人教A版高中数学选修一第二章推理与证明

高中数学学习材料

金戈铁骑整理制作

第二章 推理与证明

2.1.1 合情推理与演绎推理(1)

归纳推理

【要点梳理】

1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。 是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。

2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是

3、归纳推理有如下特点

（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。

（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。（填“能”或“不能”）

（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

【指点迷津】

1、运用归纳推理的一般步骤是什么？

首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。 2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。 3、归纳推理的一般模式是什么？

S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P

【典型例题】

例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'

='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则

)()(2005=x f

A 、x sin

B 、x sin -

C 、x cos

D 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=

)

()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f x

x x f x

x x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+

故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有

x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++

x

f x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++

故选C

【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。

例2、根据所给数列前几项的值：

,99

10

,638,356,154,32猜想数列的通项公式。 【解析】： ;11

95

29910;9742638;7532356;5322154;311232⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=

于是猜想给数列的通项公式：()()

12122+-=n n n

a n

【点评】根据数列中前几项给出数列的一个通项公式，主要是对数列特征进行认真观察，结合常见数列的通项公式，对已知数列进行分解、组合，从而发现其中的规律。

例3、在某报《自测健康状况》的报道中，自自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空格内

年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压（水银柱/毫米） 110 115 120 125 130 135 145 舒张压（水银柱/毫米）

70

73

75

78

80

83

88

【解析】：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列，舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，…照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140，85

【点评】本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学的能力，它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数学思维活动。

【阶梯练习】 ★基础练习★

1、等式)475(2

1

32122

2

2

2

+-=++++n n n （ ） A 、 n 为任何正整数时都成立 B 、 仅当3,2,1=n 时成立 C 、 当4=n 时成立，5=n 时不成立 D 、 仅当4=n 时不成立 2、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a n S a 21,1== *

N n ∈，试归纳猜想出n S 的

表达式为（ ）

A 、12+n n

B 、112+-n n

C 、112++n n

D 、22+n n

3、在等差数列{}n a 中，首项为1a ，公差为d ，则有

d

a a d a a d

a a n n =-=-=--12312

我们可以得出：=n a

4、从1=1，)4321(16941,321941),21(41+++-=-+-++=+-+-=-…，

概括出第n 个式子为 ★能力训练★

5、设θcos 21=+x x ，则=+221x x ，=+331

x

x …=+

n n

x

x 1

6、多面体的顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ，则V 、E 、F 三者之间的关系为

7、设平面内有n 条直线（3≥n ），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f = ，当n>4时()n f = （用n 表示）

8、已知2

)

1(4321,,104321,6321,321+=

+++++=+++=++=+n n n ，观察下列立方和 ,4321,321,21,13

3

3

3

3

3

3

3

3

3

++++++试归纳出上述求和的一般公式？

2.1.2 合情推理与演绎推理(2)

类比推理

【要点梳理】

1、根据两个（或两类）对象之间在某些方面的 ，推演出它们在其他方面也 ，象这样的推理通常称为 ，简称

2、数学活动中常用的合情推理是 和

3、合情推理是根据 以及 等推测某些结果的推理过程。 【指点迷津】

1、类比推理的思维过程是什么？

观察、比较 联想、类推 猜测新的结论 2、类比推理的一般步骤是什么？

（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。 3、类比推理的特点是什么？

（1） 类比推理是从特殊到特殊的推理

（2） 类比推理是从人么已经掌握了的事物特征，推测出正在被研究中的事物的特征，

所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠。

（3） 类比推理以旧的知识作基础，推测性的结果，具有发现的功能。

【典型例题】

例1、类比圆的下列特征，找出球的相关特征 （1） 平面内与定点的距离等于定长的点的集合是圆； （2） 平面内不共线的3个点确定一个圆 （3） 圆的周长和面积可求 （4） 在平面直角坐标系中，以点()00,y x 为圆心，r 为半径的圆的方程为

()()22020r y y x x =-+-

【解析】：(1)在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球； （2）空间中不共面的4个点确定一个球； （3）球有表面积与体积；

