2020_2021学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理训练含解析新人教A版选修1_2

2.1.1 合情推理

[A 组 学业达标]

1．“鲁班发明锯子”的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )

A ．归纳推理

B ．类比推理

C ．没有推理

D ．以上说法都不对

解析：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理． 答案：B

2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为

( ) A.r 22B.l 2

2 C.lr

2

D ．无法确定

解析：扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr

2. 答案：C

3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2019年是干支纪年法中的己亥年，那么2050年是干支

纪年法中的( )

A．丁酉年B．庚午年

C．乙未年D．丁未年

解析：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2019年是干支纪年法中的己亥年，则2050的天干为庚，地支为午，故选B.

答案：B

4．n个连续自然数按规律排列下表：

根据规律，从2 019到2 021箭头的方向依次为( )

A．↓→B．→↑

C．↑→D．→↓

解析：观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由可知从2019到2021为→↓，故应选D.

答案：D

5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )

A．a n＝3n－1B．a n＝3n

C．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3

解析：∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，

∴猜想a n＝3n－1.

答案：A

6．观察下列等式：

1＝1，

2＋3＋4＝9，

3＋4＋5＋6＋7＝25，

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，

……

照此规律，第五个等式应为________．

解析：等式的左边是2n－1个连续自然数的和，最小的为序号n，右边是(2n－1)2.

所以第5个等式为5＋6＋7＋…＋13＝(2×5－1)2.

答案：5＋6＋7＋8＋…＋13＝81

7．等差数列{a n}中，a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系：________.

解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.

答案：b4＋b8>b5＋b7

8．已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC

＝1

2r (a ＋b ＋c )．类比这一结论有：若三棱锥A ­BCD 的内切球半径为R ，则三棱锥体积V A ­BCD ＝________.

解析：内切圆半径r ――→类比

内切球半径R .

△ABC 周长a ＋b ＋c ――→类比

棱锥A ­BCD 各面面积和． 答案：V A ­BCD ＝1

3

R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD )

9．如图所示，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2

β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．

解析：在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.

于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.

证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1. [B 组 能力提升]

1．将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 ……

则在表中数字2 019出现在( )

A．第44行第78列B．第45行第82列

C．第44行第77列D．第45行第83列

解析：第n行有2n－1个数字，

前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.

∵442＝1 936,452＝2 025，

且1 936＜2 019＜2 025，

∴2 019在第45行．

又2 025－2 019＝6，

且第45行有2×45－1＝89个数字，

∴2 019在第89－6＝83列．

答案：D

2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A．289 B．1 024

C．1 225 D．1 378

解析：记三角形数构成的数列为{a n}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝

1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)

2

.

同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.

将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225. 答案：C

3．类比平面内一点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的距离公式，猜想空间中一点

P (x 0，y 0，z 0)到平面Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A 2＋B 2＋C 2≠0)的距离公式为d ＝________.

解析：类比平面内点到直线的距离公式 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B

2，

易知答案应填|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |

A 2＋

B 2＋

C 2.

答案：|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |

A 2＋

B 2＋C

2

4．在平面中，△ABC 的∠ACB 的平分线CE 分△ABC 面积所成的比

S △AEC S △BEC

＝

AC BC

，将这个结论类

比到空间：在三棱锥A ­BCD 中，平面DEC 平分二面角A ­CD ­B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．

解析：平面中的面积类比到空间为体积， 故

S △AEC S △BEC

类比成

V A ­CDE V B ­CDE

.

平面中的线段长类比到空间为面积， 故

AC BC

类比成

S △ACD S △BDC

.

故有

V A ­CDE V B ­CDE ＝

S △ACD S △BDC

.

答案：

V A ­CDE V B ­CDE ＝

S △ACD S △BDC

5．已知椭圆具有以下性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－

y 2

b 2

＝1写出具有类似的性质，并加以证明．

解析：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a

2－

y 2b 2

＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲

线上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．

证明如下：设点M ，P 的坐标为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．

∵点M (m ，n )在已知双曲线上， ∴n 2＝

b 2a 2

m 2－b 2.同理y 2＝b 2

a

2x 2－b 2.

则k PM ·k PN ＝

y －n x －m ·

y ＋n

x ＋m ＝

y 2－n 2

x 2－m 2＝

b 2a 2·

x 2－m 2x 2－m 2＝

b 2

a 2

(定值).