点到直线的距离公式说课稿

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点到直线的距离公式说课稿

----湖州中学邱红霞

今天我说课的内容是人教版数学必修（ 2）第三章“ 3.3.3 点到直线的距离”，主要内容是点到直线的距离公式的推导和公式的简单应用．

我将通过教材分析、目标分析、教法学法、教学程序和教学评价五个部分，阐述本课的教学设计．

一、教材与学情分析析

1．地位与作用

本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中

解析几何的定量计算。对本节的研究，既是两点间距离公式的继续 , 又为两条平行直线的距离的推导以及后面直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的重要作用。

2．学情分析

（1）知识与能力：学生已经学习了两点之间的距离公式，具备直线的有关知识，如交点、垂直、三角形、两点间距离公式等。学生对坐标法解决几何问题有了初步的认识。

（2）学生实际：我校学生实际是基础扎实、思维活跃，但解题能力特别是抽象思

维的能力比较欠缺，所以需要老师循序渐进的引导。

二、目标分析

1．教学目标

根据新课程标准的理念 , 以及上述教材结构与内容的分析，考虑到学生已有的知识结构及心理特征，制定如下三维教学目标：

【知识与技能】（直接性目标）

（1）让学生理解点到直线距离公式的推导过程，掌握点到直线距离公式及其简单应用；（ 2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。

【过程与方法】（发展性目标）

（1）通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力；

（2）在推导过程中，渗透数形结合、转化化归等数学思想以及特殊与一般的方法 . 【情感态度价值观】（可持续性目标）

引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神。同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣。

2．教学重点、难点

根据教学目标，应有一个让学生参与实践——探索发现——总结归纳的探索认知过

程。特确定如下重点与难点：

【重点】点到直线距离公式和简单应用．

【难点】点到直线距离公式的推导．

【难点的确定】根据学生的认知水平，学生比较容易接受具体的、特殊的事物，而对抽

象的含字母的点与直线方程的接受需要一个过程。所以把对公式的推导确定为本节课的

难点。

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【难点的突破】

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学思路，采用探究式教学方

法。利用归纳的思想，由浅入深，让学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助于多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过逐步深入的课堂练习，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．

法

三、教法学

三、教法学

数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我

们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐

于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道

德情感。为此我设计如下教法和学法：

1．教学方法

在“以生为本”理念的指导下，充分体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”

的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，构建学生主动的学习活动过程。在

教学策略上我采用：创设问题情境————学生自主探究——归纳与总结——反思与

评价组成的探究式教学策略，并使用计算机多媒体和实物投影仪作为辅助教具，提高课

堂效率。本节课难点在于公式的推导，所以利用探究式教学以及多媒体帮助分散难点，

更符合学生的认知规律。同时在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积

极参与教学过程的每个环节。

2．学法指导

新课标的理念倡导“以人为本” ，强调“以学生发展为核心” ．因此本节课给学生

提供以下 4 种学习的机会： 1．提供观察、思考的机会：用亲切的语言鼓励学生观察并用

学生自己的语言进行归纳． 2．提供操作、尝试、合作的机会：鼓励学生大胆利用资源，发现问题，讨论问题，解决问题． 3．提供表达、交流的机会：鼓励学生敢想敢说，设置问题促使学生愿想愿说． 4．提供成功的机会：赞赏学生提出的问题，让学生在课堂中能更多地体验成功的乐趣．

