For free scalar field ：
222121φφφμμm -∂∂=L
⇒ ⎰⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛--∂==φφ)(212244m x d x d S L Therefore ：
()()
⎰⎰⎰+⎭⎬⎫⎩
⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∂-)()()()()(2121)4(2244224x x J y x x i m x y d x d J i m x d x φδφεφφφεφWith the Gaussian intergration formulae ：
)2exp(2)exp(2
2
a
J a Jx ax
dx π=
+-⎰∞
∞- ⇒ ⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅--∞
∞
-∞
∞-⎰⎰J JA A x J x A x dx dx dx n
T n 12
1
2121exp det )2(21exp ......π
Where x A J are matrixes. Therefore the two-point function ][J Z should be ：
⎰⎰⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=)()()()()(21exp ][4x x J y y x K x x d J Z φφφφD
Where ：def ：())()()4(22y x i m y x K -+-∂-=-δε
We can check these ：
)()()()
()()()()()())(()()()()()
4(22)
4()
4(22
4
)4()4(224)4(4y x i y x D i m y x i z y y x D i m y d z x i z y i m y x yD d z x z y K y x D i y d F x F x
x F F -=-+--∂⇒-=--+--∂⇒-=-+--∂-⇒-=---⎰⎰⎰
δ
εδ
δ
εδδ
εδ
)(y x D F - is nothing but the the Green Function of the Klein-Gordon operator.
In another way,we can complete the square by introducing a shifted field ：
)()()()('4y J y x D y d i x x F --≡⎰φφ
Using these we have ：
()
()
()[]
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--⨯=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-∂-=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-∂-=)()()(21exp )(exp ' )()()(21''21exp ' )()()()(21exp ][440444224224y J y x D x yJ xd d x d i y J y x iD x J y xd d i i m x d x x J x i m x x d J Z F F φφφεφφφφεφφL D D D
Free Field ：
)( )()()(21exp )()(21)()(21)( )()()(21exp )()(0|)()(|0214424241442121x x D y J y x D x yJ xd d x x D x yJ d y J y x yD d x J y J y x D x yJ xd d x J x J x x T F F F F F -=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--⨯⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-----=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡---
>=<⎰⎰⎰⎰δδδδ
δδφφ
For 4φ theory ：44φλ
！
-
=I L
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂⨯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂⨯⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥
⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥
⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∂∂=φφφφφδδλφφφφφδδλφφφφφφφλφφφλφφφφμ
μμμμμμμJ m x d i x J i x d J m x d i x J i x d i J m x d i x d i J m x d i J Z 2244442
2444
42244442242121exp ......)(!41 2121exp )(!4exp 2121exp !4exp !42121exp ][~D D D D D D Where we make ：
[]
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎰⎰⎰4
444)(!4exp )(exp )(exp x J i x d i x J i x d i x d i I I δδλδδφL L For the vertex ：
()()
()()
()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-----=----⨯----⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==
=x
d i x x D x x D x x D x x xD d i y J y x yD d
y J y x yD d y J y x yD d y J y x yD d x d i J Z x J x J x J x J F F F F F F
F F J 4432144
4
4440
4
3
2
1
)()()()()
()()()( )
()()()(!4!4]
[~
)
()()()(λλλδδ
δδ
δδ
δδ
整理于2011-3-7
1
x 2
x 3x 4
x
Quantization of the Electromagnetic Field ﹡The difficutlies of questing gauge field
Transformation of the gauge field μA ：)(1
x e
A A αμμμ∂+→
Lagrangian of electromagnetic ：μνμνF F 41
-=L
Therefore the conjugate momentum ：μ
μπA ∂∂=
L However ：00=π so we cannot write down the commutation relations like ：
)y x ()]y (),x ([)3(-=δπμννμig A
Path intergral formula ：
()[]
⎰⎰∂∂-∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)()(2
1
41244x A g x A x d F F x d S ννμμνμμνμν
Fourier Transformation ： ⇓
()()
[
]
⎰-+-=)(~)(~22124
4k A k k g k k A k d S ννμμνμ
π However if we define ：2k
k k g
νμμν
μν
-=∆
⇒ μνλ
νμν∆=∆∆ That means ：3=∆μνμνg Therefore ：μν∆ 不可逆。
Therefore the propagator of electromegnetic field is not well defined.
