用空间向量研究距离和夹角问题说课
用空间向量研究距离和夹角问题说课
空间向量是指具有大小和方向的向量，通常用来描述物体在三维空间中的位置和运动。在数学和物理学中，空间向量经常被用来研究距离和夹角的问题。我将从距离和夹角两个方面来阐述空间向量的相关知识。
首先，让我们来谈谈空间向量的距离问题。在三维空间中，两个点的距离可以通过它们对应的空间向量来计算。假设有两个点A 和B，它们分别对应空间向量OA和OB，那么点A和点B之间的距离可以表示为向量AB的模长。具体而言，向量AB的模长可以通过以下公式计算，|AB| = √((x_B x_A)^2 + (y_B y_A)^2 + (z_B
z_A)^2)，其中(x_A, y_A, z_A)和(x_B, y_B, z_B)分别是点A和点B的坐标。这个公式实质上就是三维空间中两点之间的距离公式，它利用空间向量的坐标表示来计算点之间的距离。
其次，让我们来探讨空间向量的夹角问题。在三维空间中，两个向量的夹角可以通过它们的数量积来计算。假设有两个向量a和b，它们的夹角θ可以通过以下公式计算，cosθ = (a·b) / (|a||b|)，其中a·b表示a和b的数量积，|a|和|b|分别表示a和b的模长。这个公式实质上就是利用数量积的定义来计算两个向量
之间的夹角，从而可以通过空间向量的坐标表示来求解夹角问题。
总的来说，通过空间向量的研究，我们可以很好地解决距离和夹角问题。通过对空间向量的坐标表示和数量积的运用，我们可以准确地计算两点之间的距离和两向量之间的夹角，这对于数学和物理学中的问题都具有重要的意义。希望通过这样的说课，能够让学生更好地理解和运用空间向量的相关知识。
立体几何第六课用空间向量求距离和角度
1 立体几何第六课 §用空间向量求距离和角度 一、知识点 向量的常用方法 ①点到面的距离定理： 如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为②.异面直线间的距离 ： d = (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). ③.直线AB 与平面所成角： sin |||| AB m arc AB m β?=(m 为平面α的法向量). ④.求二面角的平面角定理： 设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其 补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ?=或cos |||| m n arc m n π?-（m ，n 为平面α，β的法向量）. 二、例题 1．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长为1， M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱1CC 上的点，且12CN C N ＝。 （Ⅰ）求二面角1B AM N --的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点 1B 到平面AMN 的距离。
2 2．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ．底面ABCD 为矩形， ,AD AB =， SA SD a ==． （Ⅰ）求证：CD SA ⊥；（Ⅱ）求二面角C SA D --的大小. 3.如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∠B 1A 1C 1=90°，D 、E 分别为CC 1和A 1B 1的中点，且A 1A=AC=2AB=2． (I)求证：C 1E∥平面A 1BD ； (Ⅱ)求点C 1到平面A 1BD 的距离． 4.如图，在四棱锥ABCD P －中，底面ABCD 是菱形，060BAD ＝∠，2AB ＝，1PA ＝,⊥PA 平面 ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点. (Ⅰ) 求证：BE ∥平面PDF ；（Ⅱ）求证：平面PDF ⊥平面PAB ；（Ⅲ）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的大小. 5.已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ， 12BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将BAE ?沿着AE 翻折成1B AE ?，使面1B AE ⊥面AECD ，F 为1B D 的中点. （Ⅰ）求四棱1 B AECD -的体积；（Ⅱ）证明：1B E ∥面ACF ；（Ⅲ）求面1ADB 与面1ECB 所成二面角的余弦值. 6.如图，在四棱锥S —ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，且SD AD ==，E 是SA 的中点。（1）求证：平面BED ⊥平面SAB ；（2）求平面BED 与平面SBC 所成二面角（锐角）的大小。 7.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB=AC=5,BB 1=BC=6,D,E 分别是AA 1和B 1C 的中点 （Ⅰ） 求证：D E ∥平面ABC ；（Ⅱ）求三棱锥E-BCD 的体积。 B C D E M F A B 1A 1B 1C D E G
选择性必修第一册 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1)---距离问题
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 (1)------距离问题 1.用向量语言表示点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题. 2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题. 3.素养养成：直观想象、数学抽象、数学运算. 重点：理解运用向量方法求空间距离的原理. 难点：掌握运用空间向量求空间距离的方法. 一、情境导学 位于马来西亚吉隆坡的石油双塔(Petronas Twin Towers)曾经是世界最高的摩天大楼，而且目前仍是世界最高的双塔楼，其空中天桥更是别具一格，贯通双塔。 天桥的长度代表了双塔之间的最短距离，思考一下，空间中还有哪些距离问题？ 回答：_______________________________________________________________________. 二．复习巩固 投影向量 ,a b c 1.设向量在方向上的投影向量为则 c =——————————； cos ,, a b a b a b ⋅=<>借助数量积 () cos ,__________.b c a a b b =<>= 2. 特别的，当b 为单位向量u 时， a 在单位方向向量u 上的投影向量为()c a u u =⋅，其长度为c =_______________.