（4）在空间直角坐标系中，以点()000,,z y x 为球心，r 为半径的球的方程为

()()()2202020r z z y y x x =-+-+-

【点评】

例2、在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n n a a a a a a -+++=+++192121

()*

,19N n n ∈<成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n

b 中，若19

=b

，则有等

式 成立。 【解析】：在等差数列{}n a 中，由010=a ，得n n a a a a a a -+==+=+20182191

0210191==+=-+a a a n n

所以 01921=+++++a a a a n 即1181921+----=+++n n a a a a a a 又119182191,,+--=-=-=n n a a a a a a

1181921+----=+++∴n n a a a a a a n a a a -+++=1921 若09=a ，同理可得n n a a a a a a -+++=++172121

相应地等比数列{}n b 中，则可得：()

*

172121,17N n n b b b b b b n n ∈<=-

【点评】已知性质成立的理由是应用了“等距和”性质，故类比等比数列中，相应的“等距积”性质，即可求解。

【阶梯练习】

★基础练习★ 1、三角形的面积为()c b a r c b a S ,,,2

1

⋅++=

为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为 （ ）

A 、abc V 31=

B 、Sh V 31

= C 、()r S S S S V 43213

1

+++= （4321,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面

体内接球的半径） D 、)(,)(3

1

为四面体的高h h ac bc ab V ++=

2、归纳推理和类比推理的相似之处为 （ ）

A 、都是从一般到一般

B 、都是从一般到特殊

C 、都是从特殊到特殊

D 、都不一定正确 3、下列说法正确的是（ ）

A 、合情推理就是正确的推理

B 、合情推理就是归纳推理

C 、归纳推理是从一般到特殊的推理过程

D 、类比推理是从特殊到特殊的推理过程

4、动物和植物的机体都是细胞组成的；植物细胞中有细胞核，所以动物细胞中也有细胞核。以上推理是 推理 ★能力训练★

5、在平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线；类比在空间中：（1）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是什么？（2）到已知平面相等的点的轨迹是什么？

6、类比正弦、余弦有关公式的形式，对于给定的两个函数

()()2

,2x

x x x e e x C e e x S --+=-=，写出一个正确的运算公式。

7、在等差数列{}n a 中，若q p n m +=+，()

*

,,,N q p n m ∈，则q p n m a a a a +=+，通

过类比，提出等比数列{}n a 的一个猜想。 8、平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与另一边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与另一面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题。

★链接高考★ 9、（2003年高考）在平面几何里，有勾股定理：“设ABC ∆的两边AB 、AC 互相垂直，则2

2

2

BC AC AB =+。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得妯的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则 ”

2.1.3 合情推理与演绎推理(3)

演绎推理

【要点梳理】

1、我们把 的命题推演出 命题的推理方法，称为 推理，简称演绎法。

2、 是演绎推理的主要形式，常用格式为

3、演绎推理具有如下特点：

（1）演绎推理是 ，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的 结论完全蕴涵于前提之中；

（2）在演绎推理中， 和 之间存在必然联系，只要 是真实的，推理的 是正确的，那么结论也必定是正确的，因而演绎推理是数学中 的工具；

（3）演绎推理是一种 的思维方法，它较少创造性，但具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化。

【指点迷津】

1、什么是大前提、小前提？ 三段论中包含了3个命题，第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题叫小前提，它指出了一个特殊对象。

2、三段论中的大前提、小前提能省略吗？ 在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表达方式。

3、演绎推理是否能作为严格的证明工具？ 能。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。因此可以作为证明工具。

【典型例题】

例1、用三段论的形式写出下列演绎推理

（1） 菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直 （2） 若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角 （3） ∙

