答案：<
3．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：a a＋b b>a b＋b a
⇔a a－a b>b a－b b
⇔a(a－b)>b(a－b)
⇔(a－b)(a－b)>0
⇔(a＋b)(a－b)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
4．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)
解析：如图，设S 在底面ABC 上的射影为点O ， ∴SO ⊥平面ABC ，连接AO ，BO ， ∵SA ⊥BC ，SO ⊥BC ， ∴BC ⊥平面SAO ， ∴BC ⊥AO . 同理可证，AC ⊥BO . ∴O 为△ABC 的垂心． 答案：垂心
5．已知函数f (x )＝10x
，a ＞0，b ＞0，A ＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2ab a ＋b ，则A ，
B ，
C 的大小关系为________．
解析：由
a ＋b
2
≥ab ≥
2ab a ＋b ，又f (x )＝10x
在R 上是单调增函数，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2≥f ()ab ≥f ⎝
⎛⎭
⎪⎫2ab a ＋b ，
即A ≥B ≥C . 答案：A ≥B ≥C 二、解答题
6．已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数
列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．
解：f (a )＋f (c )＞2f (b )．
证明如下：因为a ，b ，c 是两两不相等的正数， 所以a ＋c ＞2ac .
因为b 2
＝ac ，所以ac ＋2(a ＋c )＞b 2
＋4b ， 即ac ＋2(a ＋c )＋4＞b 2
＋4b ＋4， 从而(a ＋2)(c ＋2)＞(b ＋2)2
. 因为f (x )＝log 2(x ＋2)是增函数， 所以log 2(a ＋2)(c ＋2)＞log 2(b ＋2)2
， 即log 2(a ＋2)＋log 2(c ＋2)＞2log 2(b ＋2)． 故f (a )＋f (c )＞2f (b )． 7．已知a >0，用分析法证明：
a 2＋1a 2－2>a ＋1
a
－2.
证明：要证
a 2＋1a 2－2≥a ＋1
a
－2，
只需证
a 2＋1
a 2＋2≥a ＋1
a
＋ 2. 因为a >0，故只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2＋1
a 2＋22
≥⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋1
a ＋22，
即a 2
＋1a
2＋4
a 2＋1
a 2＋4≥a 2＋2＋1
a 2＋2 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫
a ＋1a ＋2，
从而只需证2
a 2＋1
a 2≥2⎝ ⎛
⎭⎪⎫
a ＋1a ， 只需证4⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
＋2＋1a 2，
即a 2
＋1a
2≥2，
而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
8．(某某高考改编)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记
b n ＝nS n
n 2＋c ，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，
n ∈N *)．
证明：由c ＝0，得b n ＝S n n
＝a ＋
n －1
2
d .
又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 2
2＝b 1b 4，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2
－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈N *
，有S m ＝m 2
a .
从而对于所有的k ，n ∈N *
，有S nk ＝(nk )2
a ＝n 2k 2
a ＝n 2
S k .
