程组；能使二元一次方程组的未知数的值叫做二元一次方程组的解。 3、解二元一次方程组的基本思想是，它有和两种方法；把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含的式子表示出来，{再另一个方程，实现消元进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做；当两个二元一次方程中同一个未知数的系数（或）时，将两个方程的两边分别（或），就能消去这个未知数得到一个一元一次方程，这种方法叫做。 4、列方程组解应用题的步骤可概括为、、、、、、这七大步骤。 5、由个方程组成，并且方程组中含有个相同未知数，每个方程中含未知数的项的次数都为，这样的方程组叫做三元一次方程组。 6、解三元一次方程组的基本思路是：通过或进行消元，将三元一次方程组问题转化为二元一次方程组，再将二元一次方程组转化为求解。 二、典例解析 例1 解方程组： 41 216 x y x y -=-⎧ ⎨ += ⎩ 方法总结：解二元一次方程组时，如果某个方程中某个未知数的系数为1或者-1，就可把这个未知数用另一个未知数来表示，从而带入求解；如果两个方程中某个未知数中某个未知数的系数相等，就用减法消元求解；如果两个方程中某个未知数中某个未知数的系数互为相反数，就用加法消元求解；如果这三种情况都不是那就只能化系数为相同或互为相反数了。 变式1 解方程组（1）2327x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ （2） 3224 5a b a b --== 变式2 解方程组3 23234 x y z x y z x y z -+= ⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 例2 已知21x y =⎧⎨=⎩是方程组71 ax by ax by +=⎧ ⎨-=⎩的解，求a b -的值。 一、选择题 1．若关于x 、y 的方程组2 28x y ax y +=⎧⎨+=⎩ 的解为整数，则满足条件的所有a 的值的和为 （ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．16 2．如图，在数轴上标出若干个点，每相邻的两个点之间的距离都是1个单位，点A 、B 、C 、D 表示的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且满足2319a d ，则b c +的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1- D ．0 3．若x ，y 均为正整数，且2x ＋1·4y ＝128，则x ＋y 的值为( ) A ．3 B ．5 C ．4或5 D ．3或4或5 4．以方程组2 1x y y x +=⎧⎨=-⎩ 的解为坐标的点(x ，y)在平面直角坐标系中的位置是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．把某一段公路的一侧全部栽上银杏树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x 棵，公路长为y 米．根据题意，下面所列方程组中正确的是（ ） A ．6(1) 5(211)y x x y =-⎧⎨ +-=⎩ B ．6(1) 5(21)y x x y =-⎧⎨ +=⎩ C ．65(211)y x x y =⎧⎨ +-=⎩ D ．65(21)y x x y =⎧⎨ +=⎩ 6．方程术是《九章算术》最高的数学成就，《九章算术》中“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛（古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，…”译文：“已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛，…“则一个大桶和一个小桶一共可以盛酒斛，则可列方程组正确的是（ ） A ．5253x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．53 52x y x y +=⎧⎨+=⎩ C ．53 52x y x y +=⎧⎨=+⎩ D ．5=+3 52x y x y ⎧⎨+=⎩ 7．已知关于,x y 的方程组2106x y nx my +=⎧⎨+=⎩和10312 mx y n x y -=⎧⎨-=⎩有公共解，则m n -的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 8．已知x ，y 满足方程组4,5,x m y m +=⎧⎨-=⎩ 则无论m 取何值，x ，y 恒有的关系式是（ ） A ．1x y += B ．1x y +=- C ．9x y += D ．9x y -=- 9．已知关于x ，y 的方程x 2m ﹣n ﹣2＋4y m ＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n 的值为（ ） 第八章 二元一次方程（组） 8.4 实际问题与二元一次方程（组）Ⅲ 【要点梳理】 知识点一、常见的一些等量关系（一） 1. 行程问题 速度×时间=路程. 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度. 2．存贷款问题 利息=本金×利率×期数. 本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) . 年利率＝月利率×12. 月利率＝年利率× 12 1. 3.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，则这个两位数可以表示为10b+a ． 4．方案问题 在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案． 要点诠释： 方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案． 要点二、实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思路 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 要点诠释： （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【典型例题】 类型一、行程问题 例1. A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出． (1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA 方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度； (2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇? 【思路点拨】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解． (1)“同时开出相向而行”可用下图表示． “同时开出同向而行”可用下图表示．七年级二元一次方程组知识点总结
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