233.0是有理数

（4） ()R x x y ∈=sin 是周期函数 【解析】（1）每个菱形的对角线相互垂直 （大前提）

正方形是菱形 （小前提） 所以，正方形的对角线相互垂直 （结论）

（2）两个角是对顶角则两角相等 （大前提）

1∠和2∠不相等 （小前提）

所以，21∠∠和不是对顶角 （结论）

（3）所有的循环小数是有理数 （大前提） ∙

233.0是循环小数 （小前提） 所以，∙

233.0是有理数 （结论） （4）三角函数是周期函数 （大前提）

()R x x y ∈=sin 是三角函数 （小前提）

所以，()R x x y ∈=sin 是周期函数 （结论）

例2、指出下列推理中的错误：

（1）自然数是整数 （大前提） —6是整数 （小前提） 所以，—6是自然数 （结论） （2）中国的大学分布在中国各地 （大前提） 北京大学是中国的大学 （小前提） 所以，北京大学分布在中国的各地 （结论） 【解析】（1）推理形式错误，M 是“自然数”，P 是“整数”，S 是“—6”，故按规则“—6”应是自然数（M ）（此时它是错误的小前提），推理形式不对，所得结论是错误的

（2）推理形式错误。大前提中的M 是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而

在小前提中M 虽然也是“中国大学”，但它表示的是中国一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误，得大错误的结论。

【点评】做此类题目，首先要分清大前提，小前提，然后看其形式是否正确，即M 是P ，S 是M ，S 是P 。

例3、已知1,0,0=+>>b a b a ，求证：22

1

21≤+++b a 求证：4

1

,21≤≥+=ab ab b a ()14121

≤+++∴

ab b a ，12121≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+∴b a 从而有4212122≤⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛

++b a 即4212122121≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛

+

b a b a 22121,421212

≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴≤⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b a b a 【点评】本题的关键在于找准突破口，合理选择方法。

【阶梯练习】 ★基础练习★

1、 “所有9的倍数（M ）都是3的倍数（P ），某奇数（S ）是9的倍数（M ），故某奇数

（S ）是3的倍数（P ）。”上述推理是 （ ）

A 、小前提错

B 、结论错

C 、正确的

D 、大前提错 2、“（1）一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，（2）这个错误的推理不

是前提不成立，（3）所以这个错误的推理是推理形式不正确”，以上三段论是 （ ） A 、大前提错 B 、小前提错 C 、结论错 D 、正确的 3、三段论“（1）只有船准时起航，才能准时到达目的港，（2）这艘船是准时到达目的港

的，（3）所以这艘船是准时起航的”中“小前提”是 （ ） A 、（1） B 、（2） C 、（1）（2） D 、（3）

4、“ 四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”补充以上推理的大前提（ ）

A 、正方形都是对角线相等的四边形

B 、矩形都是对角线相等的四边形

C 、等腰梯形都是对角线相等的四边形

D 、矩形都是对边平行且相等的四边形 ★能力训练★ 5、“因对数函数x y a log =是增函数（大前提），而x y 3

1log =是对数函数（小前提），

所以x y 3

1log =是增函数（结论）。”上面的推理的错误是（ ）

A 、大前提错导致结论错

B 、小前提错导致结论错

C 、推理形式错导致结论错

D 、大前提和小前提都错导致结论错 6、补充下列推理的三段论：

（1）因为互为相反数的两个数的和为0，

又因为a 与b 互为相反数且 所以b=8

（2）因为

又因为 71828.2=e 是无限不循环小数， 所以e 是无理数。 7、 将下列推理恢复成完全的三段论

（1）因为三角形ABC 三边长依次为5，12，13,所以三角形ABC 为直角三角形； （2）函数12

++=x x y 的图象是一条抛物线 8、 指出下面三段论的大前提、小前提和结论 （1）凡同边数的正多边形都是相似的 （2）两个正多边形的边数相同

（3）所以这两个正多边形也是相似的 9、 用三段论证明通项公式为d n a a n )1(1-+= （d a ,为常数）的数列{}n a 是等差数列。

2.2.1直接证明与间接证明(1)

