第6讲双曲线 (1)
第6讲 双曲线
一、选择题
1.(2017·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±
12x B.y ＝±2
2x C.y ＝±2x
D.y ＝±2x
解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2
＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±
2
2x ，故选B. 答案 B
2.(2015·广东卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5
4，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 2
3＝1 B.x 29－y 2
16＝1 C.x 216－y 2
9＝1
D.x 23－y 2
4＝1
解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝5
4，所以c ＝5，a ＝4，b 2
＝c 2
－a 2
＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 2
9＝1，故选C.
答案 C
3.(2017·山西省四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为( ) A.53
B.355
C.63
D.62
解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c ，0)到y ＝b
a x 的距离为2，即|bc |a 2＋
b 2
＝2，又b ＞0，c ＞0，a 2＋b 2＝c 2，∴bc
c ＝b ＝2，又∵点F 到原点的距
离为3，∴c ＝3，∴a ＝c 2
－b 2
＝5，∴离心率e ＝c a ＝35
＝35
5.
答案 B
4.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14
B.35
C.34
D.45
解析 由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2. 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，
∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，
在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝3
4.
答案 C
5.(2017·成都调研)过双曲线x 2
－y 2
3＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲
线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433
B.2 3
C.6
D.4 3
解析 由题意知，双曲线x 2
－y 2
3＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. 答案 D 二、填空题
6.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________. 解析 由已知，得a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210.
答案 210
7.(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.
解析 取B 为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22， 又∠AOB ＝π4， ∴b
a ＝tan π4＝1，即a ＝
b . 又a 2＋b 2＝
c 2＝8，∴a ＝2. 答案 2
8.(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.
解析 由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b 2
a ＝3×2c .
又∵b 2
＝c 2
－a 2
，整理得：2c 2
－3ac －2a 2
＝0，两边同除以a 2
得2? ????c a 2－3? ??
??
c a －2
＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去). 答案 2 三、解答题
9.(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；
(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.
(1)解 ∵e ＝2，
∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.
(2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m
3－23，
k MF 1·k MF 2＝m 29－12
＝－m 2
3.
∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.
法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，
MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3，0)在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2
→＝0. 10.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2
＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞
2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.
解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a 2＝3，
c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2
＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2
＝1，
得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.
由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得 ∴k 2≠1
3且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2
＝－9
1－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2
＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋7
3k 2－1
.
又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0， 解得1
3＜k 2＜3.② 由①②得1
3＜k 2＜1，
故k 的取值范围为? ????－1，－33∪? ??
??
33，1.
11.过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 2
12＝1 B.x 27－y 2
9＝1 C.x 28－y 2
8＝1
D.x 212－y 2
4＝1
解析 由双曲线方程知右顶点为(a ，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝b
a x ，因此可得点A 的坐标为(a ，
b ).
设右焦点为F (c ，0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c
2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝
42
－22
＝12.故双曲线的方程为x 24－y 2
12＝1，故选A.
答案 A
12.若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A.?
????1，52
B.?
????
1，72
C.??????
52，＋∞ D.????
??
72，＋∞
解析 由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2
＝a 2
＋b 2
≥a 2
＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.
答案 C
13.(2016·浙江卷)设双曲线x 2
－y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双
曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________. 解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设点P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，
由于△PF 1F 2为锐角三角形，
结合实际意义需满足?????（m ＋2）2＜m 2＋42，42＜（m ＋2）2＋m 2，
解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8)
14.已知双曲线y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到
渐近线的距离为25
5. (1)求此双曲线的方程；
(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP
→＝PB →，求△AOB 的面积.
解 (1)依题意得???
??a b ＝2，
|2×0＋a |5＝255，
解得???a ＝2，
b ＝1，
故双曲线的方程为y 24－x 2
＝1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m ＞0，n ＞0， 由AP →＝PB →得点P 的坐标为? ????m －n 2，m ＋n
. 将点P 的坐标代入y 24－x 2
＝1，
整理得mn ＝1.设∠AOB ＝2θ， ∵tan ? ??
??
π2－θ＝2，
则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45. 又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝1
2|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.