新人教A版高中数学选修1-2第二章：推理与证明
第二章推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 A级基础巩固 一、选择题 1．下列推理是归纳推理的是() A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P 的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和S n的表达式 C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2 a2＋ y2 b2＝1的面积S ＝πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理． 答案：B 2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于() 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111
A．111 1110B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113 解析：由1×9＋2＝11； 12×9＋3＝111； 123×9＋4＝1 111； 1 234×9＋5＝111 111； … 归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同， 所以123 456×9＋7＝1 111 111. 答案：B 3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为() 解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．答案：A 4．设n是自然数，则1 8(n 2－1)[1－(－1)n]的值() A．一定是零B．不一定是偶数 C．一定是偶数D．是整数但不一定是偶数 解析：当n为偶数时，1 8(n 2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数； 当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，1 8(n 2－1)[1－(－1)n]＝ 1 8(4k 2＋ 4k)·2＝k(k＋1)为偶数．
最新人教版高中数学选修2-2第二章《推理与证明》本章小结
知识建构 1.合情推理与演绎推理 (1)归纳和类比都是__________,归纳是由__________到__________、__________到__________的推理,类比是由__________到__________的推理. (2)从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为__________,它是由__________到__________的推理. 答案：(1)合情推理特殊一般部分整体特殊 特殊 (2)演绎推理一般特殊 2.直接证明与间接证明 (1)利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法是__________. (2)从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,要把证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止,这种证明方法是__________. (3)假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法为__________. 答案：(1)综合法(2)分析法(3)反证法 3.数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题,常用数学归纳法,其步骤为: (1); (2). 答案：(1)证明当n取第一个值n0时命题成立 (2)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立结论成立则n=k+1时结论也成立 上述过程用框图表示为: 实践探究
1.下图中的三角形称为希尔宾斯基(S ierpi n s k i)三角形,在下图4个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公式__________. 思路分析:如题图,这4个三角形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.猜想这个数列的一个通项公式是a n =3n -1. 答案:a n =3n -1 温馨提示:(1)上面数列的递推关系为a n +1=3a n . (2)通项公式可用数学归纳法证明 . 2.若数列{a n }是一个等差数列,则{n a a a n 21+++ }是一个等差数列.类比这条性质,若数列{ b n }是一个等比数列,则有__________是一个等比数列. 思路分析:在等差数列{a n }与等比数列{b n } 中,有 {a n } {b n } 和 a 1+a 2+…+a n 积 b 1b 2…b n 算术平均数{n a a a n 21+++ }等差几何平均数{n n 21b b b }等比 证明:设数列{b n }的首项为b 1,公比为q, 则n 1)-(n 2111n n 211n 1n n 211 n 1 n 21q b q b b b b b b b ++++++++++= = 2 121 n 12n 1n 21)n(n n 11 n 21)n (n 1n 1q q b q b q b q b --+++=(常数), ∴数列{n n 21b b b }为等比数列. 答案:{ n n 21b b b } 3.已知O 是△A B C 内任意一点,连结A O 、BO 、C O 并延长交对边于A′、B ′、C′,则 1C C C O B B B O A A A O =''+''+''. 这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”: C C C O B B B O A A A O ' '+''+''
高中数学 第二章推理与证明全章归纳总结 新人教A版选修1-2
