高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法练习(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选
2.2.2 反证法
一、选择题
1．用反证法证明命题：“三角形的内角至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）
A ．假设三内角都不大于60度
B ．假设三内角都大于60度
C ．假设三内角至多有一个大于60度
D ．假设三内角至多有两个大于60度
【答案】B
【解析】由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B 是正确的，所以选B.
2．用反证法证明“如果a b >>
A =<=
C D =<
【答案】D
【解析】>反证法需假设结论的反面，应为小于或等于，=<
3．用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（）
A ．方程02=++b ax x 没有实根
B ．方程02=++b ax x 至多有一个实根
C ．方程02=++b ax x 至多有两个实根
D ．方程02=++b ax x 恰好有两个实根
【答案】A
【解析】方程02=++b ax x 至少有一个实根的否定是方程02=++b ax x 没有实根，∴用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是方程02=++b ax x 没有实根．故选A ．
4．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可以被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”假设的内容是（）
A ．a ，b 都能被5整除
B ．a ，b 都不能被5整除
C ．a 不能被5整除
D ．a ，b 有1个不能被5整除
【答案】B
【解析】用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设a ，b 都不能被5整除.
5．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”
时正确的假设为（）
A ．自然数c b a ,,都是奇数
B ．自然数c b a ,,都是偶数
C ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数
D ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数
【答案】D
【解析】反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数.
6．设椭圆22
221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12
，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )
A ．必在圆x 2＋y 2＝2上
B ．必在圆x 2＋y 2＝2外
C ．必在圆x 2＋y 2＝2内
D ．以上三种情形都有可能
【答案】C 【解析】∵12
c e a ==，∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2.假设点P (x 1，x 2)不在圆 x 2＋y 2＝2内，则2
2122x x +≥，但()2
22212121222b c x x x x x x a a ⎛⎫+=+-=-+ ⎪⎝⎭ 223272424
c c c c =+=<，矛盾．
∴假设不成立．∴点P 必在圆x 2＋y 2＝2内．故选C.
二、填空题
7．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是.
【答案】方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根
【解析】因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根个数大于或等于1”，所以假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．
8．用反证法证明命题“若210x -=，则1x =-或1x =”时，应假设.
【答案】1-≠x 且1≠x
【解析】反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是1-≠x 且1≠x .
9．用反证法证明命题：“设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于3
1”时，第一步应写：假设．
【答案】c b a ,,都小于3
1 【解析】反证法第一步是否定结论，a 、b 、c 中至少有一个数不小于
31的否定是c b a ,,都小于31． 10．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为________．
【答案】③①②
【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，步骤的顺序应为③①②.
2019秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明 检测B Word版含解析.docx
第二章检测(B) (时间:90分钟满分:120分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1下列说法正确的有() ①演绎推理是由一般到特殊的推理; ②演绎推理得到的结论一定是正确的; ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式; ④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确,故②错误,其他都正确.故选C. 答案C 2有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b?平面α,a?平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”,这显然是错误的,这是因为() A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 解析“直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线”是错误的,即大前提是错误的.故选A. 答案A 3(1)已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.用反证法证明此命题时可假设p+q≥2; (2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证:关于x的方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明此命题时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1. 以下结论正确的是() A.(1)与(2)的假设都错误 B.(1)与(2)的假设都正确 C.(1)的假设正确,(2)的假设错误 D.(1)的假设错误,(2)的假设正确 解析反证法证明问题的第一步是“假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立”,而命题(1)结论的反面应为“p+q>2”;对命题(2),其结论的反面为“方程x2+ax+b=0的两根的绝对值至少有一个大于或等于1”.故选D. 答案D