三、自主探究（理解教材） 问题引入 思考：如图所示正方体，如何求点B 到直线AC 1的距离？如何求点 B 到平面AE C 1的距离？ _______________________________________________________________________________________________________________. 新知探究 1.点到直线的距离 已知直线l 的单位方向向量为u ,A 是直线l 上的定点,P 是直线l 外一点.设AP a =,则向量AP 在直线l 上的投影向量()AQ a u u =⋅，点P 到直线l 的距离为PQ =________________. 2.点到平面的距离 已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点.过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则点P 到平面α的距离为PQ =________________. 微微一练 1.已知空间中三个点()()()2,3,21,2,10,0,1C B A ，，，则点A 到直线BC 的距离为 . 2.如图，已知正方体棱长为1，以D 为原点，DA,DC,DD 1分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，若求得平面A 1BC 1的一个法向量为)1,1,1(=n ，则原点D 到平面A 1BC 1的距离为 . 思考：平行线距离、线面距离以及平行平面的距离怎么求呢？_______________________. 四、典例精析与迁移 【典例6】 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为线段A 1B 1的中点，F 为线段AB 的中点. （1）求点B 到直线AC 1的距离；（2）求直线FC 到平面AEC 1的距离.
42用空间向量研究距离、夹角问题(基础知识+基本题型)(含解析)(人教A版2019选择性必修第一册)
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 （基础知识+基本题型） 知识点一、用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a ，b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是a ，b 上的任意两点，a ，b 所成的角为， 则 。 要点诠释：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。 （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面 的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有。 （3）求二面角 如图，若于A ，于B ，平面PAB 交于E ，则∠AEB 为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°。 若分别为面，的法向量， θ|| cos |||| AC BD AC BD θ⋅= ⋅l a αu θa u ϕ|| sin |cos ||||| θϕ⋅== ⋅a u a u PA α⊥PB β⊥l l αβ--12⋅n n αβ12 1212,arccos |||| n n n n n n ⋅〈〉=⋅
则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。 ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角 的大小。 ②当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角 的大小。 知识点二、 用向量方法求空间距离 1. 求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。 即：点A 到平面的距离，其中，是平面的法向量。 2. 线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 考点一 用空间向量求空间角 1.线面所成的角 例1 如图3.2-10，底面为等边三角形的直三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a 2a ，求1AC 与 侧面11ABB A 所成角的正弦值． 12,AEB ∠=〈〉n n 12,π-〈〉n n θ1n 2n θ1n 2n 12,〈〉n n 1n 2n θ1n 2n 12,π-〈〉n n α|| AB n d n ⋅= B α∈n αa α||AB n d n ⋅= ,A a B α∈∈n α,αβ|| AB n d n ⋅=,A B αβ∈∈n α
高中数学 新人教A版选择性必修第一册 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2) 教案
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2) 【教材分析】 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习运用空间向量解决计算空间角问题。 在向量坐标化的基础上，将空间中线线角、线面角及二面角问题，首先转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决空间角问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。 【教学目标与学科素养】 【教学重难点】 1.教学重点：理解运用向量方法求空间角的原理 2.教学难点：掌握运用空间向量求空间角的方法 【课前准备】 多媒体 【教学过程】