第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理与演绎推理(1) 归纳推理 【要点梳理】 1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。 是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。 2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是 3、归纳推理有如下特点 （1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。 （2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。（填“能”或“不能”） （3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。 【指点迷津】 1、运用归纳推理的一般步骤是什么？ 首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。 2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。 3、归纳推理的一般模式是什么？ S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P 【典型例题】 例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈' ='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则 )()(2005=x f A 、x sin B 、x sin - C 、x cos D 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='= ) ()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+ 故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有 x x f x f x f n n sin )(, cos )1()(2414-===++ x f x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++ 故选C 【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。
高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 直接证明讲义(含解析)苏教版选
直接证明 [对应学生用书P26] 1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4 2. 证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b， 又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝4 2. 故2a＋2b≥42成立． 问题1：本题利用什么公式？ 提示：基本不等式． 问题2：本题证明顺序是什么？ 提示：从已知到结论． 2．求证：3＋22<2＋7. 证明：要证明3＋22<2＋7， 由于3＋22>0,2＋7>0， 只需证明(3＋22)2<(2＋7)2， 展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立． 所以3＋22<2＋7成立． 问题1：本题证明从哪里开始？ 提示：从结论开始． 问题2：证题思路是什么？ 提示：寻求上一步成立的充分条件． 1．直接证明 (1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明． (2)直接证明的一般形式
⎭ ⎪⎬⎪ ⎫本题条件已知定义 已知公理 已知定理⇒…⇒本题结论． 2．综合法和分析法 直接证明 定义 推证过程 综合法 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法 已知条件⇒…⇒…⇒结论 分析法 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法 结论⇐…⇐…⇐已知条件 1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立． 2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立． [对应学生用书P27] 综合法的应用 [例1] 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2 ≥13. [思路点拨]从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析]∵a 2 ＋19≥2a 3， b 2＋19 ≥2b 3 ，c 2＋19 ≥2c 3 ，
高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明创新应用学案 新人教A版选修12
第1课时 综合法和分析法 [核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P 36～P 41的内容，回答下列问题． (1)阅读教材P 36“已知a ，b >0，求证a (b 2 ＋c 2 )＋b (c 2 ＋a 2 )≥4abc ”的证明过程，思考下列问题： ①该题的条件和结论各是什么？ 提示：条件：a ，b >0；结论：a (b 2 ＋c 2 )＋b (c 2 ＋a 2 )≥4abc . ②本题的证明过程是从“已知条件”出发，还是从“要证明的结论”出发？即证明该题的顺序是什么？ 提示：本题是从已知条件a ，b >0出发，借助基本不等式证明待证结论的． (2)阅读教材中证明基本不等式“ a ＋b 2 ≥ab (a >0，b >0)”的过程，回答下列问题： ①该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明的？ 提示：从结论开始证明的． ②该证明过程是综合法吗？ 提示：不是． ③该证明过程的实质是寻找使结论成立的什么条件？ 提示：充分条件． 2．归纳总结，核心必记 (1)综合法 ①综合法的定义 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． ②综合法的框图表示 P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论) (2)分析法 ①分析法的定义