人教A版高中数学选修一第二章推理与证明答案.docx
第二章合情推理与演绎推理答案 2.1.1 合情推理与演绎推理(1) 1、d n a a n )1(1-+= 2、B 3、A 4、()n n n n )1(1169411 +-++-+-+Λ 5、θθθ n cos 23cos 22cos 2 6、V+F —E=2 7、解：9)5(,5)4(,2)3(,0)2(====f f f f 可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数 4)4()5(,3)3()4(,2)2()3(=-=-=-∴f f f f f f 猜测得出1)1()(-=--n n f n f 有)1(432)2()(-++++=-n f n f Λ )2)(1(2 1)(-+= ∴n n n f 因此)2)(1(2 1)(,5)4(-+==n n n f f 8、解：4 2112 23?= 4 32212 233?=+ 4 433212 2333?=++ 4 5443212 23333?=+++ ()414321223333+=+++++n n Λ 由此可以有求和的一般公式为()414321223 333+=+++++n n Λ 2.1.2合情推理与演绎推理(2) 1、C 2、D 3、D 4、类比 5、（1）圆柱面（2）两个平行平面 6、()()()x C x S x S 22= ()()()()()y S x C y C x S y x S +=+ 7、在等比数列{}n a 中，若q p n m +=+，()*,,,N q p n m ∈，则q p n m a a a a ?=? 8、（1）（平面）在平行四边形中，对角线互相平分；（立体）在平行六面体中，对角线相交于同一点，且在这一点互相平分；（2）（平面）在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；（立体）在平行六面体中，各对角线长的平方和等于各棱长的平方和；（3）（平面）圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；（立体）球体积等于球面积与半径之积的1/3；（4）（平面）正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍，（立体）正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍。9、2ABC S ?+2ACD S ?+2ADB S ?=2 BCD S ? 2.1.3 合情推理与演绎推理(3) 1、C 2、D 3、B 4、B 5、A 6、8-=a ，无限不循环小数为无理数 7、（1）一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形（大前提）；三角形ABC 的三边 长依次为5，12，13，而22212513+=（小前提）；三角形ABC 是直角三角形（结论）（2） 二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图象是一条抛物线（大前提）；函数12++=x x y 是二次函数（小前提）；函数12 ++=x x y 的图象是一条抛物线（结论）
2019-2020学年人教A版高中选修2-2数学浙江专版第二章 习题课二 推理与证明 Word版含
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习题课二错误! 1．用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设( ）A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60° 解析：选B 假设结论不成立，即“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°"，故选B. 2．若三角形能分为两个与自己相似的三角形,那么这个三角形一定是( ） A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．不能确定 解析：选C 直角三角形斜边上的高将直角三角形剖分为两个直角三角形，这两个直角三角形与原三角形都相似,故选C。 3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( ) A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－错误!≤0 C.错误!－1－a2b2≤0 D．(a2－1)（b2－1）≥0 解析：选D 因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1）（b2－1）≥0.故选D. 4．用反证法证明命题“设a，b为实数,则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（） A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”． 5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外,每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语
2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：2.2.2反证法 Word版含解析
2.2.2反证法 填一填 1.反证法 假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等. 判一判 1. 2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．(×) 3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．(√) 4．反证法是通过证明逆否命题来证明原命题．(×) 5．用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(×) 6．使用反证法证明时，可以不进行反设．(×) 7．反证法是指将结论和条件同时否定．(×) 8．“全为0”的对立面是“全不为0”．(×) 想一想 1. (1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定”． (2)反证法属“间接解题方法”． 2．“反证法”和“证明逆否命题”的区别与联系是什么？ (1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法． (2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立，而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾． 3．反证法中常用到的反设有哪些？ 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n－1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个． 4．反证法的适用对象有哪些？ 作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题： (1)直接证明需分多种情况的；