一、情境导学 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面 交角(二面角的平面角)为23°26' .黄道面与天球相交的大圆为“黄道”. 黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30°便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、双子座等等,这便是星座的由来. 问题：空间角包括哪些角?求解空间角常用的方法有哪些? 答案：线线角、线面角、二面角; 传统方法和向量法. 二、探究新知 1.利用向量方法求两异面直线所成角 若两异面直线l 1,l 2 所成角为θ,它们的方向向量分别为a,b,则有 cos θ=|cos
空间向量及其运算说课稿
空间向量及其运算说课稿 1.引入 首先，我会通过引入问题的方式，激发学生的兴趣，让他们思考空间向量的概念和运算方法.例如，我会给学生一个图形，让他们思考如何用向量表示这个图形的位置关系. 2.概念讲解 接着，我会对空间向量的概念进行详细讲解，包括向量的大小、方向、起点和终点等方面的内容，并通过图形的方式进行说明，让学生更好地理解. 3.线性运算 然后，我会引入空间向量的线性运算，包括向量的加法、数乘和减法等，讲解其定义和运算规律，并通过图形的方式进行说明，让学生掌握空间向量的线性运算. 4.练
在讲解完空间向量的概念和线性运算后，我会让学生进行一些练，巩固所学知识，并帮助学生更好地理解和应用空间向量的概念和运算方法. 5.解决问题 最后，我会给学生一些简单的立体几何问题，让他们运用所学知识解决问题，并引导学生思考如何将所学知识应用到实际问题中. 六.教学反思 通过本节课的教学，我发现学生对于空间向量的概念和运算方法有了更深入的理解，同时也能够初步应用所学知识解决一些简单的立体几何问题.但是，在教学过程中，我也发现学生对于类比平面向量的数学方法的应用还有一定的困难，需要在后续的教学中加以强化和巩固. 本节课分为六个环节，包括引入概念、概念形成、概念深化、应用概念、归纳小结和布置作业。其中，概念的形成和概念的深化是重点，实际教学时间为25分钟。
在引入概念环节中，我通过提问帮助学生回顾平面向量研究的内容，研究的目的和研究方法，让学生对平面向量有个整体的认识，同时也为空间向量的研究做铺垫。接着我以一个生活实例引出空间向量的问题，通过追问激发学生研究新概念的兴趣，并给出本节课具体的研究方向。这节课作为《空间向量与立体几何》一章的第一节课，我希望让它也起到章节“导游图”的作用。 在概念形成环节中，我向学生提出问题：我们应该如何研究空间向量？学生回答：类比平面向量。接着我给出平面向量概念的PPT，由学生从定义、表示、方向刻画、大小刻画、特殊向量、向量间的特殊关系等方面探究空间向量的概念。通过问题串帮助学生将概念梳理清楚，让他们体会到空间向量与平面向量的概念完全相同，只是所处的环境不同而已。以前研究的向量都位于平面内，现在他们可以在空间中任意平移了。在这个过程中让学生明确空间向量的研究方法，体会数学的严谨性。接着我通过提问让学生类比平面向量去定义空间向量的加法、减法和数乘运算，同时得到多个空间向量求和的多边形法则，让学生进一步体会空间向量与平面向量之间的关系，突出教学重点。
2020-2021学年数学选择性第一册教案：第1章1.4 1.4.2 用空量研究距离、夹角问题含解析
2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第1章1.4 1.4.2用空量研究距 离、夹角问题含解析 1。4.2用空量研究距离、夹角问题 学 习目标核心素养 1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角以及距离问题．（重点、难点） 2。正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．（易错点) 通过利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角和距离的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养. （1）已知a，b为非零向量，它们的夹角为θ，那么cos θ＝cos 〈a,b〉＝错误!。 （2）空间中有三种角：异面直线所成的角,直线与平面所成的角和两个平面的夹角． （3)空间中的三种基本距离：点点距、点线距和点面距．利用直线的方向向量和平面的法向量可以判断线线、线面和面面的平行、垂直问题，能否利用它们求出三种空间角和空间距离呢? 1．空间角的向量求法
角的分类 向量求法范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ设l1与l2的方向向量分别为 u，v,则cosθ＝｜cos
空间向量及其运算说课稿(2)