四、教学程序

“数学是思维的体操” ，课程标准指出，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的

整体性．课标又指出，鼓励学生积极参与教学活动．为此，在具体教学过程中，把本

节课分为以下：“创设情境提出问题——互动交流探究问题——概括归纳解决问题——课堂训练简单应用——学生体会教师点评——课外作业巩固提高”六个阶段来完成．

第一阶段创设情境提出问题

1、这一环节要解决的主要问题是：

创设情境，引导学生由直观的实际问题转化为数学问题，揭示本课任务．

2、具体教学安排：

由学生熟知的运动引出本课课题“点到直线的距离”．

（设计意图：以学生熟悉的实际生活为教学背景，引入新课，有效激发学生的学习兴趣．）第二阶段互动交流探究问题

1、这一环节要解决的主要问题是：

充分发挥学生的主体作用，引导学生发现点到直线距离公式的推导方法，并推导出

公式．在公式的推导过程中，围绕两条线索：明线为知识的学习，暗线为特殊与一般的

逻辑方法以及转化、数形结合等数学思想的渗透．

（本环节的设计意图：尊重教材但不照搬，创造性的使用教材，符合学生从特殊到一般，循序渐进的认知规律。一题多解使发散思维得到训练。同时培养了学生的情操，体验“快乐—受挫—希望—成功”的过程。）

2、具体教学安排：

第一步复习定义解决实例

首先，由学生回答，初中有关“点到直线的距离”的定义：过点P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q 点，线段 PQ 的长度叫做点P到直线l的距离．

（设计意图：引导学生复习旧知识，为新课的学习打下基础．）

然后，提问：怎样用解析几何方法求解点到直线距离？

给出实例：求点 P（1，2）到直线l : 2x y 10 的距离。

由定义，学生容易想到解法，并进行解答 , 很快得到答案，我给予学生肯定的评价。

（设计意图：由定义出发解决具体的点到直线的距离，简单明了，思路自然，学

生乐于接受并体验快乐。而且为下面点到直线距离公式的推导作了铺垫。）第二步师生互动分析思路

抛出问题：求点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C 0( AB 0) 的距离？

由于思维的局限性，以及实例的引入，容易想到思路一：过 P 作PQ l于Q点，根据点

斜式写出直线 PQ 方程，由 PQ 与l联立方程组解得 Q 点坐标，然后利用两点距离公

式求得．

我及时评价这种方法思路自然，是一种基本的解决办法，呈现解题流程，并让学

生动手操作。

（设计意图：思路一是推导公式的基本办法，但是合理不合情，计算太复杂。让

学生实践体会，也为今后圆锥曲线的学习做准备，即如何优化解题。同时较多的同学在

有限的时间里并不能得到准确的答案，使学生经历了挫折教育。学生会发现这种解法的

缺陷，于是愿意探求其他更优的解法。）

我继续引导学生探求其他解法，逐步提问，层层深入：

(1)不求点 Q的坐标行吗 ?（行。）

(2)线段 PQ的长度如何求 ?( 引导学生想到构造三角形 )

y

(3)如何构造 ?( 学生讨论 )

当然由于学生程度的不同 , 可以得到多种直角三角形 ( 如图，

R ·

大的PRS，小的PRQ , PSQ ), 从而产生不同的解决办法。

让学生分析比较，整理出两中常规的思路。

d 思路二：PRS中用等面积法·

Q 思路三：PSQ 中，求 SPQ ，用边角关系O

（或PRQ 中解决，只是角的关系有所不同，而且直线位置的变化也对解题造成影响，布置研究性作业。）

( 设计意图：在探究公式的过程当中，采用开放式教学，充分发挥学生的主观能动性，拓宽思维。通过师生互动，从思路一的“自然接受”→思路二的“巧妙构造”→思

P x0 , y0·

x S·

路三的“奇特变化” ，使学生看到希望。在实际教学中，可能会遇到其他解法，应鼓

励学生积极发表自己的意见，锻炼学生的胆量与表达能力，亦可留做课后思考，具体处

理视课堂情况灵活处理 )

第三步分工合作具体操作

学生已经有了解决问题的思路，下面应该动手操作，进行分组练习。在学生求解过

程中，我巡视，观看学生解题，了解情况，根据课堂时间的实际情况，选取做好的学生

的解题过程用实物投影仪显示．这样不仅能让全体学生看到不同思路的具体解法，还能

得出最佳解题方案，接着我展示最佳解题方案的规范步骤．目的让学生有良好的规范的

书面表达习惯，起到教师典范的作用．

（设计意图：培养学生的具体操作和运算能力，自主学习和合作学习的能力，并

感受成功。）

第三阶段概括归纳解决问题

我提出提问：①上式是由条件下当 AB 0时得出，对当 A 0，或 B0时成立吗？②点 P 在直线 l 上成立吗？③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？

