高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明创新应用学案 新人教A版选修12

第1课时 综合法和分析法

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P 36～P 41的内容，回答下列问题．

(1)阅读教材P 36“已知a ，b >0，求证a (b 2

＋c 2

)＋b (c 2

＋a 2

)≥4abc ”的证明过程，思考下列问题：

①该题的条件和结论各是什么？

提示：条件：a ，b >0；结论：a (b 2

＋c 2

)＋b (c 2

＋a 2

)≥4abc .

②本题的证明过程是从“已知条件”出发，还是从“要证明的结论”出发？即证明该题的顺序是什么？

提示：本题是从已知条件a ，b >0出发，借助基本不等式证明待证结论的． (2)阅读教材中证明基本不等式“

a ＋b

2

≥ab (a >0，b >0)”的过程，回答下列问题：

①该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明的？ 提示：从结论开始证明的． ②该证明过程是综合法吗？ 提示：不是．

③该证明过程的实质是寻找使结论成立的什么条件？ 提示：充分条件． 2．归纳总结，核心必记 (1)综合法 ①综合法的定义

利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

②综合法的框图表示

P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q

(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论) (2)分析法 ①分析法的定义

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做分析法．

②分析法的框图表示

Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→

得到一个明显

成立的条件

[问题思考]

(1)综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．

(2)综合法与分析法有什么区别？

提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．

(3)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭

⎪⎫1c －1≥8.

证明过程如下：

∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.

∴1a －1＝b ＋c a ＞0，1b －1＝a ＋c b ＞0，1c －1＝a ＋b c

＞0，

∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a

－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b

－1⎝ ⎛⎭

⎪⎫1c

－1＝b ＋c a

·a ＋c b

·a ＋b c

≥2bc ·2ac ·2ab abc

＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴不等式成立．

这种证明方法是综合法还是分析法？ 提示：综合法．

[课前反思]

(1)综合法的定义是什么？如何用框图表示综合法？ ；

(2)分析法的定义是什么？如何用框图表示分析法？

.

讲一讲

1．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤1

3

；

(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2

a

≥1.

[尝试解答] (1)由a 2

＋b 2

≥2ab ，b 2

＋c 2

≥2bc ，c 2

＋a 2

≥2ca ， 得a 2

＋b 2

＋c 2

≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2

＝1， 即a 2

＋b 2

＋c 2

＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤1

3

.

(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2

a ＋a ≥2c ，

故a 2b ＋b 2c ＋c 2

a ＋(a ＋

b ＋

c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2

a ≥a ＋

b ＋

c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2

a

≥1.

利用综合法证明问题的步骤

(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．

(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、

符号、图形三种语言之间的相互转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．

(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．

练一练

1．已知x ＋y ＋z ＝m .求证：x 2

＋y 2

＋z 2

≥m 2

3.

证明：∵x ＋y ＋z ＝m ，

∴(x ＋y ＋z )2

＝x 2

＋y 2

＋z 2

＋2(xy ＋yz ＋zx )＝m 2

. 又∵x 2

＋y 2

≥2xy ，y 2

＋z 2

≥2yz ，z 2

＋x 2

≥2xz ， ∴2(x 2

＋y 2

＋z 2

)≥2(xy ＋yz ＋zx )， 即x 2

＋y 2

＋z 2

≥xy ＋yz ＋zx ，

∴m 2

＝x 2

＋y 2

＋z 2

＋2(xy ＋yz ＋zx )≤3(x 2

＋y 2

＋z 2

)． ∴x 2

＋y 2

＋z 2

≥m 2

3.

[思考1] 分析法的证明过程是什么？

名师指津：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件．

[思考2] 分析法的书写格式是什么？ 名师指津：分析法的书写格式是： “要证……， 只需证……， 只需证……， …

由于…显然成立(已知，已证…)，

所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略． 讲一讲

2．已知a ＞0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1

a

－2.

[尝试解答] 要证

a 2＋1

a 2－2≥a ＋1

a

－2.

只需证

a 2＋1a 2＋2≥a ＋1

a

＋ 2.