直接证明

【要点梳理】

1、 直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为 ，它的一

般形式为

2、 从 出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要

证明的 为止，这种证明方法称为

3、 从问题的 出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到

为止，这种证明方法称为 4、 综合法和分析法的推证过程是

综合法 分析法

【指点迷津】

1、 分析法和综合法各有怎样的优缺点？

综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点，分析法解题方法较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不偏于思考，实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程。 2、 综合法和分析法的思维特点？

分析法是从命题的结论出发，分析使结论成立的充分条件，若能够肯定这些条件都已具备，就可以判定结论是正确的。

分析法的特点：有些题目用一般方法较难入手时，可以用分析法探索解题思路，然后再倒回去，得到问题的解决；也可以用分析法直接书写解题过程，步骤要清晰，书写要严格。 综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到问题的解决。

综合法的特点：广泛应用于数学知识的各个方面，是解决问题非常重要的方法。分析法是和综合法相比较而清晰的，综合法逐步推求已知条件的必要条件，而分析法步步逆向寻求未知事项成立的充分条件，所以分析法和综合法 思维过程看是互逆的，叙述形式也有区别。

【典型例题】 例1、 已知b a b a b a -<->>:,0求证

证明：ab b ab b b a 22,,0<<

∴>>即 ，进而b ab 22-<-，于是

b a b a b a b a b b a b ab a -<-∴-<-<-+<+-,)(0,222即。

【点评】综合法从正确地选择已知其为真实的命题出发，依次推出一系列的真实命题，最后达到我们所要证明的结论，在用综合法论证命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能够想到从哪里起步，我们一般的处理方法，是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层递进，步步为营，由已知逐步引导到结论。 例2、 已知c b a ,,为不全相等的正数，求证：

3>-++-++-+c

c

b a b b a

c a a c b 证明：左边3-⎪⎭

⎫

⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a c c a c b b c b a a b

c b a ,, 为不全相等的正数

2,2,2≥+≥+≥+∴a

c

c a b c c b b a a b

且这三式的等号不能同时成立。（否则c b a ==）

3363=->-⎪⎭⎫

⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴a c c a c b b c b a a b

即3>-++-++-+c

c b a b b a c a a c b

【点评】本题用综合法证明的出发点是以不等式的左端入手，加以变形，灵活运用平均

值不等式，这是综合法证明不等式的主要技巧，为创造应用条件，常把分子分成若干部分，对每部分运用重要不等式，然后相加或相乘。

例3、已知c b a ,,为正实数，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++

证明：要证明()c b a a c c b b a ++≥

+++++2222222，考虑到所要证明的式

子中c b a ,,的位置是对称的，2

2

b a +只与b a +建立不等式的关系，同样2

2

c b +只与

c b +建立不等式的关系，22a c +只与a c +建立不等式的关系，因而要证明结果，只要证

明()b a b a +≥+2

22

2，即证明：()

()2

2

2

2

22⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+≥+b a b a

，即证明()02≥-b a ，而此式成立。()b a b a +≥+∴2

2

2

2

， 同理：()()a c a c c b c b +≥++≥

+2

2,22

222

2

， 三式相加得()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222

【点评】在证明时，我们有时找不到解题思路或直接证明比较繁琐，常常要观察结论的形式和结构有什么特点，注意与题设之间的联系，去探求解题的路子，在上例中，若用常见的方法两边平方分析就比较麻烦，但是考虑到c b a ,,的轮换性，从而确定只要证明