人教版数学高二 数学A版选修1-2 第二章《推理与证明》教辅资料
满足y=x 2,则log 2(22)x y +的最小值是 7 8 ；④若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。其中正确的是（ ）。 (A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 解析 用综合法可得应选（B ） 例2 函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 . 解析∵函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数， ∴ 0＜x+2＜2即-2＜x ＜0 ∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数， 又∵函数y=f(x+2)是偶函数， ∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数 由图象可得 f(2.5)>f(1)>f(3.5) 故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5) 例3 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+c c b a b b c a a a c b 解析∵ a ，b ，c 全不相等 ∴ a b 与b a ，a c 与c a ，b c 与c b 全不相等。 ∴ 2，2，2b a c a c b a b a c b c +>+>+> 三式相加得6b c c a a b a a b b c c +++++> ∴ (1)(1)(1)3b c c a a b a a b b c c +-++-++-> 即 3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++> 练习 一、选择题 1．如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。 （A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ） 1845a a a a = 2．在△ABC 中若b=2asinB 则A 等于( ) (A)0 6030或 (B)0 6045或 (C)00 12060或 (D)0 015030或 3．下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++2 2 2 ；②()411≤ -a a ；③2≥+a b b a ；④()() ()2 2 222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 二、填空题 4． 已知 5,2==b a ，向量b a 与的 夹角为0 120，则a b a ．)2(-= 5. 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法练习(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选
2.2.2 反证法 一、选择题 1．用反证法证明命题：“三角形的内角至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（） A ．假设三内角都不大于60度 B ．假设三内角都大于60度 C ．假设三内角至多有一个大于60度 D ．假设三内角至多有两个大于60度 【答案】B 【解析】由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B 是正确的，所以选B. 2．用反证法证明“如果a b >> A =<= C D =< 【答案】D 【解析】>反证法需假设结论的反面，应为小于或等于，=< 3．用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（） A ．方程02=++b ax x 没有实根 B ．方程02=++b ax x 至多有一个实根 C ．方程02=++b ax x 至多有两个实根 D ．方程02=++b ax x 恰好有两个实根 【答案】A 【解析】方程02=++b ax x 至少有一个实根的否定是方程02=++b ax x 没有实根，∴用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是方程02=++b ax x 没有实根．故选A ． 4．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可以被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”假设的内容是（） A ．a ，b 都能被5整除 B ．a ，b 都不能被5整除 C ．a 不能被5整除 D ．a ，b 有1个不能被5整除 【答案】B 【解析】用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设a ，b 都不能被5整除. 5．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”
高中数学 第二章 推理与证明练习 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题
第二章 推理与证明 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.证明：n ＋2 2＜1＋12＋13＋14＋…＋1 2n ＜n ＋1（n ＞1），当n ＝2时，中间式子等于（ ） A.1 B.1＋1 2 C.1＋12＋13 D.1＋12＋13＋14 解析：选D.n ＝2时中间式子的最后一项为14，所以中间式子为1＋12＋13＋1 4 . 2.用反证法证明命题：“若函数f （x ）＝x 2 ＋px ＋q ，那么|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|中至少有一个不小于1 2 ”时，反设正确的是（ ） A.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都不小于1 2 B.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都小于1 2 C.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|至多有两个小于1 2 D.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|至多有一个小于1 2 解析：选B.“|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|中至少有一个不小于1 2”的反设为“|f （1） |，|f （2）|，|f （3）|都小于1 2 ”. 3.设x ＞0，则不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，推广到x ＋a x n ≥n ＋1，则a ＝（ ） A.2n B.2n C.n 2 D.n n 解析：选D.结合已知的三个不等式可以发现第二个加数的分子是分母x 的指数的指数次方，可得a ＝n n . 4.下面是一段“三段论”推理过程：若函数f （x ）在（a ，b ）内可导且单调递增，则在（a ，b ）内，f ′（x ）>0恒成立.因为f （x ）＝x 3 在（－1，1）内可导且单调递增，所以在（－1，1）内，f ′（x ）＝3x 2 >0恒成立.以上推理中（ ）