因为a ＞0，故只需证

⎝

⎛

⎭

⎪⎫ a 2

＋1a

2＋22≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋1a ＋22，

即a 2

＋1a

2＋4

a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1

a 2＋22⎝ ⎛

⎭⎪⎫

a ＋1a ＋2，

从而只需证2

a 2＋1

a 2≥2⎝ ⎛

⎭⎪⎫

a ＋1a ， 只需证4⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2

＋2＋1a 2，

即a 2

＋1a

2≥2，而上述不等式显然成立，

故原不等式成立．

(1)当问题的证明用综合法不易寻找思路时，可从待证的结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件，从而得原问题成立．

(2)含有根号、绝对值的等式或不等式的证明，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法．

(3)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．

练一练

2．当a ≥2时，求证：a ＋1－a

<(a ＋a －1)2

， 只需证a ＋1＋a －2＋2a ＋a －

只需证

a ＋a －

，

只需证(a ＋1)(a －2)

讲一讲

3．已知a ，b ，c 表示△ABC 的三边长，m ＞0，求证：a

a ＋m ＋

b

b ＋m ＞

c

c ＋m

.先用分析法将

要证明的不等式进行转化，然后利用综合法证明．

[尝试解答] 要证明a

a ＋m ＋

b

b ＋m ＞

c

c ＋m

.

只需证明a a ＋m ＋

b b ＋m －c

c ＋m

＞0即可．

而a

a ＋m ＋

b

b ＋m －

c

c ＋m

＝

a b ＋m

c ＋m ＋b a ＋m c ＋m －c a ＋m

b ＋m

a ＋m

b ＋m

c ＋m

.

因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，m ＞0， 所以(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )＞0.

因为a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2

＋abc ＋

abm ＋bcm ＋bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2.

因为△ABC 中任意两边之和大于第三边， 所以a ＋b －c ＞0， 所以(a ＋b －c )m 2

＞0，

所以2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2

＞0， 所以a

a ＋m ＋

b

b ＋m ＞

c

c ＋m

.

对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用．

练一练

3．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0

a ＋b

2

＋log x

b ＋c

2

＋log x

a ＋c

2

证明：要证log x

a ＋b

2

＋log x

b ＋c

2

＋log x

a ＋c

2

只需要证明log x ⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b 2

·b ＋c 2·a ＋c 2

(abc )，

由0

b ＋

c 2·

a ＋c

2>abc .

由基本不等式得

a ＋b

2

≥ab >0，

b ＋c

2

≥bc >0，

a ＋c

2

≥ac >0，

又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c

2>a 2b 2c 2

＝abc . 即

a ＋

b 2·

b ＋

c 2·

a ＋c

2>abc 成立． ∴log x a ＋b

2

＋log x

b ＋

c 2

＋log x

a ＋c

2

————————————[课堂归纳——感悟提升]———————————

1．本节课的重点是综合法和分析法的应用，难点是分析综合法的应用． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用综合法解决问题，见讲1； (2)利用分析法解决问题，见讲2； (3)利用分析综合法解决问题，见讲3.

3．在利用分析法证明问题时，一定要恰当使用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语，这也是本节课的易错点．

课下能力提升(五) [学业水平达标练]

题组1 综合法的应用

1．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是( )

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．等边三角形

解析：选C 由sin A sin B ＜cos A cos B 得cos A cos B －sin A sin B ＞0，即cos(A ＋

B )＞0，－cos

C ＞0，cos C ＜0，从而角C 必为钝角，△ABC 一定为钝角三角形．

2．使不等式3＋8＞1＋a 成立的正整数a 的最大值是( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10

解析：选B 由a ＜3＋8－1得a ＜(3＋8－1)2

.

而(3＋8－1)2

＝3＋8＋1＋224－23－28＝12＋46－23－42≈12.68. 因此使不等式成立的正整数a 的最大值为12.

3．在锐角△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，求证：△ABC 是等边三角形．

证明：∵△ABC 为锐角三角形，

∴A ，B ，C ∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2，

由正弦定理及条件，可得3sin B ＝23sin A sin B .

∵B ∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin B ≠0.∴3＝23sin A ．∴sin A ＝3

2

. ∵A ∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3. 又cos B ＝cos C ，且B ，C ∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2.

∴B ＝C .

又B ＋C ＝2π3，∴A ＝B ＝C ＝π

3.

从而△ABC 是等边三角形． 题组2 分析法的应用

4. 3a －3b <3

a －

b 成立的充要条件是( ) A ．ab (b －a )>0 B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a

解析：选D 3a －3b <3

a －

b ， ⇔(3a －3b )3<(3a －b )3

， ⇔a －b －33a 2b ＋33ab 2

b ， ⇔ab 2

b ，

⇔ab (b －a )<0. 5．将下面用分析法证明

a 2＋

b 2

2

≥ab 的步骤补充完整：要证

a 2＋

b 2

2

≥ab ，只需证a 2

＋

b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．

解析：用分析法证明

a 2＋

b 2

2

≥ab 的步骤为：要证

a 2＋

b 2

2

≥ab 成立，只需证a 2＋b 2

≥2ab ，

也就是证a 2

＋b 2

－2ab ≥0，即证(a －b )2

≥0.

