第9章第6讲双曲线

第6讲双曲线

基础知识整合

1．双曲线的概念

平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做01双曲线.这两个定点叫做双曲线的02焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的03焦距.

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：

(1)当04a

(2)当05a＝c时，M点的轨迹是两条06射线；

(3)当07a>c时，M点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程x2

－y2

＝1(a>0，b>0) y2

－x2

＝1(a>0，b>0) 图形

性

质

范围x≥08a或x≤09－a，y∈R x∈R，y≤10－a或y≥11a

对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)

焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)

渐近线12y＝±b

a x

13y＝±

b x

离心率e＝c

，e∈14(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

实虚轴线段A

A2叫做双曲线的15实轴，它的长|A1A2|＝162a；线段

B 1B 2叫做双曲线的

17虚轴，它的长|B 1B 2|＝182b ；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长

a ，

b ，

c 的关系 19c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)

1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .

2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .

3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2

a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .

4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2

tan θ2

，其中θ为∠F 1PF 2.

5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .

6．等轴双曲线

(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．

(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．

1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A ．22 B ．1 C ． 2 D ．2

答案 C

解析由题意可得b

a ＝1，∴e ＝

1＋b 2

a 2＝1＋12＝ 2.故选C ．

2．(2019·北京高考)已知双曲线x 2a 2－y 2

＝1(a >0)的离心率是5，则a ＝( ) A ． 6 B ．4 C ．2 D ．12

答案 D

解析由双曲线方程x 2a 2－y 2

＝1，得b 2＝1，

∴c 2＝a 2＋1.∴5＝e 2

＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.

结合a >0，解得a ＝1

2.故选D ．

3．(2019·宁夏模拟)设P 是双曲线x 216－y 2

20＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )

A ．1

B ．17

C ．1或17

D ．以上均不对

答案 B

解析根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8?|PF 2|＝1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B ．

4．(2019·湖北荆州模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )

A ．73

B ．5

4 C ．43

D ．53

答案 D

解析由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±

a x ，点(3，－4)在渐近线上，∴

b a ＝43，又a 2＋b 2＝

c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2

，∴e ＝c a ＝53.故选D ．

5．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2

－y 2

b 2＝1(b >0)经过

点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________.

答案 y ＝±2x

解析因为双曲线x 2

－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16

b 2＝1(b >0)，解得b

＝2，即双曲线方程为x 2

－y 2

2＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .

6．已知曲线方程x 2λ＋2－y 2

λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是

________．

答案 λ<－2或λ>－1

解析 ∵方程x 2λ＋2－y 2

λ＋1＝1表示双曲线，

∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1.

核心考向突破

考向一双曲线的定义

例1 (1)(2019·山西太原模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

4＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2，则|PF 2|＝( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

答案 C

解析由题意得2a ＝2

3，解得a ＝3.因为|PF 1|＝2，所以点P 在双曲线的左支上．所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 2|＝8.故选C ．

(2)(2019·河南濮阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝4，F 1是左焦点，P 1，P 2是右支上的两个动点，则|F 1P 1|＋|F 1P 2|－|P 1P 2|的最小值是( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．16 答案 C

解析设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|－|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|)≥8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是8.故选C．

(1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解本题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．

(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；

③焦点所在坐标轴的位置．

[即时训练] 1.已知动点M(x，y)满足(x＋2)2＋y2－(x－2)2＋y2＝4，则动点M的轨迹是()

A．射线B．直线

C．椭圆D．双曲线的一支

答案 A

解析设F1(－2,0)，F2(2,0)，由题意知动点M满足|MF1|－|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是射线，故选A．

2．已知F是双曲线x2

－y2

＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，

则|PF|＋|P A|的最小值为________.

答案9

解析设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|P A|最小时满足|PF|＋|P A|最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|P A|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.