Faddeev – Popov Trick
Lorenz Gauge ：0)(=∂=μμA A G
（Attention ：It is “Lorenz Gauge ” not “Lorentz Gauge ”） With the identity ：())()
('1
)()(000x x x f x f x f -=-δδ We have ：()⎰⎰==1)()()
(x dx x f dx
x df dx
δδ ；therefore ： ⇒ ()⎰⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=δαδδααα
)(det )()(1A G A G x D
把()⎰⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=δαδδααα
)(det )()(1A G A G x D 插入路径积分表达式：
()()()⎰⎰⎰⎪⎭
⎫
⎝
⎛=)(][ex p )(det ][ex p A G A iS A A G A iS A δαδα
δD D D Where ⎪⎭
⎫
⎝⎛δαδ)(det A G is just a C-Number .And with the transformation of the gauge field ：
)(1x e
A A αμμα
μ∂+→，we have ：
α
A
A D D =.We choose the general class of
functions ：
)()()(x x A A G ωμμ-∂=
The functional intergral would be ：
()()()()
⎰⎰⎰⎰-∂⎪⎭
⎫
⎝⎛∂→)(][ex p 1det ][ex p 2
4
x A A iS A e
A x d i A ωδαμμ
D D L D
对上式中ω取Gauss 平均：插入： ⎰⎰-=]2ex p[)()(12
4
ξ
ωωξx d i x N D ，得：
()()()()
()()()
(
)()()()()
(
)
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-=⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡∂-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣
⎡∂-⎪⎭
⎫
⎝⎛∂=-∂⎪⎭
⎫
⎝⎛∂⨯-=-∂⎪⎭
⎫
⎝⎛∂→24242
4
2224
2
4
21exp 21
exp ][exp 21exp ][exp 1det )()(][exp 1det ]2exp[)()()
(][exp 1det ][exp μ
μμμ
μ
μ
μμμμ
ξξξ
α
ξωδαξωωξωδαA x d i A N A x
d i A iS A N A x d i A iS A
e N x A A iS A e x d i x N x A A iS A e
A x d i A L D D D D D D D D D L D
From the conclusion before,we know that ：
()
⎰⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-)(1)(21212424x A g x xA d A L x d ννμνμμνμμμξξ The propagator ：
())()()
4(2
y x i y x D g
F -=-∂∂-∂δδμρνρνμμν
or ：
()
μ
ρ
νρνμμν
δi k D k k g
k F =+-)(~2
⇓
μρνρνμμνδξi k D k k g k F =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-)(~)11(2
The solutions of the Eq. Above is ： We define the projector operator ：21k
k k g
νμμν
μν
-=∆；22k k k νμμν
=∆
We have the identities ：μνμ
νμ
νδ=∆+∆21 ；μν
ν
λμλ
111∆=∆∆；02121=∆∆=∆∆λνμλ
νλμλ
With these above,we have ：μν
μνμν
2211)()()(~
∆+∆=k C k C k D F
；therefore ：
()
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+-=⇒=∆+∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆-⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⇒=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-2222112122222)1()(~1~1)(~)11(k k k g i k i k D i C C k i D k k k k k k g k i k D k k g k F F F νμμνμν
μ
ρνρνρμνμνμ
ρ
νρνμνμμνμ
ρνρν
μμνξεδξδξδξ
At last the generating functional is ：
()
⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂--=μμ
μμμνμνξA J A F F x d i A N J Z 242141exp ][D
S-Matrix 与 ξ 取值无关： Example ：----→e e e e
The propagator ：...)1( (22)
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+-k k k g i k i νμμνξε With the Wald Identity ：0)(=k k μ
μ
M
⇒
2
M
is independent of ξ
][A L ：Gauge Inviriance → ][ξ，A L ：S-Matrix is Gauge Independence.