()b a b a +≥

+2

2

22成立，在复杂的证明过程中，常常是分析法和综合法交叉混合使用，不要截然分开两种证明的方法。

【阶梯练习】 ★基础练习★

1、用分析法证明不等式时的推理过程一定是（ ） A 、 正向、逆向均可进行正确的推理 B 、 只要能进行逆向推理 C 、 只要能进行正向推理

D 、 有时能正向推理，有时能逆向推理

2、若R b a ∈,，则下面四个式子中恒成立的是（ ）

A 、()01lg 2

>+a

B 、()1222

--≥+b a b a

C 、2223b ab a >+

D 、1

1

++

3、设4,0,0≤+>>b a b a 且，则有（ ）

A 、211≥ab

B 、2≥ab

C 、111≥+b a

D 、411≤+b a

4、设R b a ∈,，且2,=+≠b a b a ，则必有（ ）

A 、2122b a ab +≤≤

B 、212

2b a ab +<<

C 、1222<+<

b a ab D 、12

2

2<<+ab b a

★能力训练★

5、 设R x x x q x p ∈+=+=,2,122

3

4

，则q p ,的大小关系是 6、 如果a b b a b b a a +>+，则实数b a ,应满足的条件是

7、 若()b

b a a b a -+>≥24

,0则的最小值为

8、已知c b a ,,为不等正数且1=abc ，求证：c

b a

c b a 1

11++<++

★链接高考★

9、（2006北京）数列}{n x 由下列条件确定：*11),(21,0N n x a

x x a x n

n n ∈+=

>=+

（1）证明：对,2≥n 总有a x n ≥

；

（2）证明：对,2≥n 总有1+≥n n x x

2.2.2直接证明与间接证明(2)

间接证明

【要点梳理】

1、 是一种常用的间接证明的方法。

2、反证法的证明过程可以概括为“ ”，步骤是：（1） （2） （3）

【指点迷津】

1、间接证明除了反证法外还有哪些？ 还有同一法，枚举法等

2、归谬包括哪些情形？

包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾或与已知条件、临时假定矛盾，以及自相矛盾等情形

【典型例题】

例1、求证：当02

2=++c bx x 有两个不相等的非零实数根时，0≠bc 证明：假设0=bc ，则有三种情况出现；

（1）若0,0==c b 方程变为的根是方程00,02

2212=++===c bx x x x x ，这与已知方

程中有两个不相等的实根矛盾；

（2）若000,0,0,02

2

2

2

2

2

=+≠+≠=+≠=c x c x c c x c b 与时但当方程变为矛盾 （3）若b x x bx x c b -===+=≠212,0,0,0,0方程的根为方程变为，这与已知条件：方程有两个非零实根矛盾。 综上所述，0≠bc

【点评】当结论的反面的情形比较多时，要对每一种情形分别推出矛盾 例2、已知：q px x x f ++=2

)( （1） 求证：2)2(2)3()1(=-+f f f

（2） 求证：)3()2()1(f f f 、、中至少有一个不小于

2

1 证明：（1）2)24(2)39()1()2(2)3()1(=++-+++++=-+q p q p q p f f f

（2）假设)3()2()1(f f f 、、中至少有一个不小于2

1

不成立，则假设)3()2()1(f f f 、、都小

于

2

1

，则=-+>++<++)2(2)3()1()3()2(2)1(,2)3()2(2)1(f f f f f f f f f 而 2)248()39()1(=++-+++++q p q p q p ，这与2)3()2(2)1(<++f f f 相矛盾，

从而假设不成立，从而原命题成立，即)3()2()1(f f f 、、中至少有一个不小于

2

1。 例3、平面α交平面β于直线a ，直线b 在平面α内，直线c 在平面β内，a c A a b //,=⋂ 求证：c b ,是异面直线

证明：假设c b ,不是异面直线，则c b ,平行或相交 若A a b b a a c c b =⋂∴这与,//,//,// 矛盾

是异面直线

不相交，矛盾相交，与与则的公共点，又是若不平行于c b c b a c a c a B a B c B b B B c b c

b ,,//,,,,

∴∴∈∴=⋂∴⊂∈⊂∈=⋂∴βαβαβ

α

【点评】证明两直线异面常用反证法，证明异面的反面平行，相交都不成立

【阶梯练习】

★基础练习★

1、应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（ ） （1）结论相反判断，即假设；（2）原命题的条件；（3）公理、定理、定义等；（4）原结论 A 、（1）（2） B 、（1）（2）（4） C 、（1）（2）（3） D 、（2）（3）

2、命题“三角形ABC 中，若b a B A >∠>∠则,”的结论的否定应该是（ ）

A 、b a <

B 、b a ≤

C 、b a =

D 、b a ≥

3、命题“关于x 的方程)0(≠=a b ax 的解是唯一的”的结论的否定是（ ） A 、无解 B 、两解 C 、至少两解 D 、无解或至少两解

4、命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ ） A 、有两个内角是直角 B 、有三个内角是直角