考向二双曲线的标准方程

例2(1)已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭

圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )

A ．y 2

－x 2

48＝1(y ≤－1)

B ．y 2

－x 2

48＝1

C ．y 2－x 2

48＝－1

D ．x 2

－y 2

48＝1

答案 A

解析由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，

又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵在双曲线中，c ＝7，a ＝1，

∴b 2

＝48，∴轨迹方程为y 2

－x 2

48＝1(y ≤－1)．

(2)(2020·河北石家庄毕业班摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )

A ．7x 216－y 2

12＝1 B ．y 23－x 2

2＝1 C ．x 2

－y 2

3＝1

D ．3y 223－x 2

23＝1

答案 C

解析因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为x 2－y

＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2

－y 2

3＝1，

故选C ．

求双曲线的标准方程的方法

(1)定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b 或2c ，从而求出a 2，b 2，写出双曲线方程．

(2)待定系数法：先确定焦点是在x 轴还是在y 轴，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2

n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．

注意：①双曲线与椭圆标准方程均可设为mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)，其中m >0且n >0，且m ≠n 时表示椭圆；mn <0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．

②常见双曲线设法：

(ⅰ)已知a ＝b 的双曲线，可设为x 2－y 2＝λ(λ≠0)； (ⅱ)已知过两点的双曲线，可设为Ax 2－By 2＝1(AB >0)； (ⅲ)已知渐近线为x m ±

y n ＝0的双曲线，可设为x 2m 2－y 2

n 2＝λ(λ≠0)．

③双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的，必须结合其他已知条件综合判断．

④判断清楚所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．

[即时训练] 3.(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )

A ．x 24－y 2

12＝1 B ．x 212－y 2

4＝1 C ．x 23－y 2

9＝1 D ．x 29－y 2

3＝1

答案 C

解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2， ∴e 2

＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2

a 2＝3，即

b 2＝3a 2，

∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，

由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )， ∵b 2

a 2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ，

则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2

＝23－3

2a ，

d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，

∴b 2

＝9.∴双曲线的方程为x 23－y 2

9＝1，故选C ．

4．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3,0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为__________.

答案 x 2

－y 2

8＝1(x ≤－1)

解析设动圆M 的半径为R ，则|MC |＝2＋R ，|MA |＝R ，所以|MC |－|MA |＝2，由双曲线的定义知，M 点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，所以b 2

＝8，则动圆圆心M 的轨迹方程为x 2

－y 2

8＝1(x ≤－1)．

角度1 例3 (1)(2019·全国卷Ⅲ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )

A ． 2

B ． 3

C ．2

D ． 5

答案 A

解析令双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)，则

c ＝a 2＋b 2.

如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c

2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得? ????c 22＋? ??

c 22＝a 2，∴c a ＝2，即离心率e ＝ 2.故选A ．

(2)若斜率为2的直线与双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )

A ．(1,2)

B ．(2，＋∞)

C ．(1，3)

D ．(3，＋∞)

答案 D

解析因为斜率为2的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，所以b

a >2，则e ＝c a ＝1＋

b 2

a 2>1＋2＝3，所以双曲线离心率的取值范围是(3，＋∞)，故

选D ．

求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝c

a 转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．

[即时训练] 5.双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )

A ． 6

B ． 3

C ． 2

D ．33

答案 B

解析如图所示，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝2c cos30°＝433c ，|MF 2|＝2c ·tan30°＝23

3c ，

∴2a ＝|MF 1|－|MF 2|＝433c －233c ＝233c ?e ＝c

a ＝ 3.