p
e ,-q e ,-'
,p e -'
,q e -
Two choices that are often convenient are：
0=ξ Laudau Gauge ；
1=ξ Feynman Gauge
Exersice ：Consider the massive vector field ：
()
)
()(2
1
2
1
41222x A g m g x A A A m F F νμννμμνμμ
μμνμν+∂∂-∂-=+-=L
With the gauge condition ：0=∂μμA we could find the path intergral functional ：
()⎰][exp A iS A D is well https://www.360docs.net/doc/5719351476.html,pute the Feynman propagator of this massive
vector field.
整理于2011-3-12
The solutions of the exersice ：
()
)
()(2
1
2
1
41222x A g m g x A A A m F F νμννμμνμμ
μμνμν+∂∂-∂-=+-=L
Fourier Transformation ： ()
)(~
)(~2
122k A g m k k g k k A -+-=νμννμμνμ The propagator ：
()
μ
ρ
νρνμμνμνδi k D k k g m g k F =++-)(~22 Which ：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-=
2
22)(~m k k g m k i k D F ν
μμνμν
Grassmann Numer
∑=i
i i x x )()(φθψ θ反对易数
Grassmann Numbers ：ηθθη-= ； 02=θ
⎰⎰+=)()(ηθθθθf d f d shift ：ηθθ+→
)(θf Taylor series ：θB A + ；A 、B is normal number.
⎰⎰⎰+=+=)()()(ηθθθθθθf d B A d f d ⇒ ⎰⎰=θθθθd B f d )(
Mutiple intergral ：1=⎰⎰ηηθθd d Complex Grassmann Number ：2
2
1θθθi += ；2
2
1θθθi -=
And ：
()()()()
⎰
⎰⎰⎰==-=-=-b d d b d d b b d d b d d θθθθθθθθθθθθθθθθ********exp exp 1exp Where b is a normal number. Generally ：
()
()B B d d j ij ij i i i det exp *
*=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∏⎰θθθθ Exersice ：for i=1,2；check these above.
Functional Quantization of Spinor Field ： Lagrangian Density ：
()ψγψμμm i -∂=L
Generating functional ：()[]
⎰⎰++-∂/=ηψψηψψψψηηm i x d i Z 4exp ],[D D Where ：ηη, are Grassmann Numbers.Then in the same way,introduce the shifted fields ：
⎰⎰-+=--=)()(')()('4
4y x S y y d i y y x yS d i F F ηψψηψψ
Therefore ：
()[
]
()[
][
]{}
[
]
⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=--++-∂/=++-∂/=)
()()(exp )()()(exp exp exp ],[4404444y y x S x y xd d Z y y x S x y xd d m i x d i m i x d i Z F F ηηηηηψψηψψψψη
ψψηψψψψηηD D D D
第一章量子力学基础习题
第一章 量子力学基础 一．选择题 1. 已知某色光照射到一金属表面、产生了光电效应，若此金属的逸出电势是0U （使电子从金属逸出需做功0eU ）则此单色光的波长λ必须满足： A （A ）0/eU hc ≤λ （B ）()o hc eU λ≥ （C ）()()0/eU hc λ≤ （D ）()()0/eU hc λ≥ 2. 用强度为I ，波长为λ的X 射线（伦琴射线）分别照射锂（Z=3）和铁（Z=26），若在同一散射角下测得康普顿散射的X 射线波长分别 Li λ和()11,Fe L F λλλλ>，它们对应的强度分别为1L I 和Fe I ，则 （A ）11,L Fe L Fe I I λλ>< （B ）11,L Fe L Fe I I λλ== （C ）11,l Fe L Fe I I λλ=> （D ）11,L Fe L Fe I I λλ<> [ C ] 3. 根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动时速度大小之比21:v v 是： （A ）1； （B ）19； （C ）3； （D ）9 。 [ C ]