第八章 第六节 双曲线(优秀经典课时作业练习及答案详解)
[课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能 [A 组 基础保分练] 1．(2020·湖南永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线x 23－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线 的方程是( ) A ．x 2－ y 2 3 ＝1 B ．y 2－ x 2 3 ＝1 C ．x 2－y 2＝2 D ．y 2－x 2＝2 解析：由已知，双曲线焦点在y 轴上，且为等轴双曲线，故选D. 答案：D 2．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B ． 3 C. 2 D.32 解析：由渐近线互相垂直可知????－b a ·b a ＝－1，即a 2＝ b 2，即 c 2＝2a 2，即c ＝2a ，所以e ＝ 2. 答案：C 3．已知双曲线 x 2－ y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝4 3 |PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．48 B ．24 C ．12 D ．6 解析：由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝1 3 |PF 2|＝2a ＝2， 解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝1 2|PF 1|·|PF 2|＝24. 答案：B 4．(2020·湖南师大附中模拟)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，F 1，F 2
分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA → ＝λPF 1→ ，则双曲线的离心率为( ) A ．3 B ．2 C ．4 D ．与λ的取值有关 解析：由题意，可知|PG |＝2|GO |，GA ∥PF 1，∴2|OA |＝|AF 1|，∴2a ＝c －a ，∴c ＝3a ，∴e ＝3. 答案：A 5．(2020·惠州市高三一调)已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，其中一条渐近线的倾斜角为π 3 ，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2或 3 B ．2或23 3 C.233 D ．2 解析：双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则有b a ＝tan π3＝3，因为e 2 ＝c 2a 2＝1＋b 2 a 2＝1 ＋3＝4，所以双曲线C 的离心率为2，故选D. 答案：D 6．已知点F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，直线y ＝kx 交C 于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝2π 3 ，S △AF 2B ＝23，则C 的虚轴长为________． 解析：设双曲线C 的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1(图略)，由对称性可知四边形AF 1BF 2 是平行四边形，所以S △AF 1B ＝23，∠F 1AF 2＝π3.设|AF 1|＝r 1，|AF 2|＝r 2，则4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3.又|r 1－r 2|＝2a ，所以r 1r 2＝4b 2.又S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＝12r 1r 2sin π 3＝23，所以b 2＝2， 则该双曲线的虚轴长为2 2. 答案：2 2 7．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求椭圆和双曲线的方程； (2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值． 解析：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)，
2013届高考数学一轮复习课时检测 第八章 第七节 抛物线 理
第八章 第七节 抛物线 一、选择题 1．已知抛物线x 2 ＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2 －x 2 ＝2的上焦点，则a 等于 ( ) A ．1 B ．4 C ．8 D ．16 解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a 4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则 有 a 4 ＝2, 解得a ＝8. 答案：C 2．抛物线y ＝－4x 2 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A ．－17 16 B ．－1516 C.7 16 D.1516 解析：抛物线方程可化为x 2 ＝－y 4，其准线方程为y ＝116 .设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定 义，可知116－y 0＝1?y 0＝－15 16 . 答案：B 3．(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2 ＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A.3 4 B ．1 C.5 4 D.74 解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：1 2(|AF |＋ |BF |)－14＝32－14＝5 4 . 答案：C 4．已知抛物线y 2 ＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定 解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，
则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝ 1 2|AB |＝半径，故相切． 答案：C 5．(2012·宜宾检测)已知F 为抛物线y 2 ＝8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值等于 ( ) A ．4 2 B ．8 C ．8 2 D ．16 解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由??? ?? y ＝x －2，y 2 ＝8x ，消去y 得x 2 －12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝x 1＋x 22 －4x 1x 2＝144－16＝8 2. 答案：C 6．在y ＝2x 2 上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2) 解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2 的准线，F 为其焦点，PN ⊥ l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋ |PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D. 答案：B 二、填空题 7．(2012·永州模拟)以抛物线x 2 ＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2 ＋(y －4)2 ＝64. 答案：x 2 ＋(y －4)2 ＝64 8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________． 解析：设抛物线方程为x 2 ＝ay (a ≠0)， 则准线为y ＝－a 4 .