2020_2021学年高中数学第二章推理与证明章末综合测评含解析新人教A版选修2_2
新人教A 版高中数学选修1_2： 章末综合测评(二) 推理与证明 (满分：150分 时间：120分钟) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理 D ．非以上答案 C [根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.] 2．在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( ) A ．三角形的中位线平行于第三边 B ．三角形的中位线等于第三边的一半 C ．EF 为中位线 D ．EF ∥BC A [这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为△ABC 的中位线；结论：EF ∥BC .] 3．用数学归纳法证明：“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)”．从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C ．2k ＋1k ＋1 D ．2k ＋3k ＋1 B [当n ＝k 时左端的第一项为(k ＋1)，最后一项为(k ＋k )．当n ＝k ＋1时，左端的第一项为(k ＋2)，最后一项为(2k ＋2)．∴左边乘以(2k ＋1)(2k ＋2)，同时还要除以(k ＋1)．] 4．下列推理正确的是( ) A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y B ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin y C ．把a (b ＋c )与a x ＋ y 类比，则有a x ＋ y ＝a x ＋a y D ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有(xy )z ＝x (yz ) D [(xy )z ＝x (yz )是乘法的结合律，正确．] 5．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0
人教A版2019高中数学选修1-2习题：第二章2.2-2.2.2反证法_含答案
第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法 A级基础巩固 一、选择题 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( ) ①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论． A．①②B．①②④ C．①②③D．②③ 解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的． 答案：C 2．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．” 答案：A 3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤： ①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线． 则正确的序号顺序为( ) A．①②③B．③①② C．①③②D．②③① 解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②. 答案：B 4．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( ) A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数
C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 D ．a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数 解析：自然数a ，b ，c 中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设，应选D. 答案：D 5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于( ) A ．0 B.13 C.12 D ．1 解析：假设a ，b ，c 都小于13 ，则a ＋b ＋c <1，与a ＋b ＋c ＝1矛盾，选项B 正确． 答案：B 二、填空题 6．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________． 解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交， ∴应假设b 与c 平行或相交． 答案：b 与c 平行或相交 7．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数． 证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数． 解析：由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数， 故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋…a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数． 答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7) 8．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个． 解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n . 答案：0 三、解答题 9．设x ，y 都是正数，且x ＋y >2，试用反证法证明：1＋x y <2和1＋y x <2中至少有一个成立．
高中数学第二章推理与证明22直接证明与间接证明用反证法解题的几种类型素材新人教A版选修22