4. 若外来单色光将氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱的条数是： C （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ） 6 5. 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是0.40 A ，则U 约为 （A ）150V （B ）330V （C ）630V （D ）940V （普朗克常量34606310.h j s -=⨯） [ D ] 6. 若α粒子（电量为2e ）在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 （A ）()2h eRB （B ）()h eRB （C ）()12eRBh （D ）)1eRBh [ A ] 7. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： ( )32x x a πφ= （-a ≤x ≤a ） 那么粒子在x=5a/6处出现的几率密度为： （A ）1/（2a ） （B ）1/a （C ） （D ） [ ] 解答：( )2 2 2 25 31516cos cos 242a x a a a π ρϕπ====， 故选（A ）。 8. 直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 （A ）康普顿实验 （B ）卢瑟福实验
量子力学课后习题
第一章 绪论 1. 在0K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布洛意波长。 2. 氦原子的动能是32 E kT =（k 为玻耳兹曼常数），求T =1K 时，氦原子的德布洛意波长。 3. 利用玻尔-索末菲的量子化条件，求 （1） 一维谐振子的能量； （2） 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 4. 两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 第二章 波函数和薛定谔方程 1. 证明在定态中，几率密度和几率流密度与时间无关。 2. 由下列两定态波函数计算几率流密度: （1）11ikr e r ψ=，（2）11ikr e r ψ-= 3. 求粒子在一维无限深势阱 中运动的能级和波函数。 4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 5. 求一维线性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。 6. 试求算符ˆix d F ie dx =-的本征函数。 7. 如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函 数和能级的表达式。0,2 (),2 a x U x a x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪∞≥ ⎪⎩ ⎩⎨ ⎧≥≤∞<<=a x x a x x V 或0, 0,0)(a A 1='
第三章 量子力学中的力学量 1. 一维线性谐振子处于基态 ，求: （1）势能的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的几率分布函数。 2. 氢原子处于基态()0,,r a r ψθϕ-= ，求： （1）r 的平均值； （2）势能2 e r -的平均值； （3）最可几半径； （4）动能的平均值； （5）动量的几率分布函数。 3. 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是2 2L H I =，L 为 角动量。求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： （1）转子绕一固定轴转动； （2）转子绕一固定点转动。 4. 一维运动的粒子的状态是 ⎩⎨ ⎧=-0)(x Axe x λψ 00<≥x x 其中0>λ，求 （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子的平均动量。 5. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状 t i x e ωαπ αψ22102 2--= ) (x a Ax -=ψ
量子场论笔记与习题(Ⅱ)
教材： M.E.Peskin ,D.V .Schroeder ,An Introduction to Quantum Field Theory 参考书：L.H.Ryder,Quantum Field Theory A Brife Review and Introduction Ⅰ、Review 1、经典力学 )x (x 212V m L -= 其中：),(q q L L =；x ∂∂=L p ⇒ L p x H -= 其中：),(q p H H = 正则框架： ] ,[],[H p q H p H q p H q =∂∂-==∂∂= 2、量子力学 ij j i i p q δ=],[ 3、相对论量子力学 过渡理论 ① K-G Eq ： ()022=+∂φm 描述spin-zero ② Dirac Eq ：() 0=-∂ψγμμm i 描述 spin-1/2 ③ Maxwell Eq ：0=∂μνμF 描述 spin-1
4、量子场论基础 Action ：⎰⎰==L x d dtL S 4 其中：),(φφμ∂=L L 222 1 21φφφμμm scalar real -∂∂=-L 0=S δ ⇒ Euler-Lagrange Eq ：()0=∂∂-∂∂∂∂φ φμμ L L Momentum Density Conjugate ：)()(x x φ π ∂∂= L Hamiltonian ：L H -=)()(x x φ π ；正则量子化：)()](),([)3(y x i y x -=δπφ Real Scalar Field ：() [] )exp()exp(2)(p p 3 3ipx a ipx a p d x + +-=⎰πφ ； 其中：())'p p (2],[)3(3 p'p -=+ δπa a ； Hamiltonian ：() )(2p p p 3 3零点能C a a E p d +=⎰+ πH >+0|p a 场粒子性 5、量子电动力学 Int Maxwell Dirac QED L L L L ++= ⇒ () μμμνμνμμψγψψγψA e F F m p QED ---=4 1 L Def ：the Gauge Derivative ： μμμieA D +∂= () μνμνμ μ ψγψF F m D QED 4 1--=L Local Gauge Transformation ： ()ψαψ)(ex p x i → and )(1 x e A A αμμμ∂-→ 5、微扰量子场论 I H H H +=0 ；I H 为弱耦合