2013届高考数学一轮复习课时检测 第八章 第六节 双曲线 理
第八章 第六节 双曲线 一、选择题 1．“ab <0”是“方程ax 2 ＋by 2 ＝c 表示双曲线”的 ( ) A ．必要但不充分条件 B ．充分但不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：若ax 2 ＋by 2 ＝c 表示双曲线，即x 2c a ＋y 2c b ＝1表示双曲线，则c 2 ab <0，这就是说“ab <0” 是必要条件，然而若ab <0，c 可以等于0，即“ab <0”不是充分条件． 答案：A 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3 3 x ，若顶点到渐近线的 距 离 为 1 ， 则 双 曲 线 的 方 程 为 ( ) A.x 24－3y 24＝1 B.3x 24－y 2 4＝1 C.x 24－y 2 4 ＝1 D.x 24－4y 2 3 ＝1 解析：不妨设顶点(a,0)到直线3x －3y ＝0的距离为1，即3a 3＋9＝1，解得a ＝2.又b a ＝ 33，所以b ＝233，所以双曲线的方程为x 2 4－3y 2 4 ＝1. 答案：A 3． (2011·新课标全国卷)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直， l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2 b 2＝1可得 y 2 ＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a .∴b 2＝2a 2.c 2＝a 2＋b 2＝3a 2.∴e ＝c a ＝ 3. 答案：B 4．已知双曲线x 2 －y 2 3 ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则 1PA · 2PF 的最小值为 ( )
第9章第6讲 双曲线
第6讲双曲线 基础知识整合 1．双曲线的概念 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做01双曲线.这两个定点叫做双曲线的02焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的03焦距. 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： (1)当04a
B 1B 2叫做双曲线的 17虚轴，它的长|B 1B 2|＝182b ；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长 a ， b ， c 的关系 19c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0) 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b . 2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2 a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a . 4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2 tan θ2 ，其中θ为∠F 1PF 2. 5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a . 6．等轴双曲线 (1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． (2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A ．22 B ．1 C ． 2 D ．2 答案 C 解析 由题意可得b a ＝1，∴e ＝ 1＋b 2 a 2＝1＋12＝ 2.故选C ．
2019版同步优化探究理数练习：第八章 第七节 双曲线 Word版含解析
课时作业 A组——基础对点练 1．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( ) A.3 B．3 C.3m D．3m 解析：双曲线方程为x2 3m － y2 3 ＝1，焦点F到一条渐近线的距离为3.选A. 答案：A 2．已知双曲线x2 a2 － y2 3 ＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( ) A．2 B. 6 2 C. 5 2 D．1 解析：因为双曲线的方程为x2 a2 － y2 3 ＝1，所以e2＝1＋ 3 a2 ＝4，因此a2＝1，a＝1.选D. 答案：D 3．双曲线x2－4y2＝－1的渐近线方程为( ) A．x±2y＝0 B．y±2x＝0 C．x±4y＝0 D．y±4x＝0 解析：依题意，题中的双曲线即y2 1 4 －x2＝1，因此其渐近线方程是 y2 1 4 －x2＝0，即x±2y＝0，选 A. 答案：A 4．已知双曲线x2 3
－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2 5，则△ PF 1F 2的面积为( ) A ．1 B. 3 C.5 D. 12 解析：在双曲线x2 3－y 2＝1中，a ＝ 3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2 3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2 5，∴|PF 1|＝ 5＋ 3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2 ＋|PF 2|2 ＝|F 1F 2|2 ，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝1 2×|PF 1|×|PF 2|＝1 2 ×( 5＋ 3)×( 5－ 3)＝1.故选A. 答案：A 5．已知双曲线C ： x2a2 － y2b2 ＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点 ，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为 ( ) A ．1 B ．2 C. 5 D ．4 解析：根据题意，双曲线C 的方程为 x2 a2－y2b2 ＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为 y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知b a ＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴的交 点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B. 答案：B 6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为 ( )
第六节 双曲线(章节练习)