用反证法解题的几种类型 在解题中，题目未指明用什么方法，便面临选择直接证法还是间接证法更好，甚至有些命题必须用反证法才能证明，如何掌握反证法的使用场合呢？一般来说，以下几种命题类型宜用反证法。 1“至多、至少”型命题[2] 通过反设结论，改变原来的限制条件，然后归谬、推理、找出矛盾。 例6、设1111x y z x y z ++=++=，求证：x ,y ,z 中至少有一个等于１。 证明：假设x ,y ,z 中没有一个等于１，则1x -≠0，10y -≠, 10z -≠。 因而 (1)(1)(1)0x y z ---≠， 即 ()()10xyz xy yz xz x y z -+++++-≠ (*) 因为 1111x y z ++=， 所以 xy yz xz xyz ++=, 代入(*)式，有 10x y z ++-≠。 这和已知1x y z ++=相矛盾，故,,x y z 中至少有一个等于１。 2唯一型命题 以否定唯一性为条件，得出反面结论、再用枚举法逐一否定各个反面结论，从而肯定结论。 例7、求证：两条直线相交只有一个交点。 证明：假设两条直线l 1,l 2相交有两个交点（设为A 、B 两点），则过A 、B 两点有两条不同
直线l 1, l 2，这与“两点确定一条直线”（公理）相矛盾,故假设不成立，所以两条直线相交只有一个交点。 3无限型命题 待证命题的结论是无限的，结论涉及的对象无法一一列出，这些命题结论的反面事项是 有限的、肯定的，这时宜用反证法。 例8、证明方程510x x +=的正根是无理数。 证明：当0x >时，函数510y x x =+-单调上升；又当 1.5x =时，510y x x =+-0<；当 1.6x =时，510y x x =+-0>。所以方程510x x +=的正根是在1.5与1.6之间，设正根是有理数q p (,p q 是互质的自然数),则(q p )5+q p =10，即54510p pq q +=，445()10p p q q +=，由于,p q 是自然数，所以44p q +为整数，则5 10q p 是整数。又因为,p q 互质，所以,p q 只有公因数１，上式说明p 只能是10的因数，但是p 取1，2，5，10的既约分数时，q p 都不会在1.5与1.6之间，因此假设不成立，故原命题正确。 4肯定型命题[3] 以“必然”为结论的命题，通过肯定结论给出命题，将原来的肯定命题转化为否定命题，再利用该否定命题找出矛盾。 例9、已知,,a b c 均为正整数，且满足222a b c +=,又a 为质数，求证：b 与c 两数必为一 奇一偶。 证明：假设b 和c 同为奇数或同为偶数，由222a b c +=,得2()()c b c b a +-=,根据奇偶数 性质知c b +和c b -同为偶数，则2 a 必为偶数，a 也为偶数，但a 是质数，所以a =2，即有()()4c b c b +-=,所以 ⎩⎨⎧=-=+22b c b c 或⎩ ⎨⎧=-=+14b c b c ， 可得 ⎩⎨⎧==20c b 或⎪⎩ ⎪⎨⎧== 2523c b ，
高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法习题新人教A版选修2-2(2021年整理)
2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.2 反证法习题新人教A 版选修2-2 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.2 反证法习题新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.2 反证法习题新人教A版选修2-2的全部内容。
第一章 2。2 2。2。2 反证法 A 级 基础巩固 一、选择题 1．设a 、b 、c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ,b ＋错误!，c ＋错误!（ C ) A ．都不大于－2 B ．都不小于－2 C ．至少有一个不大于－2 D ．至少有一个不小于－2 [解析］ 假设都大于－2，则a ＋错误!＋b ＋错误!＋c ＋错误!>－6, 但(a ＋1b )＋（b ＋错误!）＋（c ＋错误!) ＝（a ＋错误!)＋（b ＋错误!)＋（c ＋错误!)≤－2＋(－2）＋（－2）＝－6，矛盾． 2．(2018·湖北期中）已知a ，b ，c ∈(0,＋∞)，则下列三个数a ＋4b ,b ＋错误!,c ＋错误!（ D ） A ．都大于6 B ．至少有一个不大于6 C ．都小于6 D ．至少有一个不小于6 [解析] 设a ＋错误!，b ＋错误!，c ＋错误!都小于6， 则a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16a ＜18， 利用基本不等式可得a ＋错误!＋b ＋错误!＋c ＋错误!≥2错误!＋2错误!＋2错误!＝8＋4＋6＝18, 这与假设所得结论矛盾，故假设不成立， 故下列三个数a ＋错误!，b ＋错误!，c ＋错误!至少有一个不小于6， 故选D ． 3．（2017·青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．"乙说:“甲、丙都未获奖．"丙说:“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是（ C )
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2学业测评：2.2.2 反证法 Word版含解析
学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．实数a，b，c不全为0等价于( ) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 【解析】“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”． 【答案】 D 2．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 【解析】依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A. 【答案】 A 3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( ) A．一定是异面直线B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线 【解析】假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C. 【答案】 C 4．设a，b，c大于0，则3个数：a＋1 b，b＋ 1 c，c＋ 1 a的值( ) 【导学号：60030059】 A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2
