2020-2021学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2 演绎推理跟踪训练（含解析）新人教A版

演绎推理

[A组学业达标]

1．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，该推理的大前提是() A．矩形都是四边形

B．四边形的对角线都相等

C．矩形都是对角线相等的四边形

D．对角线都相等的四边形是矩形

解析：该推理是省略了大前提的演绎推理，用“三段论”形式推导一个结论是否成立时，大前提是结论成立的依据．因为相关的内容是“矩形”“对角线相等”，所以易得该推理的大前提是矩形都是对角线相等的四边形．

答案：C

2．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()

A．使用了“三段论”，但大前提错误

B．使用了“三段论”，但小前提错误

C．使用了归纳推理

D．使用了类比推理

解析：大前提是全称命题，而小前提是特称命题．因此命题的推理过程是“由一般到特殊”，是演绎推理，且是“三段论”的形式．有理数包括有限小数，无限循环小数，以及整数，所以命题中大前提是错误的，从而导致推理错误．

答案：A

3．设n∈N*，则＝()

解析：因为所以

答案：A

4．下列推理是演绎推理的是( )

A ．由a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n

，因为a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，故有a n ＝1n (n ∈N *) B ．科学家利用鱼类的沉浮原理制造潜艇

C ．妲己惑纣王，商灭；西施迷吴王，吴灭；杨贵妃迷唐玄宗，致安史之乱，故曰：“红颜祸水也．”

D ．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中，刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．” 解析：A ，C 中的推理均是从特殊到一般的推理，是归纳推理，属于合情推理；B 中，科学家利用鱼类的沉浮原理制造潜艇，是由特殊到特殊的推理，是类比推理，属于合情推理；D 为“三段论”形式，是从一般到特殊的推理，是一个复合“三段论”，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用多次“三段论”，属于演绎推理．

答案：D

5．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近

似公式d ≈3163

V ，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )

A ．d ≈ 36031V

B ．d ≈ 32V

C ．d ≈ 3158

V D ．d ≈ 32111

V 解析：由V ＝43π⎝⎛⎭⎫d 23，解得d ＝ 36V π，① ①代入选项A 得π≈31×660＝3.1；①代入选项B 得π≈62＝3；①代入选项C 得π≈6×815

＝3.2；①代入选项D 得π≈11×621

≈3.142 857.由于选项D 中的值最接近π的真实值，故选D.

答案：D

6．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是________________________________________________________________________． 解析：根据演绎推理求函数y ＝

log 2x －2的定义域时，若大前提是a 有意义时a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，可知：结论应为log 2x －2≥0.

答案：log 2x －2≥0

7．已知在三边不等的三角形中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，若想得到A 为钝角的结论，则三边a ，b ，c 应满足的条件是a 2________b 2＋c 2.(填“＞”“＜”“＝”)

解析：不等边△ABC 中，若∠A 为钝角，则由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc

＜0， ∴b 2＋c 2－a 2＜0，即a 2＞b 2＋c 2.

答案：＞

8．讨论函数g (x )＝－x 3

3

＋2x 的单调性． 解析：对函数g (x )求导得g ′(x )＝－x 2＋2，如果f ′(x )在指定区间上为正，那么f (x )在该区间上为增函数；如果f ′(x )在指定区间上为负，那么f (x )在该区间上为减函数，……大前提 当x ∈(－2，2)时，g ′(x )＞0；当x ∈(－∞，－2)或x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )＜0，………………………小前提

所以g (x )在(－2，2)上为增函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上为减函数．……………………

9．已知：在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，如

图所

示，求证：EF ∥平面BCD .

证明：因为三角形的中位线平行于底边，……………………大前提

点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，……………………小前提

所以EF ∥BD . ……………………结论

若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，……………………大前提 EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ，……………………小前提

所以EF ∥平面BCD . ……………………结论

[B组能力提升]

10．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：

甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；

乙：我没有获奖，丙获奖了；

丙：甲、丁中有且只有一个获奖；

丁：乙说得对．

已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是()

A．甲、乙B．乙、丁

C．甲、丙D．丙、丁

解析：若乙和丁的猜测同时正确，则甲和丙的猜测是错误的，可得乙没有获奖，丙获奖，则甲和丁中有一个获奖，这与“丙的猜测是错误的”相矛盾；因此乙和丁的猜测同时错误，甲和丙的猜测同时正确，故乙和丁获奖．

答案：B

11．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C．乙盒中红球不多于丙盒中红球

D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

解析：若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A，D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则一个放在甲盒，另一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒职一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C.