由于(a －b )2

≥0显然成立，所以原不等式成立． 答案：a 2

＋b 2

－2ab ≥0 (a －b )2

≥0 (a －b )2

≥0

6．已知a ≥－12，b ≥－1

2

，a ＋b ＝1，求证：2a ＋1＋2b ＋1≤2 2.

证明：要证2a ＋1＋2b ＋1≤22，只需证2(a ＋b )＋2＋22a ＋1·2b ＋1≤8. 因为a ＋b ＝1，

即证2a ＋1·2b ＋1≤2.

因为a ≥－12，b ≥－1

2

，

所以2a ＋1≥0,2b ＋1≥0， 所以2a ＋1·2b ＋1≤a ＋

＋

b ＋

2

＝

a ＋

b ＋

2

＝2.

即2a ＋1·2b ＋1≤2成立，因此原不等式成立． 题组3 综合法与分析法的综合应用

7．设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3

＋b 3

＞a 2

b ＋ab 2

. 证明：法一：要证a 3

＋b 3

＞a 2

b ＋ab 2

成立， 只需证(a ＋b )(a 2

－ab ＋b 2

)＞ab (a ＋b )成立． 又因为a ＋b ＞0，

所以只需证a 2

－ab ＋b 2

＞ab 成立．

即需证a 2－2ab ＋b 2

＞0成立， 即需证(a －b )2

＞0成立．

而依题设a ≠b ，则(a －b )2

＞0显然成立． 由此命题得证．

法二：a ≠b ⇔a －b ≠0⇔(a －b )2

＞0⇔a 2

－2ab ＋b 2

＞0⇔a 2

－ab ＋b 2

＞ab . 因为a ＞0，b ＞0， 所以a ＋b ＞0，

(a ＋b )(a 2

－ab ＋b 2

)＞ab (a ＋b )． 所以a 3

＋b 3

＞a 2

b ＋ab 2

.

8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1

＋(b ＋c )－1

＝3(a ＋b ＋c )－1

.

证明：法一：(分析法)

要证(a ＋b )－1

＋(b ＋c )－1

＝3(a ＋b ＋c )－1

， 即证

1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c

， 只需证

a ＋

b ＋

c a ＋b ＋a ＋b ＋c

b ＋c

＝3， 化简，得

c a ＋b ＋

a

b ＋c

＝1，

即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2

＋a 2

＝b 2

＋ac .

因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，

所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1

2

，

即a 2

＋c 2

－b 2

＝ac 成立．

所以(a ＋b )－1

＋(b ＋c )－1

＝3(a ＋b ＋c )－1

成立． 法二：(综合法)

因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°.

由余弦定理，有b 2

＝c 2

＋a 2

－2ac cos 60°. 所以c 2

＋a 2

＝ac ＋b 2， 两边加ab ＋bc ，得

c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，

两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得

c

a ＋

b ＋

a

b ＋c

＝1，

所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭

⎪

⎫a b ＋c ＋1＝3，

即

1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c

， 所以(a ＋b )－1

＋(b ＋c )－1

＝3(a ＋b ＋c )－1

.

[能力提升综合练]

1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )

A ．f (x )＝1x

B ．f (x )＝(x －1)2

C ．f (x )＝e x

D ．f (x )＝ln(x ＋1)

解析：选A 本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A 项中，f ′(x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x

′＝－1x 2＜0，∴f (x )＝1

x

在(0，＋∞)上为减函数．

2．已知a ＞0，b ＞0，m ＝lg a ＋b

2

，n ＝lg

a ＋b

2

，则m 与n 的大小关系为( )

A ．m ＞n

B ．m ＝n

C ．m ＜n

D ．不能确定

解析：选A 由a ＞0，b ＞0，得ab ＞0， 所以a ＋b ＋2ab ＞a ＋b ， 所以(a ＋b )2

＞(a ＋b )2

， 所以

a ＋b

2＞

a ＋b

2，

所以lg

a ＋

b 2

＞lg

a ＋b

2

，

即m ＞n ，故选A.