通过学生的讨论，使学生了解公式适用的范围：任意点、任意直线．认识公式的形

式特点，并用公式解决第二环节的实例。

（设计意图：在探究问题的过程中体现了从特殊到一般的认识，而本环节探求公

式成立的条件，又实现了从一般到特殊的认识，同时体现了知识的完备性。公式的形式

特点体现了数学美，应用公式体现了简洁美。）

第四阶段课堂训练简单应用

1、这一环节解决的主要问题是：

通过练习，熟悉公式结构，记忆并简单应用公式．

2、具体教学安排：

例 1、求点 P ( －1,2) 到下列直线的距离：

①3x=2② 2x＋y=10③ y=-x+1④ y11

( x 1) 2

例 1 变式：若点 P (m,2) 到直线 y=-x+1 的距离为

2，求实数 m的值。

（设计意图：例题来源于课本，紧扣教材，又进行了适当的补充。例 1 一方面强调特殊问题特殊解决，另一方面强化学生对公式的记忆和应用．“代入公式计算前，首先应将直线方程化为一般式，以便确定系数 A、B 的值”是学生在应用公式中，容易忽略的环节．将这一薄弱环节设置在例题中，使学生在“错误体验”加深记忆，以期达到强化训练的目的．变式使学生加强对参数的印象。）

例 2、已知点 A（ 1， 3），B（3，1）， C（ -1 ，0）求 ABC 的面积。

（设计意图：例 2 求三角形的面积是点到直线距离的直接应用，又回归推导公式的

思路二，达到有机统一。同时充分发挥学生的主观能动性，挖掘其他解法，如几何割补法，使直观的几何图形与代数关系紧密联系起来。同时也让学生感受了利用代数方法解

决几何问题后，再回归到几何本身的重要性。当然在具体教学时，可能会由于第二环节

学生思维特别活跃，时间不够，那么本题留做课后解决。）第五阶段学生体会教师点

评

1、这一环节解决的主要问题和达到的目的是：

通过师生共同小结，巩固所学知识，提炼用到的解决问题的方法，其中蕴涵的数学

思想方法，培养学生归纳概括能力．

2、具体教学安排：

本节课小结主要由学生谈体会，在本节课中学到了什么，体验到了什么，完成知识

小结。而通过学习知识所体验到的数学思想方法，由学生总结和相互补充，教师适当点评，加以经验总结，进一步促进师生交流。

（设计意图：通过学生小结，当场检验课堂的效率，锻炼学生的表达能力和归纳概括

能力，使学生本节所学的知识系统化、条理化，进一步巩固知识，明确方法．）

第六阶段课外作业巩固提高

①课本习题 3.3的 A 组第 9、10 题，B组第 2、4 题；

② 继续探究点到直线距离公式的推导思路．

③ 思考题：求平行直线2x-3y+5=0 与 2x-3y-6=0 的距离。

（设计意图：作业 1 是课本习题，检查学生所学知识掌握的程度．作业 2 是课堂的延伸，拓展学生思维。除了课堂上想到的方法还可以继续思考，如优化思路1、函数思想甚至向量法等。作业 3 为下节课作好准备。）

板书设计

课题：点到直线的距离㈠公式推导过程

1．实例：

点到直线的距离公式2．问题：如何求点 P ( x0, y0)到直线Ax By C 0

的距离？

◆ 运用公式的注意点思路一：利用定义

思路二：利用直角三角形（等面积法）

思路三：利用直角三角形（边角关系）

◆ 课堂小结㈡典型例题

例 1例 2

思考

㈢课后作业

五、教学评价分析

1、评价学习过程：通过问题引入, 以尝试、提问、练习等方式，在探究过程中，层

层深入，充分挖掘思维的深度和广度，关注整个过程和全体学生, 提高学习积极性。

2、评价情感教育：通过对学生的语言行为给予肯定的评价，和对暴露问题的及

时矫正，培养学生的习惯并陶冶情操。

以上是我对这节课的设想，恳请各位专家和老师批评、指正．

谢谢！

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