9-6第6讲 双曲线习题有答案
第6讲 双曲线
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 2
3＝1的焦距是________． 解析 由已知，得a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 答案 210
2．(2017·南京模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．
解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±
22x . 答案 y ＝±2
2x
3．(2015·广东卷改编)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5
4，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为________．
解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝5
4，所以c ＝5，a ＝4，b 2
＝c 2
－a 2
＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 2
9＝1.
答案 x 216－y 2
9＝1
4．(2017·苏北四市联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的离心率e 为________． 解析 ∵右焦点F 到渐近线的距离为2，∴F (c,0)到y ＝b
a x 的距离为2，即|bc |a 2＋b
2＝2，又b ＞0，c ＞0，a 2＋b 2＝c 2
，∴bc c ＝b ＝2，又∵点F 到原点的
距离为3，∴c＝3，∴a＝c2－b2＝5，∴离心率e＝c
a＝
3
5
＝
35
5.
答案35 5
5．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)已知双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的左顶点
为M，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线l与双曲线交于A，B两点，且满足MA⊥MB，则该双曲线的离心率是________．
解析由题意可得AF＝MF，且AF＝b2
a，MF＝a＋c，则
b2
a＝a＋c，即b
2＝a2
＋ac＝c2－a2，所以e2－e－2＝0(e>1)，解得e＝2. 答案 2
6．(2017·南京师大附中模拟)已知双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x
2＋
(y＋2)2＝1没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________．
解析双曲线x2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±
b
a x，即bx±ay＝0与圆x
2＋(y
＋2)2＝1没有公共点，则
2a
a2＋b2
＝
2a
c>1,2a>c，故该双曲线的离心率满足1 ＝c a<2，即双曲线的离心率的取值范围为(1,2)． 答案(1,2) 7．(2017·泰州模拟)已知双曲线x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1， F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为________． 解析由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y ＝b a x上，因此有 ?? ? ?? a2＋b2＝25， 4＝3× b a， 解得 ? ? ?a＝3， b＝4， 所以此双曲线的方程为 x2 9－ y2 16 ＝1. 答案x2 9－ y2 16＝1 8．(2016·山东卷)已知双曲线E：x2 a2－ y2 b2＝1(a＞0，b＞0)．若矩形ABCD的四个 顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2AB ＝3BC ，则E 的离心率是________． 解析 由已知得AB ＝2b 2a ，BC ＝2c ，∴2×2b 2 a ＝3×2c . 又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2? ????c a 2－3? ???? c a － 2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案 2 二、解答题 9．(2017·镇江期末)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→ ＝0. (1)解 ∵e ＝2， ∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 2 6＝1. (2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝ m 3＋23，kMF 2＝m 3－23 ， kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 2 3. ∵点M (3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→ ＝0. 法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→ ＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3,0)在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0. 10．已知双曲线y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为25 5. (1)求此双曲线的方程； (2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若A P →＝P B → ，求△AOB 的面积． 解 (1)依题意得????? a b ＝2， |2×0＋a |5＝25 5， 解得??? a ＝2， b ＝1， 故双曲线的方程为y 24－x 2 ＝1. (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m ＞0，n ＞0，由A P →＝P B → 得点P 的坐标为? ???? m －n 2，m ＋n . 