第六节 双曲线 【知识要点】 一、你熟悉双曲线的定义吗？ 二、你能写出双曲线的标准方程吗？ 三、你了解双曲线的这些性质吗？如：范围，对称性，顶点，实轴，虚轴，焦距，离心率，准线，渐近线 四、你熟悉双曲线的第二定义吗？ 【典型例题】 # 例1.已知双曲线的方程是16x 2－9y 2 =144. （1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； （2）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小. # 例2. 根据下列条件，求双曲线方程： （1）与双曲线92 x －16 2y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）； （2）与双曲线162 x －4 2y =1有公共焦点，且过点（32，2）
例3.已知双曲线x 2－22 y =1与点P （1，2），过P 点作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P 为AB 中点. （1）求直线AB 的方程； （2）若Q （1，1），证明不存在以Q 为中点的弦. 例4.(05重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。 (1) 求双曲线C 的方程； (2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?(其中O 为原点)，求k 的取值范围。
例5.已知双曲线122 22=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.2 3 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值. 例6．直线:1l y kx =+与双曲线22 :21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ， （I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第八章 第六节 双曲线 含解析
课时规范练 A 组 基础对点练 1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A.3 B ．3 C.3m D ．3m 解析：双曲线方程为x 23m －y 2 3＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A. 答案：A 2．已知双曲线x 2a 2－y 2 3＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52 D ．1 解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3 a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D. 答案：D 3．(2018·邢台摸底)双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0 D ．y ±4x ＝0 解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2 ＝0，即x ±2y ＝0，选 A. 答案：A 4．设F 1，F 2是双曲线x 2 －y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝4 3 |PF 2|，则△ PF 1F 2的面积等于( ) A ．42 B ．8 3 C ．24 D ．48 解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2， 又|PF 1|＝4 3|PF 2|， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6， 又|F 1F 2|＝2c ＝10， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， △PF 1F 2为直角三角形． △PF 1F 2的面积S ＝1 2 ×6×8＝24.
答案：C 5．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.32 解析：由渐近线互相垂直可知????－b a ·b a ＝－1， 即a 2＝ b 2，即 c 2＝2a 2，即c ＝2a ， 所以e ＝ 2. 答案：C 6．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2 －y 2 4 ＝1 B.x 24－y 2 ＝1 C.y 24 －x 2 ＝1 D ．y 2 －x 2 4 ＝1 解析：A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 2 4－ x 2 ＝0，得y ＝±2x ，令y 2 －x 24＝0，得y ＝±1 2 x ，故选C. 答案：C 7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5 4，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 2 3＝1 B.x 29－y 2 16＝1 C.x 216－y 2 9 ＝1 D.x 23－y 2 4 ＝1 解析：由题意得e ＝ 1＋b 2a 2＝5 4 ，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 2 9＝1. 答案：C 8．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0 垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2 ＝1 B ．x 2 －y 2 4 ＝1 C.3x 220－3y 2 5 ＝1 D.3x 25－3y 2 20 ＝1 解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2 ＝1. 答案：A
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何7第6讲双曲线新题培优练文(含解析)新人教A版