《2.2空间向量及其运算》 各位评委、各位老师： 大家好！今天我说课的内容是《空间向量及其运算》，选自普通高中课程标准实验教科书湘教版选择性必修第二册第二章.下面我就从说教材、明目标；说教法、明策略；说过程、明意图；说反思、明方向等方面对这节课进行说明. 本节内容是第二章《空间向量与立体几何》的第二节，由于这节课中也包含了章引言的内容.章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算.它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用.本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具.本小节的主要内容可分为两部分：一是空间向量的相关概念；二是空间向量的加减法. 新课标对这节内容的要求是：经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，学生在高一时就学习了平面向量，能利用平面向量解决平面几何的问题.在平面向量的教学中，我始终注重与实数的类比、数形结合等数学思想方法的渗透，不仅让学生清楚学什么，更主要的是帮助学生理解为什么学，怎么学.基于此，我将本节课的教学过程分为5个环节：创设情境、引出课题；问题引导、概念类比；例题练习、巩固新知；问题引导、运算类比；总结反思，深化认知；布置作业、应用迁移。其中重点是概念的形成和概念的深化。 首先我通过视频导入提问帮助学生回顾平面向量学习的内容，学习的目的和研究方法，让学生对平面向量有个整体的认识，同时也为空间向量的学习做铺垫.通过追问激发学生学习新概念的兴趣，并给出本节课具体
的研究方向.概念形成首先我向学生提出问题：我们应该如何研究空间向量？学生回答：类比平面向量教师引导：接着我给出平面向量概念的PPT，由学生从定义、表示、方向刻画、大小刻画、特殊向量、向量间的特殊关系等方面探究空间向量的概念，最后师生小结。 我通过问题串帮助学生将概念梳理清楚，让他们体会到空间向量与平面向量的概念完全相同，只是所处的环境不同而已.以前研究的向量都位于平面内，现在他们可以在空间中任意平移了.在这个过程中让学生明确空间向量的研究方法，体会数学的严谨性.接着我通过提问让学生类比平面向量去定义空间向量的加法，减法和数乘运算，同时得到多个空间向量求和的多边形法则，让学生进一步体会空间向量与平面向量之间的关系，突出教学重点. 概念深化为了简化运算就需要研究空间向量线性运算的运算律.我向学生提出以下问题：平面向量中学习过哪些线性运算的运算律？这些运算律是不是也可以推广到空间中去呢？咱们先来看看哪些可以直接由平面结论得到？（PPT给出）学生通过探究发现由于加法交换律和分配律都只涉及到一个或两个向量，可以看作同一平面上的问题，可由平面结论直接得出；而空间中任意三个向量可能不共面，所以加法结合律还需要重新证明.接着由学生自主完成对加法结合律的证明.教师小结；通过结合律的证明能培养学生的空间观念，他们还能进一步体会空间向量中的某些问题与平面向量中相应问题的不同之处. 应用概念在应用概念环节中，我设置了两道例题（PPT给出）.例1的设计意图是让学生初步应用空间向量的概念及其运算解决一些问题，平行六面体是空间向量加法运算的一个重要几何模型，需要加深对平行六面体的理解. 归纳小结在归纳小结环节中为了培养学生归纳总结的意识和能力，我首先
向量法求空间距离说课稿
向量法求空间距离说课稿 广州市第 78中学 黄涛 各位老师： 你们好！我是来自广州市第78中学的黄涛。 说课的内容是《向量法求求空间距离》，下面我将从五部分阐述这部分内容。 第一部分：内容分析 1. 设计理念： 华罗庚：“把一个比较复杂的问题“退〞成最简单最原始的问题，把这最简单最原始的问题想通了，想透了，然后再……来一个飞跃上升〞。 牢牢记住学校教材和实际经验二者相互联系的必要性，使学生养成一种态度，习惯于寻找这两方面的接触点和相互的关系。 2. 地位和作用 地位和作用 ：空间位置关系转化为数量关系——高考试题中往往在特定的图形环境中测试有关空间角与距离问题，从而达到考查学生空间想象能力和逻辑推理 能力以及计算表达能力的目的。 解决这类问题，如果能比较巧妙 地建立三维空间直角坐标系，通 过将空间几何点、线、面、体的 位置关系转化为数量关系，将传统的形式逻辑推理和证明转化为数量计算，即利用向量的方法能化繁为简，化抽象为具体，避免了几何作图，减少逻辑推理，降低了难度. 但向量坐标法求距离作为常规方法仅在高三总复习的教材中阐述，学生对公式仅是机械记忆，未能理解，导致使用出错。这一节我，在学习完空间向量数量积及其性质和空间距离的定义后补充讲解，为向量坐标法求距离的两节课的第一节，既是对前面章节的拓展，也是下一节的知识铺垫。 3. 课时安排、教学重点难点 本内容选取人教版高中数学〔必修〕第二册〔下B)第九章第八节，在学习数量积和空间距离的定义后作为补充。安排两个课时，第一课时掌握空间向量的射影，距离公式的推导和初步应用；第二课时进行举一反三的巩固练习和方法拓展迁移。现介绍第一课时。 教学重点难点 重点：数形结合，掌握由向量数量积推导距离公式 难点：空间向量的投影的理解，空间直角坐标系的建立，求法向量，向 量的选取。 4. 教学方法、教学手段 采用启发诱导式教学，并结合实践探索，互动教学。 因为要充分表达数形结合，有大量的图形对比引导，以多媒体展示作为黑板板书补充。 5. 教学目标：
高中数学《空间向量的应用—距离》精品公开课教案设计
《空间向量的应用—距离》教学设计 一、教学内容解析 本节课是参照新课标高中数学人教B版数学选修2-1第三章空间量与立体几何 3.2.5距离一节．它是空间向量及其运算之后，将其方法在立体几何中的应用，属于概念性知识和程序性知识．本课虽篇幅不长，但从学生的角度讲仍占有较高的地位，是对以往所学知识的梳理、归纳和提升，使学生从另一个视角认识空间向量的应用．通过观察，思考，动手操作可使其深刻理解数学源于生活，应用于生活，进而产生浓厚的数学学习兴趣，体会综合几何法和向量方法各自的优势，在学习的过程中深刻体会类比思想、化归思想等数学思想方法，让学生初步形成数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算等学科核心素养．这部分知识的学习，不仅对学生核心素养的形成起到巨大的促进作用，更让学生深刻体会程序化思想，以及寻找一些问题的通性通法。 教学重点：四种距离的概念，点到平面距离的求法． 二、教学目标设置 课程目标：在必修课程学习的基础上，本主题将学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何图形中图形的位置关系和度量关系。 单元目标：本单元的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异；运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何法的共性和差异；运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。 课堂目标：通过本小节的教学，是学生达到以下要求： （1）理解图形F1与图形F2的距离的概念； （2）掌握四种距离的概念，会解决一些简单的距离问题． （3）学生能够独立用向量方法解决四类距离问题 （4）学生能够利用数学抽象的方法发现生活中的距离问题；利用类比的方法总结并推广向量基本定理；利用化归的方法由点到平面的距离的向量解法推广到求直线与它
