选修2-2 第二章 推理与证明(A)

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选修2-2 第二章 推理与证明(A)

一、选择题

1、数列{a n }中，若a 1＝12，a n ＝11－a n －1

(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 011的值为( ) A ．－1 B.12

C ．1

D ．2

2、下列说法中正确的是( )

A ．合情推理就是正确的推理

B ．合情推理就是归纳推理

C ．归纳推理是从一般到特殊的推理过程

D ．类比推理是从特殊到特殊的推理过程

3、下面几种推理是合情推理的是( )

①由圆的性质类比出球的有关性质；

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；

④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和

是(n－2)·180°.

A．①②B．①③④

C．①②④D．②④

4、观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )

A．f(x) B．－f(x)

C．g(x) D．－g(x)

5、有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )

A．大前提错误B．小前提错误

C．推理形式错误D．非以上错误

6、用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成

立；

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②所以一个三角形中不能有两个直角；

③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.

正确顺序的序号排列为( )

A．①②③B．②③①

C．③①②D．③②①

7、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是( )

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；

②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；

③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．

A．①B．①②

C．①②③D．③

8、用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)

2

(n∈N*)，验证n＝1时，

左边应取的项是( )

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A．1 B．1＋2

C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4

9、若函数f(x)＝x2－2x＋m (x∈R)有两个零点，并且不等式f(1－x)≥－1恒成立，则实

数m的取值范围为( )

A．(0,1) B．[0,1)

C．(0,1] D．[0,1]

10、求证：1＋5<2 3.

证明：因为1＋5和23都是正数，

所以为了证明1＋5<23，

只需证明(1＋5)2<(23)2，

展开得6＋25<12，即5<3，

只需证明5<9.因为5<9成立．

所以不等式1＋5<23成立．

上述证明过程应用了( )

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A．综合法B．分析法

C．反证法D．间接证法

11、若a，b，c均为实数，则下面四个结论均是正确的：

①ab＝ba；②(ab)c＝a(bc)；

③若ab＝bc，b≠0，则a－c＝0；

④若ab＝0，则a＝0或b＝0.

对向量a，b，c，用类比的思想可得到以下四个结论：

①a·b＝b·a；②(a·b)c＝a(b·c)；③若a·b＝b·c，b≠0，则a＝c；

④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.

其中结论正确的有( )

A．0个B．1个C．2个D．3个

12、用反证法证明命题“如果a>b，那么3

a>

3

b”时，假设的内容应是( )

A.3

a＝

3

b B.

3

a<

3

b

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实用文档 C.3a ＝3b ，且3a <3b D.3a ＝3b 或3a <3b

二、填空题

13、已知x >0，由不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，…，启发我们可以得到推广结 论：x ＋m

x n ≥n ＋1 (n ∈N *)，则m ＝________.

14、已知数列{a n }，a 1＝12，a n ＋1＝3a n a n ＋3

，则a 2，a 3，a 4，a 5分别为______________，猜 想a n ＝______.

15、在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在 空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为______．

16、观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律， 第五个等式为________．

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三、解答题

17、 设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，

求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12

.

18、已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n

1－4a 2n (n ∈N *)且点P 1的坐标为 (1，－1)．

(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；

(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．

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19、 在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1

AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四

面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

20、已知a >0，求证：a 2＋1

a 2－2≥a ＋1a

－2.

21、 已知正数数列{a n }的前n 项和S n ＝12(a n ＋1a n

)，

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(1)求a 1，a 2，a 3；

(2)归纳猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

22、 用反证法证明：已知a 与b 均为有理数，且a 与b 都是无理数， 证明：a ＋b 是无理数．

以下是答案

一、选择题

1、B [∵a 1＝12，a n ＝11－a n －1，∴a 2＝11－12

＝2，

a3＝

1

1－2

＝－1，a4＝

1

1－(－1)

＝

1

2

.

∴a n＋3＝a n，即周期为3.

∴a2 011＝a670×3＋1＝a1＝1 2 .]

2、D

3、C [①是类比，②④是归纳推理．]

4、D [由观察知，若f(x)为偶函数，则g(x)为奇函数．]

5、C

6、C

7、C [因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的二面所成的二面角(或

共顶点的两棱夹角)类比，所以①②③都恰当．]

8、D [n＝1时，n＋3＝4，∴左边＝1＋2＋3＋4.]