将点P 的坐标代入y 24－x 2 ＝1， 整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，∵tan ? ???? π2－θ＝2， 则tan θ＝12，从而sin 2θ＝4 5. 又OA ＝5m ，OB ＝5n ， ∴S △AOB ＝1 2OA ·OB sin 2θ＝2mn ＝2. 能力提升题组 (建议用时：20分钟) 11．(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________. 解析 取B 为双曲线右焦点，如图所示．∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝OB ＝22， 又∠AOB ＝π4， ∴b a ＝tan π 4＝1，即a ＝b . 又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案 2 12．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1，F 2 分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是右支上一点．若△PF 1F 2是顶角为2π 3的等腰三角形，则双曲线C 的率心率是________． 解析 由题意可得PF 2＝F 1F 2＝2c ，∠PF 2F 1＝2π 3，则PF 1＝23c ，由双曲线定义可得PF 1－PF 2＝23c －2c ＝2a ，则(3－1)c ＝a ，则双曲线C 的离心率是e ＝c a ＝3＋12. 答案 3＋12 13．(2016·浙江卷)设双曲线x 2 －y 2 3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则PF 1＋PF 2的取值范围是________． 解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而F 1F 2＝4，由对称性不妨设点P 在右支上，设PF 2＝m ，则PF 1＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形， 结合实际意义需满足??? (m ＋2)2＜m 2＋42 ， 42＜(m ＋2)2＋m 2 ， 解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8) 14．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x . (1)求双曲线E 的离心率； (2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与 直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ， 从而双曲线E 的离心率e ＝c a ＝ 5. 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2 4a 2＝1. 如图，设直线l 与x 轴相交于点C . 当l ⊥x 轴时， 若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点， 则OC ＝a ，AB ＝4a . 又因为△OAB 的面积为8， 所以1 2OC ·AB ＝8， 因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2， 此时双曲线E 的方程为x 24－y 2 16＝1. 若存在满足条件的双曲线E ， 则E 的方程只能为x 24－y 2 16＝1. 以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 2 16＝1也满足条件． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2， 则C ? ?? ?? －m k ，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由??? y ＝kx ＋m ，y ＝2x ，得y 1＝2m 2－k ，同理，得y 2＝2m 2＋k . 由S △OAB ＝1 2OC ·|y 1－y 2|，得 12??????－m k ·??????2m 2－k －2m 2＋k ＝8， 即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)． 由???? ? y ＝kx ＋m ，x 24－y 2 16 ＝1， 得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.因为4－k2＜0， 所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16) ＝－16(4k2－m2－16)． 又因为m2＝4(k2－4)， 所以Δ＝0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点． 因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为x2 4－ y2 16 ＝1. [课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能 [A 组 基础保分练] 1．(2020·湖南永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线x 23－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线 的方程是( ) A ．x 2－ y 2 3 ＝1 B ．y 2－ x 2 3 ＝1 C ．x 2－y 2＝2 D ．y 2－x 2＝2 解析：由已知，双曲线焦点在y 轴上，且为等轴双曲线，故选D. 答案：D 2．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B ． 3 C. 2 D.32 解析：由渐近线互相垂直可知????－b a ·b a ＝－1，即a 2＝ b 2，即 c 2＝2a 2，即c ＝2a ，所以e ＝ 2. 答案：C 3．已知双曲线 x 2－ y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝4 3 |PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．48 B ．24 C ．12 D ．6 解析：由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝1 3 |PF 2|＝2a ＝2， 解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝1 2|PF 1|·|PF 2|＝24. 