空间向量求解角度与距离 说课稿 教案 教学设计
课题：空间向量求角度与距离 教材分析： 角和距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计角和距离，空间坐标系中可以用代数方法解决角度与距离，比找证求的方法更加适用。 课 型： 新授课 教学要求：使学生熟练掌握空间角度与距离的求法． 教学重点：公式的应用． 教学难点：公式的应用． 教学过程： 一．复习提问： 1．空间向量坐标，两点间的距离公式． 2. （1）用法向量求异面直线间的距离 如右图所示，a 、b 是两异面直线，n 是a 和b 的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线 a 与 b 之间的距离是n n EF d ⋅= ； （2）用法向量求点到平面的距离 如右图所示，已知AB 是平面α的 一条斜线，n 为平 面α的法向量，则 A 到平面α的距离为n n AB d ⋅= ； （3）用法向量求直线到平面间的距离 首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题. （4）用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。 （5）用法向量求二面角 二．例题讲解： 例题1．如图6，已知正方体1111ABCD A B C D -的 棱长为2，点E 是正方形11BCC B 的中心，点F 、 G 分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是 点E ，G 在平面11DCC D 内的正投影． （1）求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； A B C n α z y x E 1 G 1
（2）证明：直线⊥1FG 平面1FEE ； （3）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值. 解：（1）依题作点E 、G 在平面11DCC D 内的正投影1E 、1G ，则1E 、1G 分别为1CC 、1 DD 的中点，连结1EE 、1EG 、ED 、1DE ， 则所求为四棱锥11FG DE E -的体积，其底面11FG DE 面积为 111111E D G Rt FG E Rt FG D E S S S ∆∆+= 2212 1 2221=⨯⨯+⨯⨯= ， 又⊥1EE 面11FG DE ，11=EE ，∴3 2 3111111=⋅=-EE S V FG DE FG DE E . （2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别作x 轴，y 轴，z 轴，得)1,2,0(1E 、 )1,0,0(1G ，又)1,0,2(G ，)2,1,0(F ，)1,2,1(E ，则)1,1,0(1--=FG ，)1,1,1(-=， )1,1,0(1-=FE ， ∴01)1(01=+-+=⋅FE FG ，01)1(011=+-+=⋅FE FG ，即FE FG ⊥1， 11FE FG ⊥， 又F FE FE =⋂1，∴⊥1FG 平面1FEE . （3）)0,2,0(11-=G E ，)1,2,1(--= ，则6 2,cos 11= >= 9．6空间向量的夹角和距离公式 南昌大学附属中学 高莹 三维目标： 知识与技能： ⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度公式、 夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式 解决有关问题； ⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而提高分析问题、解决问题的能力. 过程与方法： 通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使学生在 积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”. 情感、态度和价值观：⒈通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习 热情和求知欲，充分体现学生的主体地位； ⒉通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的 魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情. 教学重点：夹角公式、距离公式． 教学难点：数学模型的建立． 关键： 将生活中的问题转化为数学问题，建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空 间向量的坐标. 教具准备：多媒体投影，实物投影仪. 