6．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )

A ．(1，3)

B ．(3，22)

C ．(1＋2，＋∞)

D ．(1,1＋2)

答案 D

解析依题意，0<∠AF 2F 1<π

4，故0

a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e

<2，e 2－2e －1<0，(e －1)2<2，所以1

例4 (1)(2020·贵州综合测试一)若双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，则双曲线C 的渐近线方程为( )

A ．y ＝±

13x B ．y ＝±3

3x C ．y ＝±3x D ．y ＝±3x 答案 B

解析由题可知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±

b a x ，圆心为(2,0)，半径为1，易知圆心到渐近线的距离d ＝

2b a 2＋b

2＝1，故4b 2＝a 2＋b 2，即3b 2＝a 2

，则b a ＝33，故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3

3x ，选B ．

(2)(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )

A ．2sin40°

B ．2cos40°

C ．1sin50°

D ．1cos50°

答案 D

解析由题意可得－b

a ＝tan130°，所以e ＝ 1＋

b 2

a 2＝1＋tan 2130°＝

1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos130°|＝1cos50°

.故选D ．

(1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2

b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0? ?

??y ＝±b a x . (2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a

满足关系式e 2＝1＋k 2

[即时训练] 7.(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )

A ．y ＝±2x

B ．y ＝±3x

C ．y ＝±22x

D ．y ＝±3

答案 A

解析 ∵e ＝c a ＝3，∴b 2a 2＝c 2－a 2

a 2＝e 2－1＝3－1＝2，∴b

a ＝ 2.因为该双曲线

的渐近线方程为y ＝±

a x ，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A ．

8．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 2

2＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐

近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )

A ．324

B ．322

C ．2 2

D ．3 2

答案 A

解析双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝2

2x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ．

考向四直线与双曲线的位置关系

例5 已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)经过点P (2,1)，且其中一焦点F 到一条渐近线的距离为1.

(1)求双曲线Γ的方程；

(2)过点P 作两条相互垂直的直线P A ，PB 分别交双曲线Γ于A ，B 两点，求点P 到直线AB 距离的最大值．

解 (1)∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2,1)，∴4a 2－1

b 2＝1.

不妨设F 为右焦点，则F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离d ＝|bc |

a 2＋b

＝b ，∴b ＝1，a 2＝2，

∴所求双曲线的方程为x 22

－y 2

＝1.

(2)当直线AB 的斜率不存在时，设A (x 0，y 0)(y 0>0)，则B (x 0，－y 0)，P A →＝(x 0－2，y 0－1)，PB →＝(x 0－2，－y 0－1)，∵P A →·PB →

＝0，∴(x 0－2)2－(y 0－1)(y 0＋1)＝0，

由?????

x 2

0－4x 0－y 20＋5＝0，x 20

－y 20＝1，得???

x 0＝6，

y 0＝17

或???

x 0＝2，y 0＝1(舍去)，即A (6，17)，B (6，－17)，此时点P 到AB 的距离为6－2＝4.

当直线AB 的斜率存在时，

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m 代入x 2－2y 2＝2中，

整理得(2k 2－1)x 2＋4kmx ＋2m 2＋2＝0. ∴x 1＋x 2＝－4km

2k 2－1，①

x 1x 2＝2m 2＋22k 2－1.②

∵P A →·PB

→＝0， ∴(x 1－2，y 1－1)·(x 2－2，y 2－1)＝0，

∴(x 1－2)(x 2－2)＋(kx 1＋m －1)(kx 2＋m －1)＝0， ∴(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋m 2－2m ＋5＝0.③ 将①②代入③，得m 2＋8km ＋12k 2＋2m －3＝0， ∴(m ＋2k －1)(m ＋6k ＋3)＝0. 而P ?AB ，∴m ＝－6k －3，

从而直线AB 的方程为y ＝kx －6k －3.

将y ＝kx －6k －3代入x 2－2y 2－2＝0中，得(1－2k 2)x 2＋(24k 2＋12k )x －72k 2－72k －20＝0，

判别式Δ＝16(17k 2＋18k ＋5)>0恒成立， ∴y ＝kx －6k －3即为所求直线． ∴P 到AB 的距离d ＝

|2k －6k －3－1|

1＋k

＝

4|k ＋1|k 2

＋1

∵? ????d 42＝k 2

＋1＋2k

k 2＋1＝1＋2k k 2＋1

≤2. ∴d ≤42，即此时点P 到直线AB 距离的最大值为4 2.