9、B [∵f(x)＝x2－2x＋m有两个零点，

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∴Δ＝4－4m >0，∴m <1，

又f (1－x )＝(1－x )2－2(1－x )＋m ＝x 2＋m －1≥m －1.而f (1－x )≥－1恒成立，

∴m －1≥－1，∴m ≥0，∴0≤m <1.]

10、B [本题中的证明执果索因，是分析法．]

11、B [①正确，其余错误．]

12、D

二、填空题

13、n n

14、37，38，13，310 3n ＋5

15、1∶8

解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，

∴它们的体积比为1∶8.

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16、13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.

解析 由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数 的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前 一个大3,4，…，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.

三、解答题

17、证明 假设|f (1)|<12，|f (2)|<12，|f (3)|<12

， 于是有－12<1＋a ＋b <12

，① －12<4＋2a ＋b <12，② －12<9＋3a ＋b <12.③ ①＋③，得－1<10＋4a ＋2b <1，

所以－3<8＋4a ＋2b <－1，

所以－32<4＋2a ＋b <－12

. 由②知－12<4＋2a ＋b <12

，矛盾，

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所以假设不成立，即|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12

.

18、(1)解 由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.

∴b 2＝b 1

1－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为? ??

??13，13. ∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.

(2)证明 ①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k b k ＋1＋b k ＋1

＝b k 1－4a 2k (2a k ＋1)＝b k

1－2a k ＝1－2a k 1－2a k ＝1. ∴n ＝k ＋1时，命题也成立．

由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．

19、

①解如图①所示，由射影定理知

AD2＝BD·DC，

AB2＝BD·BC，

AC2＝BC·DC，

∴

1

AD2＝

1

BD·DC

＝

BC2 BD·BC·DC·BC＝

BC2

AB2·AC2.

又BC2＝AB2＋AC2，

∴

1

AD2＝

AB2＋AC2

AB2·AC2＝

1

AB2＋

1

AC2.

所以1

AD2＝

1

AB2＋

1

AC2.

类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：

四面体A－BCD中，AB、AC、AD两两垂直，

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AE⊥平面BCD，则1

AE

2

＝

1

AB2＋

1

AC2＋

1

AD2.

②

如图②，连接BE交CD于F，连接AF.

∵AB⊥AC，AB⊥AD，

∴AB⊥平面ACD.

而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，

∴

1

AE2＝

1

AB2＋

1

AF2.

在Rt△ACD中，AF⊥CD，

∴

1

AF2＝

1

AC2＋

1

AD2.

∴

1

AE2＝

1

AB2＋

1

AC2＋

1

AD2，故猜想正确．

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20、证明 要证a 2＋1

a 2－2≥a ＋1

a

－2 只须证a 2＋1

a 2＋2≥a ＋1a ＋2，∵a >0，

故只要证(a 2＋1

a 2＋2)2≥? ????a ＋1a ＋22. 即a 2＋1

a 2＋4a 2＋1a 2＋4

≥a 2＋2＋1

a 2＋22? ????a ＋1a ＋2. 从而只要证2a 2＋1

a 2≥2? ????a ＋1a . 只要证4? ????a 2＋1a 2≥2? ??

??a 2＋1a 2＋2 即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．

21、解 (1)a 1＝1，a 2＝2－1，a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1.

证明：①当n ＝1时，由a 1＝1＝1得结论成立；

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②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，

即a k ＝k －k －1.

当n ＝k ＋1时，

a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(a k ＋1a k

) ＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)－12(k －k －1＋1

k －k －1)，

从而有a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，

又由a k ＋1>0，

解得a k ＋1＝－2k ＋4k ＋4

2＝k ＋1－k ，

这说明当n ＝k ＋1时结论成立．

由①②可知，a n ＝n －n －1对任意正整数n 都成立．

22、证明 假设a ＋b 为有理数，

则(a ＋b )(a －b )＝a －b ，

由a >0，b >0，得a ＋b >0.

∴a－b＝a－b a＋b

∵a、b为有理数且a＋b为有理数．

∴a－b

a＋b

，即a－b为有理数．

∴(a＋b)＋(a－b)，即2a为有理数．

从而a也就为有理数，这与已知a为无理数矛盾，∴a＋b一定为无理数．

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