2020-2021学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理跟踪训练（含解析）新人教A版

合情推理

[A 组 学业达标]

1．下列说法正确的是( )

A ．由合情推理得出的结论一定是正确的

B ．合情推理必须有前提有结论

C ．合情推理不能猜想

D ．合情推理得出的结论无法判定正误

解析：合情推理得出的结论不一定正确，故A 错误；合情推理必须有前提有结论，故B 正确；合情推理中的类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C 错误；合情推理得出的结论可以判定正误，故D 错误． 答案：B

2．观察：(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义域在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于

( )

A ．f (x )

B ．－f (x )

C ．g (x )

D ．－g (x )

解析：通过观察可归纳推理出一般结论：若f (x )为偶函数，则导函数g (x )为奇函数．故选D. 答案：D

3．已知数列：1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则该数列的第 k (k ∈N *)项为( ) A ．a k ＋a k ＋

1＋…＋a 2k B ．a k －1＋a k ＋…＋a 2k －

1 C ．a k －

1＋a k ＋…＋a 2k

D ．a k －

1＋a k ＋…＋a 2k －

2

解析：由已知数列的前4项归纳可得，该数列的第k 项是从以1为首项，a 为公比的等比数列的第k 项(a k －1)开始的连续k 项的和，故该数列的第k 项为a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2. 答案：D

4．我们知道，在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |

A 2＋

B 2，

通过类比的方法，可求得在空间中，点(2,4,1)到平面x ＋2y ＋3z ＋3＝0的距离为( ) A ．3

B ．5 C.814

7

D ．3 5

解析：类比点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |

A 2＋

B 2，可知在空间中，点(2,4,1)

到平面x ＋2y ＋3x ＋3＝0的距离为|2＋8＋3＋3|1＋4＋9＝814

7

.

答案：C

5．将石子摆成如图所示的梯形形状，称具有“梯形”结构的石子数构成的数列5,9,14,20，…为“梯形数列”，记为数列{a n }．根据“梯形”的构成，可知a 624＝( )

A ．166 247

B ．196 248

C ．196 249

D ．196 250

解析：观察图形可知a 1＝5，a 2＝9，a 3＝14， 则a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2，n ∈N *)， 由累加法得a n －a 1＝4＋5＋6＋…＋n ＋2， 则a n ＝(n ＋1)(n ＋4)

2

，n ≥2.

故a 624＝(624＋1)×(624＋4)

2＝625×314＝196 250.

答案：D

6．观察下列等式：

⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43

×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43

×4×5； …… 归此规律，

⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭

⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 解析：根据已知，归纳可得结果． 答案：4

3

n (n ＋1)

7．观察分析下表中的数据：

多面体 面数(F ) 顶点数(V )

棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体

6

8

12

猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．

解析：三棱柱中5＋6－9＝2，五棱锥中6＋6－10＝2，立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2. 答案：F ＋V －E ＝2

8.将全体正整数排成一个三角形数阵(如图所示：)

按照以上排列的规律，第n (n ≥3，n ∈N *)行从左向右的第3个数为________． 解析：前(n －1)行共有正整数的个数为1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n 2，因此第n

行第3个数是全体正整数中第⎝ ⎛⎭⎪⎫

n 2－n 2＋3个，即n 2－n ＋62.

答案：n 2－n ＋62

9．利用类比推理，根据学过的平面向量的坐标表示，建立空间向量的坐标表示．

解析：平面向量的坐标表示：若i ，j 分别为平面直角坐标系中x 轴、y 轴正半轴上的单位向量，a ＝xi ＋yi ，则a ＝(x ，y )．

类比可得空间向量的坐标表示：若i ，j ，k 分别为空间直角坐标系中x 轴、y 轴、z 轴正半轴上的单位向量，b ＝xi ＋yj ＋zk ，则b ＝(x ，y ，z )．

10．设f (n )＝n 2＋n ＋41，n ∈N *，计算f (1)，f (2)，f (3)，f (4)，…，f (10)的值，同时作出归纳推理，并用n ＝40验证猜想的结论是否正确．