答案：B 4．(2020·湖南师大附中模拟)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点，F 1，F 2 分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA → ＝λPF 1→ ，则双曲线的离心率为( ) A ．3 B ．2 C ．4 D ．与λ的取值有关 解析：由题意，可知|PG |＝2|GO |，GA ∥PF 1，∴2|OA |＝|AF 1|，∴2a ＝c －a ，∴c ＝3a ，∴e ＝3. 答案：A 5．(2020·惠州市高三一调)已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，其中一条渐近线的倾斜角为π 3 ，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2或 3 B ．2或23 3 C.233 D ．2 解析：双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则有b a ＝tan π3＝3，因为e 2 ＝c 2a 2＝1＋b 2 a 2＝1 ＋3＝4，所以双曲线C 的离心率为2，故选D. 答案：D 6．已知点F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，直线y ＝kx 交C 于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝2π 3 ，S △AF 2B ＝23，则C 的虚轴长为________． 解析：设双曲线C 的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1(图略)，由对称性可知四边形AF 1BF 2 是平行四边形，所以S △AF 1B ＝23，∠F 1AF 2＝π3.设|AF 1|＝r 1，|AF 2|＝r 2，则4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3.又|r 1－r 2|＝2a ，所以r 1r 2＝4b 2.又S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＝12r 1r 2sin π 3＝23，所以b 2＝2， 则该双曲线的虚轴长为2 2. 答案：2 2 7．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求椭圆和双曲线的方程； (2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值． 解析：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)， 三、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念 例1 设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则=||2PF （ ） A ．1或5 B ．6 C ．7 D ．9 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出 2||PF 的值． 解：Θ双曲线19222=-y a x 渐近线方程为y =x a 3 ±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=，||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>Q ，7||2=∴PF . 故选C ． 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法． （二）基本量求解 例2(2009山东理)设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线2 1y x =+只有一个公共点， 则双曲线的离心率为（ ） A ． 4 5 B ．5 C ．25 D ．5 解析：双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组21b y x a y x ? =? ??=+?，消去y ，得 210b x x a - +=有唯一解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a +===+=，故选D ． 归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能． 例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线y =x 2 +1相 切，则该双曲线的离心率等于( )A.3 B.2 C.5 D.6 解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为 0'0|2x x y x ==．由题意有 00 2y x x =．又有2001y x =+，联立两式解得:2201,2,1()5b b x e a a =∴ ==+=． 因此选C ． 例4（2009江西）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点，若12F F ，， (0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 解析：由3tan 6 2c b π = =2222 344()c b c a ==-，则2c e a ==，故选B ． 归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出3 tan 6 2c b π = =体现数形结合思想的应用． （三）求曲线的方程 一、单项选择题参考答案 1．B 2．D 3．B 4．A 5．B 6．A 7．D 8．C 9．D 10．A 11．D 12．A 13．B 14．C 15．B 16．A 17．C 18．C 19．B 20．C 21．D 22．B 23．．A 24．B 25．．A 26．C 27．D 28．C 二、多项选择题参考答案 1．AC D 2．ABCD 3．CD 4．AB 5．ABD 6．ACD 7．ABCD 8．ABCD 9．ABCD 1 O．ABC 11．ACD 12．CD 13．BCD 14．AC 15．ABD 16．AD 17．BC 18．ABCD 19．ACD 20．ABD 21．ABCD 22．ABD 23．CD 24．AC 25．ABCD 26．