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做分析法． ②分析法的框图表示 Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→ 得到一个明显 成立的条件 [问题思考] (1)综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”． (2)综合法与分析法有什么区别？ 提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因． (3)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1c －1≥8. 证明过程如下： ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1. ∴1a －1＝b ＋c a ＞0，1b －1＝a ＋c b ＞0，1c －1＝a ＋b c ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴不等式成立． 这种证明方法是综合法还是分析法？ 提示：综合法． [课前反思] (1)综合法的定义是什么？如何用框图表示综合法？ ； (2)分析法的定义是什么？如何用框图表示分析法？ .
高中数学《直接证明与间接证明——综合法和分析法》导学案
2.2.1综合法和分析法 1．直接证明 从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等，通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法． 2．综合法 (1)定义：一般地，利用□01已知条件和某些数学□02定义、□03定理、□04公理等，经过一系列的□05推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． (2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： P⇒Q1Q1⇒Q2Q2⇒Q3…Q n⇒Q 3．分析法 定义：一般地，从要证明的□06结论出发，逐步寻求使它成立的□07充分条 件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(□08已知条件、□09定理、□10定义、□11公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． 框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为： Q⇐P1P1⇐P2P2⇐P3…得到一个明显成立的条件
综合法与分析法的比较 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．() (2)分析法的推理过程要比综合法优越．() (3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．() 答案(1)×(2)×(3)√ 2．做一做 (1)证明不等式a＋1－aB是sin A>sin B的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分又不必要”)． 答案(1)分析法(2)综合法(3)充要 探究1 综合法的应用
高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1直接证明知识导航学案苏教版选修1-2
2.2.1 直接证明 知识梳理 1.直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明称为___________________（direct proof). 2.从已知条件出发，以已知的________________________________ 为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法称为综合法. 3.从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件吻合为止.这种证明方法称为___________________. 知识导学 综合法的基本思路是“由因导果”即从已知看可知，再逐步推向未知的方法.若用P表示已知条件，已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： 分析法的基本思路是：从未知看需知，再逐步靠近已知，若用P表示已知条件，Q表示所要证明的结论，则分析法的框图可以表示为 疑难突破 1.综合法与分析法的异同点： 综合法与分析法是两种不同的证明方法，但它们都是直接证法，都属于演绎推理，几何学中的定理和数学问题中的证明，大部分都采用综合法和分析法. 综合法与分析法的不同之处是：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”.分析法便于我们去找思路，而综合法便于过程的叙述. 2.证明与推理之间的联系和区别. （1）联系：证明过程其实就是推理的过程. 就是把论据作为推理的前提，应用正确的推理形式，推出论题的过程.一个论证可以只含一个推理，也可以包含一系列的推理；可以只是用演绎推理，或只用归纳推理，也可以综合运用演绎推理和归纳推理，所以证明就是推理，是一种特殊形式的推理. （2）区别：（ⅰ）从结构上看，推理包含前提和结论两部分，前提是已知的，结论，是根据前提推出来的；而证明是由论题、论据、论证三部分组成的.论题相当于推理的结论,是已知的，论据相当于推论的前提. （ⅱ）从作用上看，推理只解决形式问题，对于前提和结论的真实性是管不了的.而证明却要求论据必须是真实的，论题经过证明后其真实性是确信无疑的. 典题精讲 【例1】已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1, 求证：（-1)(-1)(-1)≥8. 思路分析：这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结构特点和条件a+b+c=1的合理应用.可用综合法和分析法两种方法证明. 证明：(方法1 综合法） （-1)（-1)（-1)