C 、至少有两个内角是直角

D 、没有一个内角是直角 ★能力训练★

5、已知数列{}{}n n b a ,的通项公式分别为：1,2+=+=bn b an a n n ，（b a ,是常数），且b a >，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是（ ）

A 、0个

B 、1个

C 、2个

D 、无穷多个 6、若223

3

≤+=+n m n m ，求证：

7、已知1,0,,,==++∈abc c b a R c b a ，求证：c b a ,,中至少有一个大于2

3

8、实数1,1,,,>+=+=+bd ac d c b a d c b a 满足，求证：d c b a ,,,中至少有一个是负数

本章总览

【知识架构】

【综合提高】

例1、试证明函数()+∞∞-+=,)(3

在x x x f 上是增函数

证明：设0,1221>-

()()()

()

()()

()

()()

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++-=-+++-=-+-=+-+=-1432)(1

)()(212

121221122

2

1

2

1221122

21212313

213123212x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f

推 理

合情推理 （归纳、类比） 演绎推理 （三段论）

证 明

直接证明

（分析法、综合法） 间接证明 （反证法）

因为()()()()1212212

12,0,01432x f x f x f x f x x x >>->++⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+即所以

所以，根据“三段论”得函数()+∞∞-+=,)(3

在x x x f 上是增函数

【点评】演绎推理的基本思想就是“三段论”，是由一般到特殊的推理方法。“三段论”的思

想在推理与证明中应用很广泛，是我们推理出正确结论的基础。学生在应用“三段论”推理证明时一定要注意在前提和推理形式都正确的前提下，结论才一定正确，否则将会发生错误。 例2、若

)0,,,(1b a y x b a y

b

x a ≠>=+且，求证2)(b a y x +≥+ 证明：10,,,=+>y

b x a b a y x 且

(

)

原不等式成立

∴+=

++≥+++=++=+∴2

2)

)((b

a a

b b a y xb

x ya b a y

b

x a y x y x

【点评】1逆看成

y b x a +，然后“无中生有”与“y x +”相乘，结论水到渠成，若考虑1=+y

b x a ，联想三角换元，可借助三角函数性质证明 例3、已知z y x ,,均为实数，且6

2,3

2,2

2222

π

π

π

+

-=+

-=+-=x z c z y b y x a

求证：c b a ,,中至少有一个大于0

证明：假设c b a ,,都大于0，即0,0,0,0≤++≤≤≤c b a c b a 则 ① 而=++c b a 6

23

22

2222

π

π

π

+

-++

-++

-x z z y y x

()()()31112

2

2

-+-+-+-=πz y x

()()()0

,,,00

111,032

2

2

中至少有一个大于所以与①式矛盾c b a c b a z y x >++∴≥-+-+->-π

【点评】：反证法的三个步骤是：反设、归谬、存真。归谬包括推出的结果与已知定义、公

理、定理、公式矛盾或与已知条件、临时假定矛盾，以及自相矛盾等各种情形。本例是自相矛盾的情形。

【本章评价】

一、选择题：

1、用反证法证明命题“若0,02

2

2

====++c b a c b a 则”时，第一步应假设（ ） A 、0≠≠≠C B A B 、0≠abc C 、0,0,0≠≠≠c b a D 、000≠≠≠c b a 或或 2、以下命题正确的是（ ）

A 、 如果b a b a 和那么,0>+中至少有一个大于0

B 、 如果22

,0b a ab +=那么一定也是0 C 、 如果1,==b a ab 那么 D 、 如果b a b a ==那么,2

2

3、已知α∩β＝l ，a ⊂α、b ⊂β，若a 、b 为异面直线，则 （ ）

A ． a 、b 都与l 相交

B ． a 、b 中至少一条与l 相交

C ． a 、b 中至多有一条与l 相交

D ． a 、b 都与l 相交

4、已知),....3,2,1(,,n i R b a i i =∈，1.. (2)