周世勋量子力学习题及解答
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ
? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
量子力学第二章 复习题
第二章练习题 1. 雨点开始自由落下时的质量为M ，在下落过程中，单位时间内凝结在它上面 的水汽质量为λ，略去空气阻力，其质量随时间的变化关系 是 。 2.两个相同的象棋子，原在光滑的水平面上平动，当两棋子互相碰撞后（非对心 碰撞）两个棋子都作顺时针旋转。此两棋子组成的系统在碰撞前后 （ ） A 动量守恒 角动量不守恒 B 动量不守恒 角动量守恒 C 动量和角动量都不守恒 D 动量和角动量都守恒 3．如图1所示，细绳跨过滑轮（不计滑轮和绳的重量），一端系一砝码，一猴沿 绳的另一端从静止开始以匀速率υ向上爬，猴与砝码等重，则砝码的速度 4. 炮弹作抛物线运动，在空中爆炸，弹片四溅，不计空气阻力，则爆炸之后的弹 片构成的质点系的质心，运动情况如何?( ) A.仍沿原抛物线运动，直至所有弹片着地 B.质心将作自由落体运动 C.在未有弹片碰上其他物体之前，质心仍沿原抛物线运动 D.质心在爆炸瞬间即改变其运动轨迹 5.下列不属于质点组内力的特点是（ ） A ．内力和为零B. 内力的矩为零 C. 内力的功为零 D. 内力是 相互作用力 6.在如果把太阳和一个行星的运动看做两体运动，则行星和太阳的质心将作 运动行星相对于质心做 运动。 7.有心力是非保守力。（ ） 8.已知太阳自转周期是T ，当其在万有引力作用下塌缩成白矮星，半径为现在的 210-倍，则白矮星的周期为 。 9．均质直杆直立在光滑的水平地面上，由于受到扰动而倒下，在倒下过程中直 杆质心C 的运动轨迹为 。 10．甩干机甩干衣服的原理是： . 11．在质点系运动过程中，全部内力所做的功一般 ；只有当 系统内 时，内力的总功才等于零。 12.已知平面上有三个质点m m m m m m 5,2,321===，它们的位置坐标分别为 图1 图2
量子力学习题
一、 填空题 1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =?，（n=1,2,3,....)，其中p,q 分别表示力学系 统的广义坐标及其对应的广义动量，? 表示在坐标空间中沿闭合轨道积分一周期。 2．德布罗意关系为：h E h p k γωλ === =； 。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：21 2 mV h A υ=-，式中m 式电子的质量，V 是电子脱出金属表面后的速度，A 是电子脱出金属表面所需要做的功即脱出功。 4．波函数的统计解释：() 2 r t ψ ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为 概率密度。这是量子力学的基本原理之一。波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。 5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。 6． ， 为单位矩阵，则算符 的本征值为：1± 。 7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。 8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。即 ()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-??或 。 9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在() r t ψ ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。 10. i ； ?x i L ； 0。 11．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 _0__。 12．坐标和动量的测不准关系是： () () 2 2 2 4 x x p ??≥ 。 13．量子力学中的守恒量A 是指:?A 不显含时间而且与?H 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。 14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
周世勋量子力学教程第2版知识点总结笔记课后答案
第1章绪论 1.1复习笔记 一、光的波粒二象性 1黑体辐射 （1）黑体辐射问题所研究的对象 黑体辐射问题所研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长(或频率)的分布。所有物体都能发射出热辐射，这种辐射是一定波长范围内的电磁波。对于外来的辐射，物体有反射或吸收的作用。如果一个物体能全部吸收投射在它上面的辐射而无反射，称为绝对黑体，简称黑体。 （2）黑体辐射实验 ①普朗克假设 黑体以为能量单位不连续地发射和吸收频率为的辐射，而不是像经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。 ②普朗克所得到的黑体辐射公式 式中，能量单位称为能量子，h为普朗克常量。 ③普朗克理论意义 突破了经典物理学在微观领域内的束缚，打开了认识光的微粒性的途径。 2光电效应
（1）光量子或光子 电磁辐射不仅在被发射和吸收时以能量为的微粒形式出现，而且以这种形式以速度c在空间运动，这种粒子称为光量子或光子。 （2）光电效应实验现象 当光照射到金属上时，有电子从金属中逸出。这种电子称为光电子。只有当光的频率大于一定值时，才有光电子发射出来，光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关。光的强度只影响光电子的数目。（3）光电效应公式 式中，为电子的质量；为电子脱出金属表面后的速度；为金属对电子的束缚能。 3康普顿效应 (1)实验现象 高频率X射线被轻元素中的电子散射后，波长随散射角的增加而增大。 图1-1 （2）康普顿公式