3．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)＞1，f (2)＝3a －4

a ＋1，则a

的取值范围是( )

A ．a ＜34

B ．a ＜3

4

，且a ≠－1

C ．a ＞34或a ＜－1

D ．－1＜a ＜34

解析：选D ∵f (x )以3为周期， ∴f (2)＝f (－1)． 又f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)， 则f (2)＝f (－1)＝－f (1)． 再由f (1)＞1，可得f (2)＜－1， 即

3a －4a ＋1＜－1，解得－1＜a ＜34

. 4．已知a ，b ，c ，d 为正实数，且a b ＜c

d

，则( ) A.a b ＜

a ＋c

b ＋d ＜

c

d B.a ＋c b ＋d ＜a b ＜c

d

C.a b ＜c d ＜

a ＋c

b ＋d

D ．以上均可能

解析：选A 先取特殊值检验，∵a b ＜c d

， 可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2， 则

a ＋c

b ＋d ＝25，满足a b ＜a ＋

c b ＋

d ＜c

d . 要证a b ＜

a ＋c

b ＋d

，

∵a ，b ，c ，d 为正实数，

∴只需证a (b ＋d )＜b (a ＋c )，即证ad ＜bc . 只需证a b ＜c d .而a b ＜c d

成立， ∴a b ＜

a ＋c

b ＋d .同理可证a ＋

c b ＋

d ＜c

d

.

故A 正确．

5．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则log 2x

y

＝________. 解析：由条件知lg xy ＝lg(x －2y )2

， 所以xy ＝(x －2y )2

，即x 2

－5xy ＋4y 2＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－5⎝ ⎛⎭

⎪⎫x y ＋4＝0，所以x y ＝4或x y

＝1. 又x ＞2y ，故x y ＝4，所以log 2x y

＝log 24＝4.

答案：4

6．已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π

4

，则cos 2θ＝________.

解析：因为sin θ＋cos θ＝15，所以1＋sin 2θ＝125，所以sin 2θ＝－2425.因为

π

2≤θ≤3π4，所以π≤2θ≤3π2.所以cos 2θ＝－1－sin 2

2θ＝－725

.

答案：－725

7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *

.

(1)求a 2的值；

(2)证明数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n n 是等差数列；

(3)若T n 是数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 的前n 项和，求证：T n ＜7

4.

解：(1)当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－2

3＝2，

解得a 2＝4.

(2)证明：2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－2

3

n .①

当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2

－23(n －1)．②

①－②，得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2

－n . 整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)， 即

a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n

n

＝1， 当n ＝1时，a 22－a 1

1

＝2－1＝1.

所以数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列．

(3)由(2)可知a n n

＝n ，即a n ＝n 2

. ∵1a n ＝1n 2＜

1n

n －

＝

1n －1－1

n

(n ≥2)， ∴T n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1n －1－1n ＝

1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74

. 8．设f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证：

f ⎝

⎛⎭

⎪⎫

x ＋12

为偶函数．

证明：要证f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋12为偶函数，只需证明其对称轴为直线x ＝0，即只需证－b 2a －12＝0， 只需证a ＝－b (中间结果)，

由已知，抛物线f (x ＋1)的对称轴x ＝－b 2a －1与抛物线f (x )的对称轴x ＝－b

2a 关于y

轴对称．

所以－b

2a －1＝－⎝ ⎛

⎭⎪⎫

－b 2a .

于是得a ＝－b (中间结果)．

所以f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋12为偶函数．

第2课时 反 证 法

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P 42～P 43的内容，回答下列问题．

著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”

王戎的论述运用了什么推理思想？ 提示：反证法思想． 2．归纳总结，核心必记 (1)反证法

假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛

盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

(2)反证法常见矛盾类型

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．

[问题思考]

(1)反证法解题的实质是什么？

提示：反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而证明原命题结论正确． (2)用反证法证明命题时，“a 、b 、c 都是偶数”的否定是什么？ 提示：a 、b 、c 不都是偶数．

[课前反思]

通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)反证法的定义是什么？ ；

(2)反证法常见的矛盾类型有哪些？

.

讲一讲

1．已知f (x )＝a x

＋

x －2

x ＋1

(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负实根． [尝试解答] 假设方程f (x )＝0有负实根x 0， 则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2

x 0＋1

， 由0

x 0－2

x 0＋1

<1， 解得1

2

(1)用反证法证明否定性命题的适用类型

结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．

(2)用反证法证明数学命题的步骤

练一练

1．设函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．

证明：假设f (x )＝0有整数根n ， 则an 2

＋bn ＋c ＝0(n ∈Z )， 而f (0)，f (1)均为奇数， 即c 为奇数，a ＋b 为偶数， 则an 2＋bn ＝－c 为奇数， 即n (an ＋b )为奇数． ∴n ，an ＋b 均为奇数， 又∵a ＋b 为偶数， ∴an －a 为奇数， 即a (n －1)为奇数，

∴n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾． ∴f (x )＝0无整数根．

讲一讲

2．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于1

4.