教学过程： (一) 创设情境,新课导入 2008年5月16日，南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚集在圣火的传递上，让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学，其中途经我市雄伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程，我校派了小记者在船上进行全景拍摄,出现了这么一个问题. 引例:在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面） 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？ （2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? （不考虑火炬手与小船本身的大小）. 今天我们从另一个角度来分析这个问题. 分析:建立数学模型 问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离? 问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值？ 1、空间两点间的距离公式 111222(,,)(,,),A x y z B x y z 已知：，则 ()212121,,AB x x y y z z =--- (AB AB AB x =⋅=,A B d =2、夹角公式 设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==， 则,a OA b OB == cos ,a b a b a b ⋅<>= = (二)例题示范，形成技能 例1: 在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面） 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？ （2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? （不考虑火炬手与小船本身的大小）. 解：建立如图空间直角坐标系， x y z O 111(,,) A x y z 222(,,) B x y z a a b C 1 A 数学教研室个人课堂教学设计 学科数学主讲人课型常规课教案序号1 授课题目 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题授课时间 课标要求会用向量的方法解决简单的距离、夹角问题 教材分析 这节课位于新教材选修课第一册第一章第四节第二课时的内容，这节课的目标是 空间向量的应用，如何利用空间向量解决距离和夹角问题 学情分析 虽然学生已经学习的空间向量，可向量的应用能力还不够，需要教师多加引导， 与学生共同推导出求距离与夹角问题的公式，并让学生在练习中掌握。 教学目标知识与技能.：能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题； 过程与方法：通过具体实例，求解距离，角度问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 情感态度与价值观：体会转化的思想，了解解决距离，角度的程序 教学重点理解并掌握用向量方法解决距离、夹角问题的方法和步骤. 教学难点辨析各种距离、夹角问题并能正确求出各种距离及夹角. 教学方法引导发现法 教学过程 教学环节教师活动学生活动设计意图 环节一： 课前2分钟 让学生回忆以前如何求点到点，点到直线的距离回忆并回答 环节二：（一）新课导入学生复习与回让学生思考向量除了 课堂导入复习：上节课我们学习了用空间向量研究直线、平面的位置关系，包含哪几部分？ （1）空间中点、直线和平面的向量表示；（2）空间中直线、平面的平行；（3）空间中直线、平 面的垂直. 这节课我们继续学习用空间向量研究距离、夹角问题. 答可以研究直线、平面 的位置关系以外，是 否还有其它运用，引 出新课 环节三：新课讲授探究一用空间向量解决距离问题 问题1 立体几何中的距离问题包括哪些？ （学生自主思考，举手回答，教师总结） 包括点到直线、点到平面、两条平行直线以 及两个平行平面的距离向题等. 直观感受得出 立体几何中的 距离问题 引出本节课的重点内 容 1. 点到直线的距离 问题2 已知直线l的单位方向向量为u，A是 直线l上的定点，P是直线l外一点.如何利用这些 条件求点P到直线l的距离？ 如图，向量AP在直线l上的投影向量为AQ， 则APQ △是直角三角形.因为A，P都是定点，所 以|| AP AP ，与u的夹角PAQ 都是确定的.于是 可求|| AQ.再利用勾股定理，可以求出点P到直线 l的距离PQ. 思考并推导 利用向量求点到直线 的距离的方法由教师 与学生共同推导出 来，让学生多思考， 多发言，老师进而纠 正及引导，让学生深 刻地了解到向量解决 问题的方向 利用向量解决空间角问题 乔焕绒 一、教材分析:立体几何是高中数学教学中的一个重要内容，在整个高中数学学习中占有重要的地位，它不仅能培养学生的辩证唯物主义观点，还能培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，是历年高考的重点考查内容之一。用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.空间角又是立体几何中的重要知识点，学好了它对其他数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助，因此在首轮复习有必要再对其进行专题复习。 