ABCD 27．AD 28．CD 29．AC 30．ABD 31．ABCD 32．BCD 33．AD 34．CD 35．CD 3 6．ACD 37．BC 3 8．BCD 39．AB 40．ACD 41．BCD 42．ABC 43．ABCD 44．BC 45．BCD 46．AB 47．C D 48．ABCD 49．ABCD 50．ABD 51．ACD 52．ABCD 53．ABC 54．ABCD 55．CD 56．ABCD 三、辨析题 1．商品的价值有两个源泉，即生产资料和劳动力的价值。 [答案要点] 此观点错误。在生产使用价值的过程中，劳动、资本、土地、技术是不可缺少的，马克思肯定各种生产要素在财富生产中同等的重要性，他说：“劳动并不是它所生产的使用价值即物质财富的唯一源泉。”正如威廉·配第所说：“劳动是财富之父，土地是财富之母。”具体劳动和各种生产要素共同构成了使用价值的源泉。价值则不同，价值是凝聚在商品中的无差别的人类劳动，抽象劳动是形成价值的实体，劳动是价值创造的唯一源泉。物质元素仅仅是价值创造的物质条件，它不创造任何价值原子。 具体劳动创造商品的使用价值，但劳动并不是使用价值的唯一源泉，使用价值有两个源泉，即生产资料和人的劳动。如果根据使用价值的生产离不开生产资料(劳动工具和劳动对象)这一点，认为商品的价值也有两个源泉，认为生产资料和劳动者都创造了价值，从认识上讲，这是混淆了使用价值和价值这两者不同的属性，进而也混淆了具体劳动和抽象劳动。 所谓价值、抽象劳动体现的是人与人之间的经济关系，凡是社会物质财富，都经过人的劳动才能形成。正是在这种意义上，我们说价值的实体是人类抽象劳动，价值的唯一源泉是劳动。不承认劳动是价值的唯一源泉，是企图掩盖资产阶级利用其对生产资料的占有而无偿占有别人劳动这种剥削的实质 2．在知识经济时代，价值的增长不是通过劳动，而是通过知识。 [答案要点] 此观点错误。(1)商品生产过程是各种生产要素结合在一起发挥作用的过程，各种生产要素在商品生产中的作用与劳动创造价值的关系是不同的。就商品使用价值的生产而言，土地、材料、技术、知识等生产要素是商品使用价值的物质要素，与劳动者的具体劳动一起，共同构成了使用价值的源泉。但就商品价值的创造而言，价值是凝结在商品中无差别的人类劳动即抽象劳动。抽象劳动是形成价值的唯一源泉，离开了入的劳动，价值增长就不可能实现，劳动是价值的唯一源泉。这是马克思劳动价值论的基本观点。 (2)在信息经济社会中，知识转化为生产力，能提高劳动生产率，给人类的生产带来极大的方便。在这一时代，知识和技术甚至成为首要的生产力。但价值的增长源泉仍是劳动，而不是知识。知识不创造价值，它本身的价值也必须通过生产者的具体劳动才能转移到新产 高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（） A．x=0 B． C．D． 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为． 3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是 4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程． 5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为． 二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为． 2、设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为． 3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0） 和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l 的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（） A． B．C．D． 3、焦点三角形 1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为． 2、．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积． 3、已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求： （1）双曲线的渐近线方程； （2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积． 4、直线与双曲线的位置关系 已知过点P（1，1）的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k= ＿＿＿＿ 5、综合题型 第六章 统计指数 （3）由于每种商品和全部商品价格变动试该试居民增加支出的金额。 解：（1）各商品零售物价的个体指数见下表： （2）四种商品物价总指数%2.111598 .55840 .611 011== = ∑∑q p q p 四种商品销售量总指数%8.116595 .47598 .550 01 == = ∑∑p q p q （3）由于全部商品价格变动使该市居民增加支出为61.840-55.598=6.242（万元） 其中 蔬菜价格的变动占4.680-4160=0.520万元； 猪肉价格的变动占38.640-35.328=3.312万元； 蛋价格的变动占5.520-5.060=0.460万元； 水产品价格的变动占13.000-11.050=1.950万元。 通过分析可看出，猪肉价格变动影响最大，占居民增加支出金额的53.1%，其次是水产品，占居民增加支出金额的31.2%。 例2、某工业企业生产甲、乙两种产品，基期和报告期的产量、单位产品成本和出厂价格资 试计算： （1）以单位成本为同度量因素的产量总指数 （2）以出厂价格为同度量因素的产量总指数 （3）单位成本总指数 （4）出厂价格总指数 （1）以单位成本为同度量因素的产量总指数%7.11931000 37100 001== =∑∑z q z q （2）以出厂价格为同度量因素的产量总指数 %6.1155500063600 01== = ∑∑p q p q （3）单位成本总指数%2.14837100 55000 1 011== = ∑∑q z q z （4）出厂价格总指数%8.9963600 63500 1 011== = ∑∑q p q p 例3、试根据例2的资料，从相对数和绝对数方面分析： （1）总成本变动受产量和单位成本变动的影响程度 （2）销售额变动受产量和出厂价格变动的影响程度 解：（1）总成本变动： 总成本指数%4.17731000 55000 01 1== = ∑∑q z q z 增加总成本 ∑∑=-=-2400031000550000 01 1q z q z （元） 其中由于产量变动的影响： 产量指数%7.11931000 37100 001== = ∑∑z q z q 第八章 第六节 双曲线 一、选择题 1．