[尝试解答] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于1

4.

因为a ，b ，c ∈(0,1)， 所以1－a ＞0,1－b ＞0,1－c ＞0. 所以－a ＋b

2

＞－a b ＞

14＝1

2

. 同理

－b ＋c 2＞1

2

，－c ＋a 2＞1

2

.

三式相加得 －a ＋b

2

＋－b ＋c

2

＋－c ＋a 2＞3

2

， 即32＞3

2

，矛盾． 所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于1

4

.

证明时常见的“结论词”与“反设词”

练一练

2．已知函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数．求证：函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上至多有一个零点．

证明：假设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上至少有两个零点，设x 1，x 2(x 1≠x 2)为函数y ＝

f (x )在区间(a ，b )上的两个零点，且x 1＜x 2，则f (x 1)＝f (x 2)＝0.

因为函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上为增函数，

x 1，x 2∈(a ，b )且x 1＜x 2，

∴f (x 1)＜f (x 2)，与f (x 1)＝f (x 2)＝0矛盾，假设不成立，故原命题正确.

讲一讲

3．已知：一点A 和平面α.求证：经过点A 只能有一条直线和平面α垂直． [尝试解答] 根据点A 和平面α的位置关系，分两种情况证明．

(1)如图，点A 在平面α内，假设经过点A 至少有平面α的两条垂线AB ，AC ，那么AB ，

AC 是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A 的一条直线a .因为AB ⊥平面α，AC ⊥平面α，a ⊂α，所以AB ⊥a ，AC ⊥a ，在平面β内经过点A 有两

条直线都和直线a 垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛

盾．

(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几

何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．

综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．

证明“唯一性”问题的方法

“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证明往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证明，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．

提醒：证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．

练一练

3．用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A 还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.

因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．

—————————————[课堂归纳——感悟提升]—————————————

1．本节课的重点是反证法及其应用，难点是用反证法证明相关问题．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)用反证法证明“否定性”命题，见讲1；

(2)用反证法证明“至多”、“至少”型命题，见讲2；

(3)用反证法证明“唯一性”命题，见讲3.

3．要正确掌握常见“结论词”的“反设词”，这是本节课的易错点．

课下能力提升(六) [学业水平达标练]

题组1 用反证法证明“否定性”命题

1．应用反证法推出矛盾的推理过程中，可作为条件使用的是( ) ①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论． A ．①② B ．②③ C ．①②③ D ．①②④

解析：选C 根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”、“已知条件”、“公理、定理、定义”等作为条件使用．

2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：

①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．

②所以一个三角形不能有两个直角．

③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°. 上述步骤的正确顺序为________． 答案：③①②

3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；

(2)设b n ＝S n n

(n ∈N *

)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

解：(1)设公差为d ，由已知得⎩⎨

⎧

a 1＝2＋1，

3a 1＋3d ＝9＋32，

解得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n n

＝n ＋ 2.

假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2

q ＝b p b r ，

即(q ＋2)2

＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2

－pr )＋(2q －p －r )2＝0. 又p ，q ，r ∈N *

，

所以⎩⎪⎨

⎪⎧

q 2

－pr ＝0，2q －p －r ＝0.

所以⎝

⎛⎭

⎪⎫p ＋r 22＝pr .

(p －r )2

＝0，

所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．

所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 题组2 用反证法证明“至多”、“至少”型命题

4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )

A ．假设三内角都不大于60°

B ．假设三内角都大于60°

C ．假设三内角至少有一个大于60°

D ．假设三内角至多有两个大于60°

解析：选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”．

5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________． 解析：假设a 、b 、c 都小于1

3，

则a ＋b ＋c ＜1与a ＋b ＋c ＝1矛盾． 故a 、b 、c 中至少有一个不小于1

3.

答案：13

6．若x >0，y >0，且x ＋y >2，求证：1＋x y 与1＋y

x

中至少有一个小于2.

解：假设1＋x y 与1＋y x

都不小于2，

即

1＋x y ≥2，1＋y

x

≥2.

又∵x >0，y >0， ∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .

两式相加得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )， 即x ＋y ≤2.