（3）实验意义 从实验上证实了光具有粒子性，为普朗克和爱因斯坦的光量子理论提供了重要的证据。 三、原子结构的玻尔理论 1经典理论在解释原子结构上的困难 （1）经典理论不能建立一个稳定的原子模型，因电子环绕原子核做加速运动，会不断以辐射方式能量，电子运动轨道的曲率半径就会不断减小，电子最后会落到原子核中去。 （2）加速电子所产生的辐射，其频率是连续分布的，这与原子光谱是分立的谱线不符。 2玻尔假设 （1）电子在原子中不可能沿着经典理论所允许的每一个轨道运动，而只能沿着其中一组特殊的轨道运动。称沿这组特殊轨道运动的电子处于稳定状态（简称定态）。 （2）电子保持在该状态时，既不吸收也不发出辐射。 （3）只有当电子由一个定态跃迁到另一个定态时，才产生辐射的吸收或发射现象。电子由能量为Em的定态跃迁到能量为En的定态时所吸收或发射的辐射频率满足： （4）量子化条件：角动量必须是的整数倍。 根据玻尔的这些假设，从经典力学可以推出巴耳末公式：
量子力学习题集及答案
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125 A ）。 2． 索末菲的量子化条件为（ ⎰=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振子的能级=n E （ ωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ω=E ）和（ k p = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ψ=（ r p i e ⋅2 /3) 2(1π ）， () ()=⎰ +∞ ∞ -*'τψψd r r p p （ )(p p -'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ψ（ r p i e ⋅2/3)2(1π ），='∞ ⎰τψψd r r p p )()(* （ )(p p -'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () **2ψ∇ψ-ψ∇ψμ i ）。 8． 设)(r ψ描写粒子的状态，2)(r ψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ψ中F ˆ的平均值为F =（ ⎰⎰ dx dx F ψψψψ**ˆ ）。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ） 。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x -+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振 子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(- -+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
量子力学教程课后习题答案
量子力学教程课后习题答案 量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长与温度T成反比，即 T=b（常量）； 并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。 解根据普朗克的黑体辐射公式，（1）以及，（2），（3）有这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作。但要注意的是，还需要验证对λ的二阶导数在处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具体如下： 如果令x= ，则上述方程为这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的； 另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有把x以及三个物理常量代入到上式便知这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=h，如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（），那么如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有在这里，利用了以及最后，对作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强； 同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 1．3 氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。 解根据，知本题的氦原子的动能为显然远远小于这样，便有这里，利用了最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。 1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
量子力学习题