【解析】 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数都小于2，则必有a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a <6，而⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫c ＋1c ≥2a·1a ＋2b·1b ＋2c·1c ＝6，故二者相矛盾．所以假设不成立． 【答案】 D 5．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( ) A ．有两个内角是钝角 B ．有三个内角是钝角 C ．至少有两个内角是钝角 D ．没有一个内角是钝角 【解析】 “最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C. 【答案】 C 二、填空题 6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是___________________________________________________________． 【解析】 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形． 【答案】 没有一个面是三角形或四边形或五边形 7．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)． 【解析】 假设a ，b 均不大于1，即a ≤1，b ≤1. 则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a ，b 中至少有一个大于1”，故选③. 【答案】 ③ 8．(2016·开原模拟)如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2分别是________．(填三角形的种类) 【解析】 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．
高中数学 专题2.2.2 反证法练习(含解析)新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题
反证法 1．a ＞0，b ＞0，c ＞0，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( ) A ．都大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个数不大于2 D ．至少有一个数不小于2 答案：D 2．设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，右焦点为F (c,0)，方程ax 2 ＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( ) A ．必在圆x 2＋y 2＝2上 B ．必在圆x 2＋y 2＝2外 C ．必在圆x 2＋y 2＝2内 D ．以上三种情形都有可能 解析：∵e ＝c a ＝12， ∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2. 假设点P (x 1，x 2)不在圆x 2＋y 2＝2内， 则x 2 1＋x 22≥2，但x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2＋2c a ＝3c 2 4c 2＋2c 2c ＝74＜2，矛盾． ∴假设不成立，∴点P 必在圆x 2＋y 2 ＝2内． 故选C. 答案：C 3．在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的结论是正确的．例如：在△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内一点，∠APB ＞∠APC ，求证：∠BAP ＜∠CAP .用反证法证明时应分：假设________和________两类． 解析：因为小于的否定是不小于，所以应填∠BAP ＝∠CAP 和∠BAP ＞∠CAP . 答案：∠BAP ＝∠CAP ∠BAP ＞∠CAP 4．完成下面的反证法证题的全过程． 已知：设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个全排列．
高中数学 第二章 推理与证明测评课后提升训练(含解析)新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2
第二章测评 (时间120分钟,满分150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.用反证法证明“若x+y≤0,则x≤0或y≤0”时,应假设() A.x>0或y>0 B.x>0且y>0 C.xy>0 D.x+y<0 x+y≤0,则x≤0或y≤0”时,应先假设x>0且y>0. 2.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则S1 S2=1 4 ,推广 到空间可以得到类似结论:已知正四面体PABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则S1 S2 =() A.1 8B.1 9 C.1 64 D.1 27 1∶3,故S1 S2=1 27 .故选D. 3观察下列各等式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,……则52 017的末四位数字是() A.3125 B.5625 C.8125 D.0625 5=3 125的末四位数字为3125;56=15 625的末四位数字为5625;57=78 125的末四位数字为8125;58=390 625的末四位数字为0625;59=1 953 125的末四位数字为3125……根据末四位数字的变化,3125,5625,8125,0625,即末四位的数字是以4为周期变化的,故2 017除以4余1,即末四位数为3125.则52 017的末四位数字为3125. 4.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表: 例如,用十六进制表示E+D=1B,则A×B等于() A.6E B.72 C.5F D.B0 5.在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,则有EF∥BC.这个命题的大前提为() A.三角形的中位线平行于第三边 B.三角形的中位线等于第三边的一半 C.EF为中位线 D.EF∥CB
高中数学(人教A版)选修2-2第二章推理与证明测试题(含详解)
第二章测试 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若实数a ，b 满足b >a >0，且a ＋b ＝1，则下列四个数最大的是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C.12 D ．a 答案 A 2．下面用“三段论”形式写出的演练推理：因为指数函数y ＝ a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数，y ＝(12 )x 是指数函数，所 以y ＝(12 )x 在(0，＋∞)上是增函数． 该结论显然是错误的，其原因是( )
A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．以上都可能 解析 大前提是：指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数，这是错误的． 答案 A 3．已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a >b B ．a c ＋c －1，∴a 20192019学度高中数学人教A版选修22：阶段质量检测(二)推理与证明Word版含解析