高中数学第2章推理与证明221直接证明优化训练苏教版选修22
高中数学第2章推理与证明221直接证明优化训练苏教版选修 22 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 直接证明 5分钟训练（预习类训练，可用于课前） 1.已知f(x)=122 )12(+-+x x a 是奇函数，那么实数a 的值等于（） A.1 B.-1 C.0 D.±1 答案：A 解析：函数的定义域为R ，函数为奇函数且x=0时f(0)=0, 即22 2-a =0,∴a=1,从而求出较为简单. 也可根据奇函数的定义f(-x)=-f(x)恒成立, 即122)12(+-+--x x a =122)12(+-+-x x a ,即122)21(1+-++x x x a =122 )12(+-+-x x a 恒成立，即2a+a·2x+1=2x+1+2∴a=1成立,较烦琐. 2.已知a 、b 是不相等的正数，x=2b a +,y= b a +,则x 、y 的关系是（） A.x>y B.y>x C.x>2y D.不确定 答案：B 解析：要比较x 、y 的大小，∵x>0,y>0， 只需比较x 2、y 2的大小，即22ab b a ++与a+b 的大小. ∵a、b 为不相等的正数，∴2ab <=""> b a ++<=""> 即x 2 3.已知p=a+21 -a (a>2),q=2422-+-a a ,则…（）
B.p C.p≥q D.p≤q 答案：A 解析：p 与q 不能直接进行比较，只能先判断p 和q 的取值范围. ∵a>2,∴p=a+21 -a =a-2+21 -a +2≥2+2=4. 而q=2422-+-a a =2)2(22+--a .∵a>2,∴-(a-2)2+2<2. ∴2)2(22+--a <22=4.∴q<4,从而作出比较. 4.若sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α-β)=____________. 解析：观察已知条件中有三个角α、β、γ，而所求结论中只有两个角α、β,所以我们只 需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin 2γ+cos 2γ=1消去γ. 即sin γ=-(sin α+sin β), cos γ=-(cos α+cos β), ∴(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=sin 2γ+cos 2γ=1, 整理得出cos(α+β)的值即可. 答案：2 1- 10分钟训练（强化类训练，可用于课中） 1.下面叙述正确的是( ) A.综合法、分析法是直接证明的方法 B.综合法是直接证法,分析法是间接证法 C.综合法、分析法所用语气都是肯定的 D.综合法、分析法所用语气都是假定的答案：A 2.A 、B 为△ABC 的内角,A>B 是sinA>sinB 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
高中数学第二章推理与证明22直接证明与间接证明用反证法解题的几种类型素材新人教A版选修22
用反证法解题的几种类型 在解题中，题目未指明用什么方法，便面临选择直接证法还是间接证法更好，甚至有些命题必须用反证法才能证明，如何掌握反证法的使用场合呢？一般来说，以下几种命题类型宜用反证法。 1“至多、至少”型命题[2] 通过反设结论，改变原来的限制条件，然后归谬、推理、找出矛盾。 例6、设1111x y z x y z ++=++=，求证：x ,y ,z 中至少有一个等于１。 证明：假设x ,y ,z 中没有一个等于１，则1x -≠0，10y -≠, 10z -≠。 因而 (1)(1)(1)0x y z ---≠， 即 ()()10xyz xy yz xz x y z -+++++-≠ (*) 因为 1111x y z ++=， 所以 xy yz xz xyz ++=, 代入(*)式，有 10x y z ++-≠。 这和已知1x y z ++=相矛盾，故,,x y z 中至少有一个等于１。 2唯一型命题 以否定唯一性为条件，得出反面结论、再用枚举法逐一否定各个反面结论，从而肯定结论。 例7、求证：两条直线相交只有一个交点。 证明：假设两条直线l 1,l 2相交有两个交点（设为A 、B 两点），则过A 、B 两点有两条不同
直线l 1, l 2，这与“两点确定一条直线”（公理）相矛盾,故假设不成立，所以两条直线相交只有一个交点。 3无限型命题 待证命题的结论是无限的，结论涉及的对象无法一一列出，这些命题结论的反面事项是 有限的、肯定的，这时宜用反证法。 例8、证明方程510x x +=的正根是无理数。 证明：当0x >时，函数510y x x =+-单调上升；又当 1.5x =时，510y x x =+-0<；当 1.6x =时，510y x x =+-0>。所以方程510x x +=的正根是在1.5与1.6之间，设正根是有理数q p (,p q 是互质的自然数),则(q p )5+q p =10，即54510p pq q +=，445()10p p q q +=，由于,p q 是自然数，所以44p q +为整数，则5 10q p 是整数。又因为,p q 互质，所以,p q 只有公因数１，上式说明p 只能是10的因数，但是p 取1，2，5，10的既约分数时，q p 都不会在1.5与1.6之间，因此假设不成立，故原命题正确。 4肯定型命题[3] 以“必然”为结论的命题，通过肯定结论给出命题，将原来的肯定命题转化为否定命题，再利用该否定命题找出矛盾。 例9、已知,,a b c 均为正整数，且满足222a b c +=,又a 为质数，求证：b 与c 两数必为一 奇一偶。 证明：假设b 和c 同为奇数或同为偶数，由222a b c +=,得2()()c b c b a +-=,根据奇偶数 性质知c b +和c b -同为偶数，则2 a 必为偶数，a 也为偶数，但a 是质数，所以a =2，即有()()4c b c b +-=,所以 ⎩⎨⎧=-=+22b c b c 或⎩ ⎨⎧=-=+14b c b c ， 可得 ⎩⎨⎧==20c b 或⎪⎩ ⎪⎨⎧== 2523c b ，
第二章：推理与证明教材分析与教学建