高考数学大一轮复习第九章平面解析几何7第6讲双曲线新题培 优练文（含解析）新人教A 版 [基础题组练] 1．若双曲线C 1：x 22－y 2 8＝1与C 2：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距 为45，则b ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选B.由题意得，b a ＝2?b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45?c ＝a 2＋b 2 ＝25?b ＝4，故选B. 2．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支 上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( ) A.x 2 4－y 2 ＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2 －y 2 4 ＝1 D.x 22－y 2 3 ＝1 解析：选A.由题意可得???| PF 1 |－|PF 2 |＝2a ＝4b ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，2c ＝25， 解得? ????a 2 ＝4，b 2＝1，则该双曲线方程为x 24－y 2 ＝1. 3．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 2 5＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为 坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( ) A.32 B.52 C.72 D.92 解析：选B.因为c 2 ＝a 2 ＋b 2 ＝9，所以|OP |＝|OF |＝3.设点P 的坐标为(x ，y )，则x 2 ＋y 2 ＝9，把x 2＝9－y 2 代入双曲线方程得|y |＝53，所以S △OPF ＝12|OF |·|y P |＝52 .故选B. 4．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两
2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线增分练
2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线增分练 [A 级 基础达标] 1．[xx·安徽模拟]下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2 －y 24＝1 B.x 24－y 2 ＝1 C ．y 2－x 2 4＝1 D.y 2 4 －x 2 ＝1 答案 D 解析 由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ；D 项的渐近线方程为y 2 4－x 2 ＝0， 即y ＝±2x . 2．[xx·湖北模拟]若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离 心率为( ) A. 73 B.54 C.43 D.53 答案 D 解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43 ， 又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2 ＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53 .故选D. 3．[xx·全国卷Ⅰ]已知F 是双曲线C ：x 2 －y 2 3＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A.13 B.12 C.23 D.32 答案 D 解析 因为F 是双曲线C ：x 2 －y 2 3＝1的右焦点，所以F (2,0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3. 又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝3 2 .故选D. 4．[xx·广东模拟]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5 4 ，且其右焦点为F 2(5,0)，则 双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 2 3 ＝1 B.x 29－y 2 16 ＝1
第八章第七节双曲线
第八章 第八节双曲线 课下练兵场 "难度及题号 容易题 中等题 稍难题「 知识点 （题号） （题号） （题号） 双曲线的定义及其标准方程 1、2 & 10 双曲线的几何性质 3 4、5、7、9 直线与双曲线的位置关系 6 11、12 1已知定点 A 、B ,且|AB| = 4,动点P 满足|PA|—|PB|= 3,则|PA|的最小值是（ 1 A.Q C.7 D . 5 解析：因为 |AB|= 4, |PA|— |PB|= 3, 故满足条件的点在双曲线右支上， 则|PA|的最小值为右顶点到 A 的距离2 + 2=纟 答案：C 1 2.已知点F i （ — 2, 0）, F 2（ 2, 0）,动点P 满足|PF 2|—|PF i |= 2，当点P 的纵坐标是2时, 点P 到坐标原点的距离是 C. 3 解析：由已知可知 c = 2, a = 1, b = 1, ???双曲线方程为x 2— y 2= 1（x < — 1）. 代入2可求P 的横坐标为x =—于. 3.已知双曲线9y 2— m 2x 2= 1（m > 0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 5，则m =（ ） B.2 ? P 到原点的距离为 答案：A
C . 1v e v 5 D . e > 5 解析：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率 解析：双曲线9y 2— m 2x 2= 1（m >0），一个顶点（0,弓, 3 32 + m 2= 5? m = 4. 答案：D =o ,^HPF i + PF 21= 答案：B 5. F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，P 是C 上一点，且△ F 1PF 2是等腰直角三角形，则双 曲线C 的 离心率为 （ ） A . 1+ 2 B . 2+ 2 C . 3— 2 D . 3 + '. 2 解析：由△ PF 1F 2为等腰直角三角形， 又|PF 1|M IPF 2I , 故必有 |F 1F 2|= IPF 2I , 即 2c = b ，从而得 c 2— 2ac — a 2= 0, a 即 e 2— 2e — 1 = 0,解之得 e = 1 ±. 2, ?/ e > 1, ??? e = 1 + 2. 答案：A 2 2 6.斜率为2的直线I 过双曲线活=1（a > 0, b > 0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分 另肪目交，则双曲线的离心率 e 的取值范围是 （ ） B . 1 v e v 3 一条渐近线 3y — mx = 0, 4.设F i 、F 2分别是双曲线 2 x 2 -y 1的左、右焦点.若点 P 在双曲线上，且 PF^ -PF^ PF ( ) A. 10 B . 2 10 C. 5 2 y = 1的左、右焦点. 9 解析：设F 1、F 2分别是双曲线x 2 =0,则 | P F 1 + PF 2 1= 2| PO |= | F 1F 2 |= 2.10. 点P 在双曲线上，且PF^ -PF^ PF :必大
(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第八章解析几何第六节双曲线
第六节双曲线 这样自检要比死记更有效基础盘查一双曲线的定义及标准方程 （一）循纲忆知 1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.