“ab <0”是“方程ax 2 ＋by 2 ＝c 表示双曲线”的 ( ) A ．必要但不充分条件 B ．充分但不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：若ax 2 ＋by 2 ＝c 表示双曲线，即x 2c a ＋y 2c b ＝1表示双曲线，则c 2 ab <0，这就是说“ab <0” 是必要条件，然而若ab <0，c 可以等于0，即“ab <0”不是充分条件． 答案：A 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3 3 x ，若顶点到渐近线的 距 离 为 1 ， 则 双 曲 线 的 方 程 为 ( ) A.x 24－3y 24＝1 B.3x 24－y 2 4＝1 C.x 24－y 2 4 ＝1 D.x 24－4y 2 3 ＝1 解析：不妨设顶点(a,0)到直线3x －3y ＝0的距离为1，即3a 3＋9＝1，解得a ＝2.又b a ＝ 33，所以b ＝233，所以双曲线的方程为x 2 4－3y 2 4 ＝1. 答案：A 3． (2011·新课标全国卷)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直， l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2 b 2＝1可得 y 2 ＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a .∴b 2＝2a 2.c 2＝a 2＋b 2＝3a 2.∴e ＝c a ＝ 3. 答案：B 4．已知双曲线x 2 －y 2 3 ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则 1PA · 2PF 的最小值为 ( ) 第6讲双曲线 基础知识整合 1．双曲线的概念 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做01双曲线.这两个定点叫做双曲线的02焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的03焦距. 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： (1)当04a B 1B 2叫做双曲线的 17虚轴，它的长|B 1B 2|＝182b ；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长 a ， b ， c 的关系 19c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0) 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b . 2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2 a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a . 4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2 tan θ2 ，其中θ为∠F 1PF 2. 5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a . 6．等轴双曲线 (1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． (2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A ．22 B ．1 C ． 2 D ．2 答案 C 解析 由题意可得b a ＝1，∴e ＝ 1＋b 2 a 2＝1＋12＝ 2.故选C ． 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。 2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24 ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 五、求椭圆的离心率问题。 例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． ． 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ，求k 的值． 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1.若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。 2．已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，求△ABF 2的周长． 3．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24 ＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，求△PF 1F 2的面积． 七、直线与椭圆的位置问题 例 已知椭圆1222=+y x ，求过点?? ? ??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 第六章习题 已知波源在质点()0=x 的平面简谐波方程为：()cx bt A y -=cos ，c b A ,,均为常数，试求：⑴ 振幅、频率、波速和波长。 ⑵ 写出在传播方向上距波源l 处一点的振动方程式，此质点振动的初相位如何。 解：⑴ 振幅：A , 周期：b T π2= 频率：π ν21b T == 波长：c πλ2=，波速为：c b T u ==λ ⑵ l x =处质点的振动方程式为：()cl bt A y -=cos 该质点振动的初相位为：cl - 一横波的方程为：()x t A y -=νλ π 2cos ，若m 01.0=A ，m 2.0=λ，s m 25=u 。试 求：s 1.0=t 时，m 2=x 处的一点的位移、速度和加速度。 解：m 01.0=A ，m 2.0=λ，s m 25=u ， 频率为：Hz 1252 .025 == =λ νu 横波的方程为：()x t y -=12510cos 01.0π 位移：()m 01.0cos 01.025.1210cos 01.02 1.0-==-===ππx t y 速度：()0sin 5.1225.1210sin 5.122 1.0=-=--===ππππx t v 加速度： ()25222 1.0s m 101.5412505.1225.1210cos 12505.12?