2019-2020学年人教A版高中选修2-2数学浙江专版第二章 习题课二 推理与证明 Word版含

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习题课二错误!

1．用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设( ）A．三个内角都不大于60°

B．三个内角都大于60°

C．三个内角至多有一个大于60°

D．三个内角至多有两个大于60°

解析：选B 假设结论不成立，即“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°"，故选B.

2．若三角形能分为两个与自己相似的三角形,那么这个三角形一定是( ）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．不能确定

解析：选C 直角三角形斜边上的高将直角三角形剖分为两个直角三角形，这两个直角三角形与原三角形都相似,故选C。

3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )

A．2ab－1－a2b2≤0

B．a2＋b2－1－错误!≤0

C.错误!－1－a2b2≤0

D．(a2－1)（b2－1）≥0

解析：选D 因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1）（b2－1）≥0.故选D.

4．用反证法证明命题“设a，b为实数,则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）

A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．

5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外,每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语

交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语,当甲与丙交谈时,他能做翻译．针对他们懂的语言,正确的推理是（)

A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德

B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英

C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德

D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英

解析：选A 分析题目和选项,由①知,丁不会说日语，排除B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.

6．设a，b是两个实数,给出下列条件:

①a＋b〉1；②a＋b＝2;③a＋b>2；④a2＋b2〉2;

⑤ab〉1.

其中能推出：“a，b中至少有一个大于1"的条件是（)

A．②③B．①②③

C．③D．③④⑤

解析：选C 若a＝错误!，b＝错误!，则a＋b〉1,

但a〈1，b<1,故①推不出；

若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；

若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2〉2，故④推不出；

若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；

对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，

反证法:假设a≤1且b≤1，

则a＋b≤2与a＋b〉2矛盾，

因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.

7．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是。

解析：分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…

归纳可知,第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项,以4为公差的等差数列,

所以S n＝n＋[n（n－1）×4］÷2＝2n2－n，

所以S7＝2×72－7＝91.

答案：91

8．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝错误!（n∈N＊)的第二步中，当n＝k ＋1时等式左边与n＝k时的等式左边的差等于________．

解析：当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(2k＋2）；当n＝k时，左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋2k，其差为（2k＋1)＋（2k＋2）－(k＋1)＝3k＋2.

答案：3k＋2

9．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________．

解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3。

若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3,满足题意；

若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．

故甲的卡片上的数字是1和3。

法二:因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2,所以丙的卡片上必有数字2。又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2。因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3。

答案：1和3

10．已知｜x｜≤1，|y|≤1，用分析法证明：｜x＋y|≤|1＋xy｜.

证明：要证｜x＋y|≤｜1＋xy|，

即证（x＋y)2≤(1＋xy)2，

即证x2＋y2≤1＋x2y2，

即证(x2－1）(1－y2)≤0,

因为｜x|≤1,|y|≤1，

所以x2－1≤0,1－y2≥0，

所以(x2－1）(1－y2)≤0，不等式得证．

11．设函数f(x)＝e x ln x＋错误!,证明：f（x)〉1.

证明：由题意知f(x)〉1等价于x ln x>x e－x－错误!.

设函数g（x）＝x ln x，则g′（x）＝1＋ln x.

所以当x∈错误!时，g′(x）〈0；

当x∈错误!时，g′（x)〉0.

故g（x)在错误!上单调递减，在错误!上单调递增，

从而g(x）在(0，＋∞）上的最小值为g错误!＝－错误!。

设函数h(x)＝x e－x－错误!，则h′(x)＝e－x（1－x）．

所以当x∈（0,1)时，h′(x)>0；当x∈（1，＋∞)时，h′(x）<0.故h(x）在(0，1)上单调递增,在(1，＋∞）上单调递减，

从而h（x)在（0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－错误!.

综上，当x>0时，g（x）〉h(x）,即f（x）〉1。

12．各项都为正数的数列｛a n}满足a1＝1，a错误!－a错误!＝2. (1)求数列{a n}的通项公式；

（2)求证：错误!＋错误!＋…＋错误!≤错误!对一切n∈N*恒成立．解：(1）∵a错误!－a错误!＝2，

∴数列｛a错误!}为首项为1，公差为2的等差数列，

∴a错误!＝1＋（n－1)·2＝2n－1,

又a n〉0，则a n＝错误!.

(2)证明：由(1)知，即证1＋错误!＋…＋错误!≤错误!。

①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以不等式成立．

当n＝2时，左边〈右边，所以不等式成立．

②假设当n＝k（k≥2,k∈N*）时不等式成立，

即1＋错误!＋…＋错误!≤错误!，

当n＝k＋1时，

左边＝1＋错误!＋…＋错误!＋错误!≤错误!＋错误!

<2k－1＋错误!

＝错误!＋错误!

＝错误!＝错误!.

所以当n＝k＋1时不等式成立．

由①②知对一切n∈N＊不等式恒成立．