二、学情分析 学生虽已学完了立体几何，也对立体几何有了一定的认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作、证、算”三部分组成，学生对作出空间角的方法即如何化空间角为平面角并在可解三角形中来求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生能更好地掌握。 三、教学目标 知识基础:空间向量的数量积公式、夹角公式，坐标表示。 认知目标:掌握利用空间向量求空间角(两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及 二面角)的方法，并能熟练准确的求解结果及完整合理的表达。 能力目标:培养学生观察分析、类比转化的能力;体验从“定性” 推理到“定量” 计算的转 化，提高分析问题、解决问题的能力. 使学生更好的掌握化归和转化的思想。 情感目标:激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位;感受和体会数学美的魅 力，激发“学数学用数学”的热情. 教学重点:1)向量法求空间角的方法和公式; 2)空间角与向量夹角的区别和联系。 教学难点:1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之 间的区别; 2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标. 关键: 建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标,将几何问题转化为代数 问题. 四、课型及课时安排 课型:高三首轮复习专题课课时:一节课 五、教学方法:启发式讲解互动式讨论研究式探索反馈式评价六、教学手段:借助多媒体辅助教学 七、教学过程: 教师教学活动学生参与活动设计意图前面我们学习了立几中的空间角问两 条异面直线所成的角，直线和平面所复习空间题，请问空间角包括几种类型,求成的角及二面角的平面角。角概念及解的方法有几步, 分三步:作——证——求求法为新 课做准备讲评作业: 1、学生求解(略) 以简单的如图所示，四边形是边ABCD2、方法归纳:求空间角的主要方法是练习题回长为的正方形，平面6SA,通过平移转化法作出所成角,然后利用顾空间角ABCDSA=8,MSA，是的中点，三角形边角关系求解的三种类过和的平面交于MBCSDN.型 S 在解题方 《用空间向量研究距离、夹角问题》疑难破解 疑难1用空间向量研究距离问题 1.用向量法求点到直线的距离的两种思路 (1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题,即利用待定系数法求出垂足 的坐标,然后求出向量的模,这是求各种距离的通法. (2)直接套用点线距公式求解. 注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 2.点面距、线面距、面面距的求解方法 线面距、面面距实质上都是求点面距,求直线到平面、平面到平面的距离的前提 是线面、面面平行. 点面距的求解步骤: (1)过已知点求出平面的一个法向量; (2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,即可求 出点到平面的距离. 两条异面直线之间的距离也可以转化为点到平面的距离. 【例题】已知正方形ABCD 的边长为1,⊥PD 平面ABCD ,且1,,=PD E F 分别为 ,AB BC 的中点. (1)求点D 到平面PEF 的距离; (2)求直线AC 到平面PEF 的距离. 【思路点拨】 思路一:(1)先建立合适的空间直角坐标系,再作⊥DH 平面PEF ,垂足为H ,由线面垂直关系求得DH 的坐标,从而求出DH 的模,即点D 到平面PEF 的距离;(2)设 '⊥AH 平面PEF ,求出'AH 即可. 思路二:(1)求出平面PEF 的法向量n ,利用公式|||| n n ⋅=DE d 求点D 到平面PEF 的距离;(2)由AC //平面PEF ,将直线AC 到平面PEF 的距离转化为点A 到平面 PEF 的距离求解. 解析:解法一:(1)建立如图所示的空间直角坐标系, 则1(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),1,,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D P A E , 1,1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ F 111,,0,,1,0,(0,0,1).22⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ DE DF DP 作⊥DH 平面PEF ,垂足为H ,则=++DH xDE yDF 11,,22⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ zDP x y x y z , 其中1++=x y z , 111,,1,,1,1,22⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ PE PF 11150.2224⎛⎫⋅=+++-=+-= ⎪⎝⎭ DH PE x y x y z x y z 同理,504 ⋅=+-=DH PF x y z ,又1++=x y z , 49,.1717∴===x y z 669,,,171717⎛⎫∴= ⎪⎝⎭DH 317||17∴=DH 因此,点D 到平面PEF (2)设'⊥AH 平面PEF ,垂足为'H ,则//'AH DH ,由(1)知669,,171717⎛⎫= ⎪⎝⎭ DH , 所以设(2,2,3)(2,2,3)(0)λλλλλ'==≠AH ,则 10,,0(2,2,3)2λλλ⎛⎫'=+'=-+ ⎪⎝⎭EH EA AH 12,2,3. 2λλλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 用空间向量研究夹角问题 课程标准 学习目标 1.能用向量方法解决 简单夹角问题. 2.体会向量方法在研 究几何问题中的作用 1.知道两个相交平面夹角的含义,借助直线的方向向量和平面的法 向量,能求直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角或夹角. 2.能分析和解决一些立体几何中的角度问题,体会向量方法与综合 几何方法的共性和差异,体会直线的方法向量和平面的法向量的作 用,感悟向量是研究几何问题的有效工具 知识点一 空间角 空间图形 范围 向量法 几何法 异面直线所成的角 0°< θ≤90° cos θ=|cos |= 平移交于一点,解三角形 直线与平面所成 的角 sin θ=|cos |= 过直线上一点作平 面的垂线,解三角形 平面与平面的夹 角 cos θ=|cos 例1 (1)已知在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 是DC 的中点,建立如图1-4-27所示的空间直角坐标系, 图1-4-27 则AB 1与D 1E 所成角的余弦值为 ( ) A .√10 10 B . √10 5 C .-√1010 D .- √105 (2)如图1-4-28所示,在三棱柱OAB-O 1A 1B 1中,平面OBB 1O 1⊥平面OAB ,∠O 1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO 1=2,OA=√3,求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值. 图1-4-28 [素养小结] 用向量法求异面直线的夹角时,常在两异面直线a 与b 上分别取点A ,B 和C ,D ,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为a ,b 的方向向量,若异面直线a ,b 的夹角为θ,则cos θ=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ | |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 运用向量法常有两种途径: ①基底法:在一些不适合建立坐标系的题型中,经常采用取基底的方法.在由公式 cos =a ·b |a ||b |求向量a ,b 的夹角时,关键是求出a ·b ,|a|与|b|,一般是把a ,b 用基向量表示出来,再求有关的量. ②坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求线 线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单. §8.8立体几何中的向量方法(二)——求空间角距离 1.两条异面直线所成角的求法 设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则 2.斜线和平面所成的角 (1)斜线和它在平面内的射影的所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角). (2)斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 3.二面角 (1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角. 4.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1， m 2〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求二面角的大小 1°如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD → 〉. 2°如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉. 概念方法微思考 1.利用空间向量如何求线段长度？ 提示 利用|AB →|2＝AB →·AB → 可以求空间中有向线段的长度. 2.如何求空间点面之间的距离？ 提示 点面距离的求法： 已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离为 |BO →|＝|AB →||cos 〈AB → ，n 〉|. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( × ) (4)两异面直线夹角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，直线与平面所成角的范围是⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤0，π2，二面角的范围是[0，π]. ( √ ) (5)若二面角α－a －β的两个半平面α，β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－a《9.6空间向量的夹角和距离公式》教案
142用空间向量研究距离、夹角问题教案-人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册
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用空间向量研究夹角问题
2020版高考数学大一轮复习-8.8立体几何中的向量方法二——求空间角和距离教案(理)(含解析)新人教A版