=?=-?-===πππx t a 平面简谐波的方程为：cm 10022cos 8?? ? ??- =x t y π，波源位于原点，求： ⑴ s 1.2=t 时波源及距波源m 1.0处的相位。 ⑵ 离波源m 80.0及m 30.0两处的相位差。 解：⑴ s 1.2=t 时波源的相位：()ππ? 4.801.0220 1.2=-?===x t 距波源m 1.0处的相位：()ππ?2.81.01.0221 .01.2=-?===x t ⑵ 离波源m 80.0及m 30.0两处的相位差： πππ? ? ?-=?? ? ?? --??? ??-=-=?==100302210080223 .08 .0t t x x 因此，离波源m 80.0及m 30.0两处的相位差为π。 有一频率为Hz 500的平面简谐波，在空气( ) 33 m kg 10 3.1-?=ρ中以速度s m 340=v 的 速度传播，到达人耳时，振幅为cm 104 -=A ，试求耳中声音的平均能量密度及声强。 第六讲练习题 一、概念解释 情绪情感：情绪和情感是个体对客观事物的态度体验，是对客观事物与主体需要之间关系的反映。情绪和情感在人类精神生活和社会活动中发挥着非常重要的作用。 情绪表达的掩饰性：青少年期情绪表现的另一个特点是情绪表达的“掩饰性”，即情绪的表现与内心真实体验会是分离，就像戴着一副假面具一样，有时候让家长与老师捉摸不透其内心的真实情绪情感。 亲密感：亲密感是指两个人之间情感上的依恋，它的特征是彼此关心对方的身体康健和幸福；愿意同对方谈论私人的、有时甚至是敏感的话题；拥有共同的兴趣，并会参与共同的活动。在青春期，两个人之间可以拥有亲密关系，但这种亲密感不包含与性或身体亲密有关的含义。 友谊：友谊是人们在交往活动中产生的一种特殊情感，它与交往活动中所产生的一般好感是有本质区别的。友谊是一种来自双向（或交互）关系的情感，即双方共同凝结的情感，任何单方面的良好，不能称为友谊。友谊以亲密为核心成分，亲密性也就称为衡量友谊程度的一个重要指标 孤独感：孤独感是一种封闭心理的反映，是感到自身和外界隔绝或受到外界排斥所产生出来的孤伶苦闷的情感。一般而言，短暂的或偶然的孤独不会造成心理行为紊乱，但长期或严重的孤独可引发某些情绪障碍，降低人的心理健康水平。孤独感还会增加与他人和社会的隔膜与疏离，而隔膜与疏离又会强化人的孤独感，久之势必导致疏离的个人体格失常。 情绪能力：情绪能力（emotionalcompetence）也叫情绪智力（emotional intelligence），是指青少年识别、理解与监控自己及他人的情绪和情感，并利用情绪信息指导自己的思想和行为的能力。情绪能力是社会能力的组成部分，是青少年社会适应的重要心理品质。 情绪调节：情绪调节是个体对于情绪反应、体验、唤醒及表达进行监控、调整和修正，以达到一种动态平衡的过程，从而保证了个体良好的适应性。在教育中要帮助青少年掌握一定的情绪调节方法。 8．情感素质：情感素质是指个体在遗传和环境共同作用下，在生活实践中形成的相对稳定的、积极的情感特征与品质。 二、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，选出一项最符合题目要求的选项） 1．随着青春期的到来，青少年的消极情绪体验（B ）。 A．减少B．增多C．不变D．与积极情绪体验达到均衡 2．青少年的情绪表现方式由外在冲动性向（C）转变。 A．内在稳定性B．外在文饰性C．内在掩饰性D．外在调节性 3．（A）是青少年中比较常见的一种消极情绪体验，是他们过分担心考试失败并渴望获得更好的分数而产生的一种紧张的心理状态。。 A．考试焦虑B．自卑感C．抑郁D．厌学情绪 课时规范练 A 组 基础对点练 1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A.3 B ．3 C.3m D ．3m 解析：双曲线方程为x 23m －y 2 3＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A. 答案：A 2．已知双曲线x 2a 2－y 2 3＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52 D ．1 解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3 a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D. 答案：D 3．(2018·邢台摸底)双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0 D ．y ±4x ＝0 解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2 ＝0，即x ±2y ＝0，选 A. 答案：A 4．设F 1，F 2是双曲线x 2 －y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝4 3 |PF 2|，则△ PF 1F 2的面积等于( ) A ．42 B ．8 3 C ．24 D ．48 解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2， 又|PF 1|＝4 3|PF 2|， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6， 又|F 1F 2|＝2c ＝10， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， △PF 1F 2为直角三角形． △PF 1F 2的面积S ＝1 2 ×6×8＝24. 答案：C 5．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.32 解析：由渐近线互相垂直可知????－b a ·b a ＝－1， 即a 2＝ b 2，即 c 2＝2a 2，即c ＝2a ， 所以e ＝ 2. 答案：C 6．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2 －y 2 4 ＝1 B.x 24－y 2 ＝1 C.y 24 －x 2 ＝1 D ．y 2 －x 2 4 ＝1 解析：A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 2 4－ x 2 ＝0，得y ＝±2x ，令y 2 －x 24＝0，得y ＝±1 2 x ，故选C. 