(二)小题査验 1.判断正误 (1)平面内到点鬥(0,4), F2(0, 一4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线 (2)平面内到点Fi(0,4), F2(0, 一4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹 是双曲线
2-（人敘A版敎材例题改褊）已知双曲线两个焦点分别为风（一5,0）, F2（5,0）.双曲线上一点P到F I， 卩2距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为
3.设Fi ，形是双曲线x 2-^=l 的两个焦点显是双曲线上的一点, 且 3IPF!l=4IPF 2l,则△PTS?的面积等于 解析：双曲线的实轴长为2,焦距为IF/』=2X5=10. 2=IPFj I 一 1略1=|lPF 2l-IP^2l=|lPF 2l, A \PF 2\=69 IPFil=8. AIPFil 2+lPF2l 2 = IFiF 2l 2^ ???Mi 丄“2, ?°? S^PF \F2=flPF ］卜 LPF2I=f X 6 X 8=24. ,
（二）小题查验 1.判断正误 2 2 ⑴方程打一占=1（如＞0）表示焦点在X轴上的双曲线（X ） 2 2 2 （2）双曲线方程和一讣=沏＞0, n＞0, 2H0）的渐近线方程是和一 必=0,即兰±》=0 n m n （3）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于边（V ） 2 2 2 2 （4）若双曲线器一器=1@＞0，〃＞0）与話—缶=1（°＞0, 〃＞0）的离心 率分别是习，%，则需+寿=K此结论中两条双曲线为共轨双曲线）
7 第6讲 双曲线 新题培优练 (2)
[基础题组练] 1．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的 焦距为45，则b ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选B.由题意得，b a ＝2? b ＝2a ，C 2的焦距2 c ＝45?c ＝a 2＋b 2＝25?b ＝4，故 选B. 2．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支 上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2 ＝1 B.x 23－y 2 2＝1 C ．x 2－ y 2 4 ＝1 D.x 22－y 2 3 ＝1 解析：选A.由题意可得?????|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2 ，2c ＝25， 解得? ????a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线方程为x 24－y 2 ＝1. 3．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 2 5＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为 坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( ) A.32 B.52 C.72 D.92 解析：选B.因为c 2＝a 2＋b 2＝9，所以|OP |＝|OF |＝3.设点P 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝9，把x 2＝9－y 2代入双曲线方程得|y |＝53，所以S △OPF ＝12|OF |·|y P |＝5 2 .故选B. 4．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两 点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，2) C.????32，＋∞ D.??? ?1，3 2
2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第八章+第六节 双 曲 线+Word版含答案
第六节双曲线 2019考纲考题考情 1．双曲线的概念 平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。 (1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。 (2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。 (3)当a＞c时，M点不存在。 2．双曲线的标准方程和几何性质
1．双曲线定义的四点辨析 (1)当0<2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹才是双曲线。 (2)当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线。 (3)当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线。 (4)当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在。 2．方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示的曲线 (1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线。 (2)当m <0，n <0时，表示焦点在y 轴上的双曲线。 3．方程的常见设法 (1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)。 (2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)。 一、走进教材 1．(选修1－1P 54A 组T 1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点 P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离
等于________。 解析设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝17－1>2，故|PF2|＝6。 答案6 2．(选修1－1P53练习T3改编)以椭圆x2 4＋ y2 3＝1的焦点为顶 点，顶点为焦点的双曲线方程为____________。 解析设要求的双曲线方程为x2 a2－ y2 b2＝1(a>0，b>0)，由椭圆 x2 4＋y2 3＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)。所以双曲线的顶点为 (±1，0)，焦点为(±2,0)。所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3， 所以双曲线标准方程为x2－y2 3＝1。 答案x2－y2 3＝1 二、走近高考 3．(2018·浙江高考)双曲线x2 3－y2＝1的焦点坐标是() A．(－2，0)，(2，0) B．(－2,0)，(2,0) C．(0，－2)，(0，2) D．(0，－2)，(0,2) 解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)。故选B。 答案B 4．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2 a2－ y2 b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为 3 2c，则 其离心率的值是________。
9-6第6讲 双曲线习题有答案
第6讲 双曲线 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 2 3＝1的焦距是________． 解析 由已知，得a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 答案 210 2．(2017·南京模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________． 解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝± 22x . 答案 y ＝±2 2x 3．(2015·广东卷改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5 4，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为________． 解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝5 4，所以c ＝5，a ＝4，b 2 ＝c 2 －a 2 ＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 2 9＝1. 答案 x 216－y 2 9＝1 4．(2017·苏北四市联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为________． 解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c,0)到y ＝b a x 的距离为2，即|bc |a 2＋b 2＝2，又b ＞0，c ＞0，a 2＋b 2＝c 2 ，∴bc c ＝b ＝2，又∵点F 到原点的