2

22

1=+++n a a a ，1 (2)

2

22

1=+++n b b b ， 则n n b a b a b a +++.....2211的最大值为 （ ）

A ．1

B ．2

C ．2n

D ．n 2

5、某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下

若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是 （ ） A ．计算机行业好于化工行业 B ．建筑行业好于物流行业 C ．机械行业最紧张

D ．营销行业比贸易行业紧张

6、已知3

3

q p +＝2，关于p ＋q 的取值范围的说法正确的是

（ ）

A ．一定不大于2

B ．一定不大于22

C ．一定不小于22

D ．一定不小于2

7、已知数列{a n }满足a n+1=a n －a n-1(n ≥2)，a 1=a ，a 2=b ，设S n =a 1+a 2+…+a n ，则下列结论正确的是 （ ） A ．a 100=－a S 100=2b －a B ．a 100=－b S 100=2b －a C ．a 100=－b S 100=b －a D ．a 100=－a S 100=b －a 8、在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A —BC D 的三个侧面ABC 、AC D 、A D B 两两相互垂直”，则可得 （ ） A ．AB 2+AC 2+ AD 2=BC 2 +C D 2 +BD 2

B ．BCD ADB ACD ABC

S S S S

∆∆∆∆=⨯⨯2222

C ．2

222BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++

D ．AB 2×AC 2×AD 2=BC 2 ×C D 2 ×BD 2

9、已知函数n mx x x f ++=2

2)(，则)1(f 、)2(f 、)3(f 与1的大小关系为

（ ）

行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易

应聘人数 215830 200250 154676 74570

65280 行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工

招聘人数 124620 102935 89115

76516 70436

A ．没有一个小于1

B ．至多有一个不小于1

C ．都不小于1

D ．至少有一个不小于1

10、已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m ∥β，给出下列四个命题：

（1）若α∥β，则l ⊥m ； （2）若l ⊥m ，则α∥β； （3）若α⊥β，则l ∥m ； （4）若l ∥m ，则α⊥β； 其中正确命题的个数是 （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 二、填空题：

11、若函数,)(k n f =其中N n ∈，k 是......1415926535.3=π的小数点后第n 位数字，例 如4)2(=f ，则)]}7([.....{f f f f （共2007个f ）= ．

12、已知结论 “若+∈R a a 21,，且121=+a a ，则4112

1≥+a a ”，请猜想若+∈R a a a n (21)

且1....21=+++n a a a ，则≥+++n

a a a 1 (112)

1

。

13、数列的前几项为2，5，10，17，26，……，数列的通项公式

为 。

14、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足

条件 （或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD 是 正方形、菱形等）时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种条 件即可，不必考虑所有可能的情形）.

15、对函数*

),(N n n f ∈，若满足()()[]()⎩

⎨⎧<+≥-=10051003)(n n f f n n n f ，试由()()

103,104f f 和()()()()9697,98,99f f f f 和的值，猜测()=2f ，()=31f 16、你能猜测下列分式的和吗？1

41

7515313112

-++⨯+⨯+⨯n = 三、解答题：

17、若数列{}n a 的通项为()()

2

2

12128+-=n n n

a n ，你能猜出其前n 项的和n S 的公式吗？

18、已知下列三个方程：

a ax x a x a x a ax x 22;02)1(;03442

222-+=-+-+=+-+=0 其中至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围。

图

19、已知b a ,是正实数，求证：b a a

b b

a +≥+

20、已知c b a ,,都是正实数，求证：()(

)abc c bc ac ab b a ab 1612

≥++++++

21、已知二次函数(

)*

2

2

100609)310(2)(N n n n x n x x f ∈+-+-+=，设函数)

(x f y =的图象的顶点的横坐标构成数列{}n a ，求证：数列{}n a 为等差数列

22、在三角形ABC 中，c b a ,,成等差数列的充要条件是b A c C a 2

32cos 2cos

22

=+