解析：f (1)＝12＋1＋41＝43，f (2)＝22＋2＋41＝47，f (3)＝32＋3＋41＝53，f (4)＝42＋4＋41＝61，f (5)＝52＋5＋41＝71，f (6)＝62＋6＋41＝83，f (7)＝72＋7＋41＝97，f (8)＝82＋8＋41＝113，f (9)＝92＋9＋41＝131，f (10)＝102＋10＋41＝151， 由此猜想，n 为任意正整数时，f (n )＝n 2＋n ＋41都是素数．

当n ＝40时，f (40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f (40)为合数，因此猜想的结论不正确．

[B 组 能力提升]

11．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋

1

1＋

11＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋1

x ＝x 求得x ＝5＋1

2

.类比上述过程，则 3＋23＋2…＝( )

A ．3

B ．

13＋1

2

C ．6

D ．2 2

解析：令

3＋2

3＋2…＝m (m ＞0)，两边平方，得3＋2

3＋2

3＋2…＝m 2，即3＋

2m ＝m 2，解得m ＝3(m ＝－1舍去)． 答案：A

12．观察下列式子： 1＋12＋1

3＞1， 1＋12＋13＋…＋17＞32， 1＋12＋13＋…＋1

15＞2， ……

则仿照上面的规律，可猜想此类不等式的一般形式为________． 解析：观察式子可得规律：

不等号的左侧是1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1，共(2n ＋1－1)项的和；不等号的右侧是n ＋12(n ∈N *)．

故猜想此类不等式的一般形式为1＋12＋13＋…＋1

2n ＋1－1＞n ＋12(n ∈N *)．

答案：1＋12＋13＋…＋1

2n ＋1－1＞n ＋12(n ∈N *)

13．阅读以下求1＋2＋3＋…＋n (n ∈N *)的过程：

因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1，…，22－12＝2×1＋1， 以上各式相加得(n ＋1)2－12＝2(1＋2＋…＋n )＋n ，所以

1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)

2

.

类比上述过程，可得12＋22＋32＋…＋n 2＝________(n ∈N *)．

解析：由(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1，…，23－13＝3×12

＋3×1＋1，以上各式相加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ，所以12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)

6.

答案：n (n ＋1)(2n ＋1)6

14．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推．设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________.

解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛

⎭⎫226＝14

. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝⎛⎭⎫22n ，故a 7＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14.

答案：1

4

15．根据数列{a n }：2,5,9,19,37,75……的前六项找出规律，猜想a 7的值． 解析：后项加前项，观察

原数列{a n } 2 5 9 19 37 75 a 7 后项加前项 得数列{b n }

2＋5 ＝7

5＋9 ＝14

9＋19 ＝28

19＋37 ＝56

37＋75 ＝112

猜测b 6 ＝224

计算1：由{b n }的前五项为7,14,28,56,112猜测可知，{b n }是首项为7、公比为2的等比数列，则b 6＝112×2＝224，即a 6＋a 7＝224，得a 7＝224－a 6＝224－75＝149.

计算2：由{b n }的前五项为7,14,28,56,112猜测可知，{b n }是首项为7、公比为2的等比数列，则a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)，即a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，得a 7＝a 6＋2a 5＝75＋37×2＝149.

16．若a 1，a 2∈R ＋

，则有不等式a 21＋a 222≥

⎝⎛⎭⎫a 1＋a 222

成立，此不等式能推广吗？若能，请你至少

写出两个不同类型的推广． 解析：能．类型一：

a 21＋a 22＋a 2

33≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 1＋a 2＋a 332

，

a 21＋a 22＋a 23＋a 2

44≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a 1＋a 2＋a 3＋a 442， ……

a 21＋a 22＋…＋a 2n n ≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n n 2. 类型二：

a 31＋a 3

22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 223， a 41＋a 422≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 1＋a 224， ……

a n 1＋a n 22≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 1＋a 22n

. 类型三：

a 31＋a 32＋a 3

33≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 1＋a 2＋a 333

， ……

a n 1＋a n 2＋…＋a n

n n ≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n n n

. 上述a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，n ∈N *.