20192019学度高中数学人教A版选修22：阶段质量检测（二） 推理与证明Word版含解析 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出旳四个选项中，只有一项是符合题目要求旳) 1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”旳推理过程是() A．归纳推理B．类比推理 C．演绎推理D．非以上答案 解析：选C根据演绎推理旳定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理() A．正确 B．推理形式不正确 C．两个“自然数”概念不一致 D．“两个整数”概念不一致 解析：选A三段论中旳大前提、小前提及推理形式都是正确旳． 3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法： ①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数． 则说法中正确旳个数有() A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B可用反证法推出①，②不正确，因此③正确． 4．下列推理正确旳是() A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a y B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a y D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz) 解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法旳结合律，正确． 5．已知f(x＋1)＝2f(x) f(x)＋2 ，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)旳表达式为() A．f(x)＝ 4 2x＋2 B．f(x)＝ 2 x＋1
(新课程)高中数学《2.2.2反证法》评估训练 新人教A版选修2-2
2.2.2 反证法 双基达标 限时20分钟 1．实数a ，b ，c 不全为0等价于 ( )． A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0 解析 不全为0即至少有一个不为0，故选D. 答案 D 2．下列命题错误的是 ( )． A ．三角形中至少有一个内角不小于60° B ．四面体的三组对棱都是异面直线 C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点 D ．设a 、b ∈Z ，若a 、b 中至少有一个为奇数，则a ＋b 是奇数 解析 a ＋b 为奇数⇔a 、b 中有一个为奇数，另一个为偶数，故D 错误． 答案 D 3．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1 x ，则a ，b ，c 三个数 ( )． A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不小于2 D ．都大于2 解析 若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6①， 而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1 z ≥6②， 显然①，②矛盾，所以C 正确． 答案 C 4．命题“△ABC 中，若A >B ，则a >b ”的结论的否定应该是________． 答案 a ≤b 5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是________． 答案 至少有两个内角是直角
6．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直． 证明假设AC⊥平面SOB，如图， ∵直线SO在平面SOB内， ∴SO⊥AC. ∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB. ∴SO⊥平面SAB. ∴平面SAB∥底面圆O. 这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直． 综合提高限时25分钟 7．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则 ( )．A．a，b都与l相交 B．a，b中至少有一条与l相交 C．a，b中至多有一条与l相交 D．a，b都不与l相交 解析逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B. 答案 B 8．以下各数不能构成等差数列的是 ( )．A．3,4,5 B.2，3， 5 C．3,6,9 D.2，2， 2 解析假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列． 答案 B 9．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________． 解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”． 答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角 10．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________． 解析“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．答案a，b不全为0
2018-2019年人教A版数学选修2-2同步练习：第二章+推理与证明+测评B+Word版含解析
第二章测评B (高考体验卷) (时间:90分钟满分:100分) 第Ⅰ卷(选择题共50分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是() A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 解析:因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根. 答案:A 2.设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是() A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β C.若l⊥α,l∥β,则α∥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β 解析:如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中, 对于A,设l为AA1,平面B1BCC1,平面DCC1D1为α,β. A1A∥平面B1BCC1,A1A∥平面DCC1D1, 而平面B1BCC1∩平面DCC1D1=C1C; 对于C,设l为A1A,平面ABCD为α,平面DCC1D1为β.A1A⊥平面ABCD,A1A∥平面DCC1D1, 而平面ABCD∩平面DCC1D1=DC; 对于D,设平面A1ABB1为α,平面ABCD为β,直线l为D1C1,平面A1ABB1⊥平面ABCD,D1C1∥平面A1ABB1,而D1C1∥平面ABCD. 故A,C,D都是错误的. 而对于B,根据垂直于同一直线的两平面平行,知B正确. 答案:B 3.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有() A.b=a3 B.b=a3+