答案：B

12．若不等式ax2＋2ax＋2＜0的解集为∅，则实数a的取值范围为________．

解析：∵不等式ax2＋2ax＋2＜0的解集为∅.

∴a＝0时，2＜0满足题意；

当a ≠0时，⎩⎨⎧ a ＞0Δ≤0即⎩⎪⎨⎪⎧

a ＞0

4a 2－8a ≤0.

解得0＜a ≤2. 综上，a 的取值范围是0≤a ≤2.

答案：[0,2]

13．在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，

则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形

为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，

边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S

＝1，N ＝0，L ＝4.

(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________．

(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．

解析：(1)由定义知，四边形DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部的格点有1个，边界上的格点有6个，S 四边形DEFG ＝3.故所求的S ＝3，N ＝1，L ＝6. (2)由待定系数法，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＝a ·0＋b ·3＋c ，1＝a ·0＋b ·4＋c ，3＝a ·

1＋b ·6＋c ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝12，

c ＝－1，当N ＝71，L ＝18时，

S ＝1×71＋12

×18－1＝79. 答案：(1)3,1,6 (2)79

14．如图，在△ABC 中，若CE 是∠ACB 的平分线，则AC BC ＝AE BE

，其证明过程为：

作EG ⊥AC 于点G ，EH ⊥BC 于点H ，CF ⊥AB 于点F ，因为CE 是∠ACB

的平分线，所以EG ＝EH .

又AC BC ＝AC BC ·EG EH ＝S △AEC S △BEC ，AE BE ＝AE ·CF BE ·CF ＝S △AEC S △BEC ，所以AC BC ＝AE BE

. (1)把上面的结论推广到空间中：在四面体ABCD 中(如图)，平面CDE 是二面角A -CD -B 的角

平分面，类比三角形的结论，写出得到的相应空间中的结论；

(2)证明(1)中得出的结论．

解析：(1)结论：S △ACD S △BCD ＝AE BE 或S △ACD S △BCD ＝S △AED S △BED 或S △ACD S △BCD ＝S △AEC S △BEC

. (2)证明：设点E 到平面ACD ，平面BCD 的距离分别是h 1，h 2，则由平面CDE 平分二面角A -CD -B ，知h 1＝h 2.

又S △ACD S △BCD ＝h 1·S △ACD h 2·S △BCD ＝V A -CDE V B -CDE ，AE BE ＝S △AED S △BED ＝V C -AED V C -BED ＝V A -CDE V B -CDE ，所以S △ACD S △BCD ＝AE BE ，S △ACD S △BCD ＝S △AED S △BED

. 同理可证S △ACD S △BCD ＝S △AEC S △BEC

，问题得证． 15．观察52－1＝24,72－1＝48,112－1＝120,132－1＝168，….

继续试验下去，你能作出什么猜想？能证明你的猜想吗？试试看．

解析：继续试验下去可得172－1＝288＝12×24,192－1＝360＝15×24,232－1＝528＝22×24，…

猜想：不小于5的质数的平方与1的差是24的倍数．

为此，我们考虑自然数除以6的剩余类，即自然数N *除以6，按余数不同，有以下6类： 6k,6k ＋1,6k ＋2,6k ＋3,6k ＋4,6k ＋5(k ∈N *)．

显然，其中6k,6k ＋2,6k ＋3,6k ＋4均为合数，而6k ＋5又可以表示为6k －1，因此，不小于5的质数可以用6k ±1来表示．

因为(6k ±1)2－1＝36k 2±12k ＝24k 2＋12k (k ±1)，

由于k 与k ±1为连续的自然数，其中必有一个是偶数，

所以12k (k ±1)必是24的倍数，

故(6k ±1)2－1必是24的倍数．猜想成立.