1-2，2-2第二章：“推理与证明”教材分析与教学建议 房山教师进修学校中学数学教研室张吉 一、地位与作用 “推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理与演绎推理。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，演绎推理和逻辑证明能力的培养是高中数学课程的重要目标。本章学习，有利于发展学生思给能力，提高学生数学素养，让学生感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，从而架起数学与生活的桥梁，形成严谨的理性思维和科学精神。 二、内容说明 “推理与证明”是新课标新增内容(选修1-2第二章，选修2-2第二章)，主要包括合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法三个部分（其中数学归纳法文科数学不作要求）．“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．本章内容是各知识模块中常用推理方法和论证方法的总结，推理方法与证明方法是从思维活动中抽象出来的，是由数学思维过程凝缩而成的，是高中数学的重要基础，在高中数学中占有极其重要的地位和作用． 三、课标要求 1．合情推理与演绎推理 （1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用． （2）结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． （3）通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 2．直接证明与间接证明 （1）结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点． （2）结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点． 3．数学归纳法（文科不做要求） 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 四、本章重点与难点 1．重点：（1）合情推理、演绎推理；（2）直接证明与间接证明。 2．难点：（1）演绎推理和反证法；（2）对数学归纳法的理解（只限理科）。 五、教学内容及课时安排 1．理科课时安排（合情推理与演绎推理3课时，直接证明与间接证明2课时，数学归纳法2课时，小结1 2．文课时安排（合情推理与演绎推理4课时，直接证明与间接证明4课时，小结2课时，共计10课时）
高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明与间接证明教案理新人教A版选修2-2(2021年整理)
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综合法和分析法 一、教学目标： （一）知识与技能： 结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 （二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力； （三)情感、态度与价值观： 通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点： 了解分析法和综合法的思考过程、特点 三、教学难点: 分析法和综合法的思考过程、特点 四、教学过程： (一）导入新课: 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法:直接证明与间接证明。（二）推进新课： 1。综合法 在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发,通过推理推导出所要的结论。例如： 已知a，b>0,求证2222 +++≥ ()()4 a b c b c a abc 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明,引导学生应用不等式证明。教师最
高中数学中的推理与证明方法详解
高中数学中的推理与证明方法详解 数学是一门需要逻辑推理和证明的学科，而在高中数学中，推理和证明方法是学习的重点之一。本文将详细介绍高中数学中常用的推理与证明方法，帮助学生更好地理解和应用。 一、直接证明法 直接证明法是最常用的证明方法之一，在数学中经常使用。它的基本思想是通过已知条件和已有定理，推导出所要证明的结论。这种证明方法通常分为两步：先列出已知条件和已有定理，再根据这些条件和定理推导出结论。 例如，我们要证明一个几何定理：“在等腰三角形中，底角的两边相等。” 首先，我们列出已知条件：三角形ABC是等腰三角形，AB=AC。 然后，根据这些已知条件，我们可以推导出结论：∠ABC=∠ACB，即底角的两边相等。 二、间接证明法 间接证明法是另一种常用的证明方法，它的基本思想是通过反证法，假设所要证明的结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。 例如，我们要证明一个数论定理：“如果一个整数的平方是奇数，则这个整数本身也是奇数。” 我们假设存在一个整数n，使得n^2是奇数，但n本身是偶数。 根据假设，我们可以得出结论：存在整数k，使得n=2k。 然而，根据等式n^2=(2k)^2=4k^2，我们可以得出结论：n^2是偶数，与已知条件矛盾。
因此，我们可以推断出原命题的正确性。 三、数学归纳法 数学归纳法是一种用于证明数列、等式和不等式等的方法。它的基本思想是通过证明当n为某个特定值时结论成立，再证明当n=k时结论成立时，可以推导出当n=k+1时结论也成立。 例如，我们要证明一个数列的等差性质：“对于等差数列a1, a2, a3, ...，有 an=a1+(n-1)d。” 首先，我们验证当n=1时结论成立：a1=a1+(1-1)d，等式成立。 然后，假设当n=k时结论成立，即ak=a1+(k-1)d。 我们再来验证当n=k+1时结论是否成立：ak+1=a1+(k-1)d+d=a1+kd。 由此可见，当n=k+1时结论也成立。 因此，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于等差数列a1, a2, a3, ...，有an=a1+(n-1)d。 四、反证法 反证法是一种常用的证明方法，它的基本思想是通过假设所要证明的结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。 例如，我们要证明一个几何定理：“如果一个几何图形是正方形，则它的对角线相等且垂直。” 我们假设存在一个几何图形，它是正方形，但对角线不相等或不垂直。 根据假设，我们可以得出结论：存在两条不相等的对角线AB和CD，或者两条对角线不垂直。