2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第八章 第七节双 曲 线
温馨提示： 此套题为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word 文档返回原板块。 课时提升作业(五十六) 一、选择题 1.已知双曲线22 22x y 1a b -=(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为4y x 3=，则双曲线的离 心率为( ) () ( )()( 55A B C D 334 2.双曲线2 2x y 1n -=(n ＞1)的左、右两个焦点为F 1,F 2,P 在双曲线上，且满足 |PF 1|+|PF 2 |=则△PF 1F 2的面积为( ) (A) 1 2 (B)1 (C)2 (D)4 3.已知双曲线mx 2-ny 2=1(m>0,n>0)的离心率为2，则椭圆mx 2+ny 2=1的离心率为 ( ) () ( )( )( ) 1A B C D 3333 4.已知双曲线22 22x y 1a b -=(a>0,b>0) 的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在 抛物线y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) ()()()()2222 2222 x y x y A 1 B 1 36108927 x y x y C 1 D 1 10836279 -=-=-=-= 5.(2013·贵阳模拟)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线
FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) (((() 11 A B C D 22 6.(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M,N 是双曲线的两顶点，若M,O,N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ) (A)3 (B)2 (D)7.设F 1,F 2分别为双曲线22 22x y 1a b -= (a ＞0,b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支 上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) (A)3x ±4y=0 (B)3x ±5y=0 (C)4x ±3y=0 (D)5x ±4y=0 8.(能力挑战题)已知点F 1,F 2分别是双曲线22 22x y a b -=1的左、右焦点，过F 1且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) ()()()() A (11 B (1 C 1) D (,1 +∞ -∞， ， 二、填空题 9.(2013·昆明模拟)已知双曲线22 x y 19a -=的右焦点的坐标为 ) ，则该双曲线 的渐近线方程为_________.
【高考精品复习】第九篇 解析几何 第6讲 双曲线
第6讲双曲线 【高考会这样考】 1．考查利用基本量求双曲线的标准方程，考查双曲线的定义、几何图形．2．考查求双曲线的几何性质及其应用． 【复习指导】 本讲复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及简单的几何性质、近几年高考多以选择题．填空题进行考查． 基础梳理 1．双曲线的概念 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0； (1)当a
顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线 y ＝± b a x y ＝± a b x 离心率 e ＝c a ，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋ b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 a 、b 、c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0) 一条规律 双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e ＝2?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 两种方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a 、2b 或2c ，从而求出a 2、b 2，写出双曲线方程． (2)待定系数法：先确定焦点是在x 轴上还是在y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a 2、b 2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2 n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值． 三个防范 (1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2. (2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)． (3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝± b a x ，y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程是y ＝± a b x . 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)双曲线x 210－y 2 2＝1的焦距为( )．
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第七节 双曲线 含解析
课时作业 A 组——基础对点练 1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A.3 B ．3 C.3m D ．3m 解析：双曲线方程为x 23m －y 2 3＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A. 答案：A 2．已知双曲线x 2a 2－y 2 3＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52 D ．1 解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3 a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D. 答案：D 3．双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0 D ．y ±4x ＝0 解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2 ＝0，即x ±2y ＝0，选 A. 答案：A 4．已知双曲线x 23－y 2 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2| ＝25，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．1 B. 3 C. 5 D.12 解析：在双曲线x 23－y 2 ＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1| －|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝1 2×(5＋3)×(5 －3)＝1.故选A. 答案：A 5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条