答案：C 7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5 4，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 2 3＝1 B.x 29－y 2 16＝1 C.x 216－y 2 9 ＝1 D.x 23－y 2 4 ＝1 解析：由题意得e ＝ 1＋b 2a 2＝5 4 ，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 2 9＝1. 答案：C 8．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0 垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2 ＝1 B ．x 2 －y 2 4 ＝1 C.3x 220－3y 2 5 ＝1 D.3x 25－3y 2 20 ＝1 解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2 ＝1. 答案：A 高考数学大一轮复习第九章平面解析几何7第6讲双曲线新题培 优练文（含解析）新人教A 版 [基础题组练] 1．若双曲线C 1：x 22－y 2 8＝1与C 2：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距 为45，则b ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选B.由题意得，b a ＝2?b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45?c ＝a 2＋b 2 ＝25?b ＝4，故选B. 2．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支 上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( ) A.x 2 4－y 2 ＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2 －y 2 4 ＝1 D.x 22－y 2 3 ＝1 解析：选A.由题意可得???| PF 1 |－|PF 2 |＝2a ＝4b ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，2c ＝25， 解得? ????a 2 ＝4，b 2＝1，则该双曲线方程为x 24－y 2 ＝1. 3．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 2 5＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为 坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( ) A.32 B.52 C.72 D.92 解析：选B.因为c 2 ＝a 2 ＋b 2 ＝9，所以|OP |＝|OF |＝3.设点P 的坐标为(x ，y )，则x 2 ＋y 2 ＝9，把x 2＝9－y 2 代入双曲线方程得|y |＝53，所以S △OPF ＝12|OF |·|y P |＝52 .故选B. 4．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两 《双曲线》典型例题12例 典型例题一 例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 ∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2 =-- λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223， ，∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明：（1）注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 典型例题三 例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 第6章 触发器和定时器 已知由与非门构成的基本RS 触发器的输入波形如图所示。画出基本RS 触发器的Q 和Q 端波形。 解：与非门构成的基本RS 触发器输入信号R 和S 直接改变触发器的状态，且它的特性方程是： 1n n Q S RQ +=+且1R S +=，则其波形如下： R S 图P6.1 Q Q 在图所示的输入波形下，由或非门构成的基本RS 触发器会出现状态不定吗如果有，请指出状态不定的区域。 R S 图P6.2 解：或非门构成的基本RS 触发器输入信号R 和S 直接改变触发器的状态，且它的特性方程是： 1n n Q S RQ +=+且0RS =，1R S ==时0Q Q ==，违反了互补关系所以如上图虚线部分 就会出现不能确定的状态。 / 同步RS 触发器的逻辑符号和输入波形如图所示。设初始状态Q ＝0。画出Q 和Q 端的波形。 解：同步RS 触发器的触发时刻时在CP 的上升沿，其它的特性方程是： 1n n Q S RQ +=+且0RS =，则其波形如下： CP S R S 图P6.3 Q Q 由各种TTL 逻辑门组成的电路如图所示，分析图中各电路是否具有触发器的功能 。 解：a)的特性方程是：1n n Q R Q +=?, 1n n Q S Q +=? | b)的特性方程是：1n n Q R Q +=+, 1n n Q S Q +=+ & & · ≥1 =1 =1 =1 =1 (a) (b) 【 (c) (d) 图 & & ≥1 =1 ' =1 =1 =1 (a) (b) (c) (d) 图 c)的特性方程是：1n n Q R Q +=⊕, 1n n Q S Q +=⊕ d)的特性方程是：1n n Q R Q +=⊕, 1n n Q S Q +=⊕ 列出真值表如下： 据真值表得以上四图都无两个稳定的状态，所以无触发功能。 — 分析图电路的逻辑功能，对应于CP 、A 、B 的波形，画出Q 和Q 端波形。 第6讲植树问题例题练习及答案 (1)在一段距离中,两端都植树,棵数=段数+1; (2)在一段距离中,两端都不植树,棵数=段数-1; (3)在一段距离中,一端不植树,棵数=段数. 3.在封闭曲线上植树,棵数=段数. 例题精讲: 例1 有一条长1000米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔25米栽一棵树苗,一共需要准备多少棵树苗? 分析:先将全长1000米的公路每25米分成一段,一共分成多少段?种树的总棵树和分成的段数的关系是棵数=段数+1. 解1000÷25+1=41(棵). 答:一共需要准备41棵树苗. 例2 公路的一旁每隔40米有木电杆一根(两端都有).共121根.