数学证明中的直接证明与间接证明
数学是一门严谨的学科，其核心在于推理与证明。在进行数学证明时，有直接证明和间接证明两种方法。直接证明是通过逻辑推理直接得出结论，而间接证明则是通过反证法或者归谬法，通过推翻事实的否定来得出结论。本文将分别介绍直接证明和间接证明，并分析它们在数学证明中的应用。 首先，我们来讨论直接证明。直接证明是最常见、最直接的证明方法。其核心思想是根据已知条件和数学定理，一步一步地推导出结论。直接证明通常包括假设、推理和结论三个步骤。首先，我们根据题目给出的条件假设一些前提条件，然后利用已知的定理和公理进行推理，最后根据这些推理得出结论。 直接证明的优点是逻辑性强、直观明了，容易让读者明白推理的过程。此外，对于一些简单的数学问题，直接证明能够很快得出结论，省去了许多繁琐的步骤。然而，直接证明的弊端是有时难以找到合适的定理进行推理，或者推导过程中的中间步骤比较复杂。在遇到这种情况时，我们就需要采用间接证明的方法。 其次，我们来讨论间接证明。间接证明有两种形式，一种是反证法，另一种是归谬法。反证法的基本思想是通过假设反命题的真假进行推导，如果得出一个恒真的结论，则原命题成立。归谬法则是通过假设原命题为真进行推导，最后得出一个恒假的结论，从而推翻了原命题。 间接证明的优点是可以处理一些复杂的数学问题，特别是那些直接证明困难的问题。间接证明可以通过假设反命题的真假或者假设原命题的真假，利用反证法或归谬法的推导过程将问题的复杂性降低，从而得出结论。然而，间接证明的过程通常较为繁琐，需要较高的抽象思维能力和逻辑推理能力。 在实际的数学证明中，常常需要根据题目的要求和限制条件选择合适的证明方法。有时，我们可以通过观察和归纳总结出一些数量关系或性质，然后用直接证明进行推导。而对于一些性质复杂的数学问题，我们可能需要采用间接证明的方法。因此，掌握直接证明和间接证明的技巧对于解决数学问题至关重要。 总之，数学证明中的直接证明和间接证明是两种常用的推理方法。直接证明通过逻辑推理直接得出结论，逻辑性强、直观明了。而间接证明则是通过反证法或归谬法，通过推翻事实的否定来得出结论。不同的证明方法适用于不同的数学问题，因此在实际应用中需要灵活选择。无论是直接证明还是间接证明，它们都是数学推理的重要工具，有助于我们深入理解数学问题，并提升数学思维能力。
高中数学：推理与证明知识点
高中数学：推理与证明知识点 1、合情推理 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 2、演绎推理 演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. 三段论 “三段论"是演绎推理的一般模式，包括: ①大前提（M是P）——已知的一般原理; ②小前提(S是M)——所研究的特殊情况; ③结论(S是P)——根据一般原理，对特殊情况做出的判断. 3、直接证明与间接证明 综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. 分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法. 反证法 定义：
一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 步骤： ①分清命题的条件和结论; ②作出与命题结论相矛盾的假定命题(否定结论); ③从假定和条件出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果(推导矛盾); ④断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真,于是原结论成立，从而间接证明了原命题为真命题. 4、数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行: ①(归纳奠基)证明当取第一个值n₀(n₀∈N⁺)时命题成立; ②(归纳递推)假设n=k (k≥n₀, k∈N⁺)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n₀开始的所有正整数n都成立.这种方法称为数学归纳法.
高中数学证明方法二
高中数学证明方法二 高中数学推理与证明重难点 一、合情推理 1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论; 2.类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。 二、演绎推理 演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。 三、直接证明与间接证明 直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(或顺推证法、由因导果法)。分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法。
间接证明是相对于直接证明说的，反证法是间接证明常用的方法。假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫做反证法。 四、数学归纳法 数学上证明与自然数n有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。 篇2：高中数学证明 高中数学证明 高中数学证明 一、 现在正在学数学选修4-1《几何证明选讲》，做几何大题的时候，总是想不出来该怎么画辅助线，所以总是不会写，我数学不算差，可是面对这种证明题就老是蒙。求练习方法，要怎么办 首先你要熟知的几何中的所有定理!在做几何题的时候你就会熟练地运用!对于怎么画辅助线，当你看到一个几何题目的时候，自己要把题目中的已知摆出来!这样有助于你利用定理解决问题!的那个你确定用哪个定理时，你就判断还需要什么，这个时候画辅助线就变得简单啦!比如题目中有告诉你中点，你就会联想到中位线，30°所对直角边是斜边的一半,想到梯形，等等! 总之做这种几何题目时，要善于将已知信息联系定理，在看定理缺什么，然后就画辅助线使定理能使用