现改为水泥电杆51根(包括两端),求两根相邻水泥电杆之间的距离. 分析:公路全长为40×(121-1) 解40×(121-1)÷(51-1)=40×120÷50=96(米). 答:两根相邻水泥杆之间的距离是96米. 例3 两幢大楼相隔115米,在其间以等距离的要求埋设22根电杆,从第1根到第15根电杆之间相隔多少米? 分析:在相距115米的两幢大楼之间埋设电杆,是两端都不埋电杆的情况,115米应该分成22+1=23段,那么每段长是115÷23=5米,而第1根到第15根电杆间有15-1=14段,所以第1根到第15根电杆之间相隔(5×14)米. 解115÷(22+1)×(15-1)=115÷23×14=70(米) 答:从第1根到第15根之间相隔70米. 例4 工程队打算在长96米,宽36米的长方形工地的四周打水泥桩,要求四角各打一根,并且每相邻两根的距离是4米,共要打水泥桩多少根? 分析:先求出长方形的周长是(96+36)×2=264米,每4米打一根桩,因为是沿着长方形四周打桩,所以段数和根数相等,可用264÷4来计算. 解 (96+36)×2÷4=132×2÷4=66(根). 答:共要打水泥桩66根. 例 5 一个圆形水库,周长是2430米,每隔9米种柳树一棵.又在相邻两棵柳树之间每3米种杨树1棵,要种杨树多少棵? 分析:沿着封闭的圆形水库四周植树,段数与棵数相等,沿着2430米的四周,每隔9米种柳树一棵,共可种2430÷9=270棵,也就是把水库四周平分成270段.又在相邻两棵柳树之间,每隔3米种杨树一棵,每段可种9÷3-1=2棵,总共可种杨树2×270=540棵. 解 (9÷3-1)×(2430÷9)=2×270=540(棵) 答:水库四周要种杨树540棵. 例 6 红星小学有125人参加运动会的入场式,他们每5人为一行,前后两行的距离为2米,主席台长32米.他们以每分钟40米的速度通过主席台,需要多少分钟? 分析:这是一道与植树问题有关的应用题.利用"有125人,每5人为一行"可求出一共有125÷5=25行,行数相当于植树问题中的棵数,"前后两行距离是2米"相当于每两棵树之间的距离,这样可求出队伍的长度是2×(25-1)米.再加上主席台的长度,就是队伍所要走的距离.用队伍所要走的距离,除以队伍行走的速度,可求出所需行走的时间了. 解 [2×(125÷5-1)+32]÷40=[2×24+32]÷40=80÷40=2(分钟). 答:队伍通过主席台要2分钟. 水平测试 4 A 卷 一、填空题 1.学校有一条长80米的走道,计划在走道的一旁栽树,每隔4米栽一棵. (1)如果两端都栽树,那么共需要______棵树. (2)如果两端栽柳树,中间栽杨树,那么共需要______杨树. (3)如果只有一端栽树,那么共需要______棵树. 2.一个圆形水池的周长是60米,如果在水池的四周每隔3米放一盆花,那么一共能放______盆花. 2019-2020年高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线增分练 [A 级 基础达标] 1．[xx·安徽模拟]下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2 －y 24＝1 B.x 24－y 2 ＝1 C ．y 2－x 2 4＝1 D.y 2 4 －x 2 ＝1 答案 D 解析 由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ；D 项的渐近线方程为y 2 4－x 2 ＝0， 即y ＝±2x . 2．[xx·湖北模拟]若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离 心率为( ) A. 73 B.54 C.43 D.53 答案 D 解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，∴b a ＝43 ， 又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2 ＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53 .故选D. 3．[xx·全国卷Ⅰ]已知F 是双曲线C ：x 2 －y 2 3＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A.13 B.12 C.23 D.32 答案 D 解析 因为F 是双曲线C ：x 2 －y 2 3＝1的右焦点，所以F (2,0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3. 又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝3 2 .故选D. 4．[xx·广东模拟]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5 4 ，且其右焦点为F 2(5,0)，则 双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 2 3 ＝1 B.x 29－y 2 16 ＝1 定积分应用练习题 A 1. 求由曲线2y x =及直线2y x =?所围成的平面图形的面积及该平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积； 2. 平面图形由x 轴、曲线y =y =积及该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积； 3. 求曲线(1)(2)y x x x =??与x 轴所围成的图形的面积，并分别求该图形绕x 轴、y 轴旋转一周所得旋转体的体积； 4. 在曲线2y x =(0)x ≥上某点A 处做一条切线，使该切线与曲线以及x 轴所围图形的面积为112 ，求 （1）A 点坐标； （2）过A 的切线方程；（3）上述平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. B 1. 求摆线(sin )(1cos ) x a t t y a t =???=?? 的一拱(02)t π≤≤与x 轴所围成的平面图形面积，并分别求该平面图形绕x 轴、y 轴旋转一周所得的旋转体的体积； 2. 求由两条曲线3cos ρθ=和1cos ρθ=+所围图形的公共部分的面积； 3. 求摆线摆线(sin )(1cos ) x a t t y a t =???=?? 的一拱(02)t π≤≤的弧长. 4. 设抛物线2y ax bx c =++过(0,0)O 及(1,2)A 点，且1a 第八章 第六节 双曲线(优秀经典课时作业练习及答案详解)
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