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的 几率意义。 二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。求其定态能级和波 函数。 三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量 和平均动能。 四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2 )0(1。在不含时微扰H 'ˆ作用下，总哈密顿算符H ˆ在)0(ˆH 表象下为⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛=**21 100E E E H βαβα。求受微扰后的能量至 一级。 五（20分）对电子，求在x S ˆ表象下的x S ˆ、y S ˆ、z S ˆ的矩阵表示。 A —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、何为束缚态？ 2、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为 ψ(,) r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 4、简述定态微扰理论。 5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 二（20分）设粒子在三维势场()a x a z y x U <>⎩⎨ ⎧∞=x 0 ,,中运动，求粒子定态能量和波函数。 三（20分）一维运动的粒子在态()0 00 <>⎩⎨ ⎧=-x x Axe x x 当当λψ中运动，其中0>λ。求 ()()?ˆˆ22=∆∙∆p x 四（20分）求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 五（20分）对自旋为21 =s 的粒子，求在 S y 表象中 S x 、 S y 、 S z 的矩阵表示。 B —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 C （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 3、测不准关系是否与表象有关？ 4、在简并定态微扰论中，如 ()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？
量子力学教程(周世勋)课后习题详细解答
量子力学课后习题详细解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -⋅=⋅=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：
011511 86 ' =⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ -⋅+--⋅= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ⇒ 0115=-⋅+ -- kT hc e kT hc λλ ⇒ kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ⋅⨯=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
量子力学习题集完整
量子力学习题集(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）
量子力学习题集 量子力学习题及答案 第一章黑体辐射，光的波粒二象性 1.什么是黑体？ （1）黑颜色的物体。 （2）完全吸收任何波长的外来辐射而无反射的物体。（3）完全吸收任何波长的外来辐射而无任何辐射的物体。（4）吸收比为1的物体。 （5）在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。 2.康普顿效应中入射光子的能量只有部分被电子吸收，这是否意味着光子在相互作用过程中是可分的？ 3.可以观察到可见光的康普顿效应吗？光电效应对入射光有截止频率的限制，康普顿效应对入射光有没有类似限制？ 4.光电效应中，对入射光有截止频率（红限）的限制是否必需？因为当一个电子同时吸收两个或几个频率低于截止频率的光子或电子可积累多次吸收光子的能量，则在任何频率光入射时都能形成光电流。 5.康普顿效应中作为散射体的电子是否一定是自由电子？光子被束缚电子散射时结果如何？
6.光电效应的爱因斯坦方程，在什么温度下才准确成立？第二章微观粒子的波粒二象性 1.德布罗意关系式是仅适用与基本粒子如电子、中子之类还是同样适用于具有内部结构的复合体系？ 2.粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短？二者之间是否有必然联系？ 3.关于粒子的波动性，某种看法认为：粒子运行轨迹是波动曲线，或其速度呈波动式变化，这种看法对不对？ 4.在电子衍射实验中，单个电子的落点是无规律的，而大量电子的散落则形成了衍射图样，这是否意味着单个粒子呈现粒子性，大量粒子集合呈现波动性？ 5.有人认为德布罗意波是粒子的疏密波，如同声波一样？这种看法对不对？ 6.波动性与粒子性是如何统一于同一客体之中的？物资在运动过程中是如何表现波粒二象性的？ 7.“电子是粒子，又是波”， “电子不是粒子，又是波”， “电子是粒子，不是波”， “电子是波，不是粒子”， 以上哪一种说法是正确的？ 8.以下说法是否正确？
量子力学习题
量子力学试题 1. 1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p 的自由粒子，满足德布洛意关系：_____________________________ 2. 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：_____________________________ 3. 计算1K 时，60C 团簇（由60个C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长_____________________________ 4. 计算对易式)](,ˆ[x f p x 和)]ˆ(,[x p f x ，其中x p ˆ为动量算符的x 分量，)(x f 为坐标的x 函数. 5. 如果算符βα ˆˆ、满足关系式1ˆˆˆˆ=-αββα，求证 (1) βαββα ˆ2ˆˆˆˆ22=- (2) 233ˆ3ˆˆˆˆβαββα =- 6. 设波函数x x sin )(=ψ，求?][][( 22=ψ-dx d x x dx d ψ 7. 求角动量能量算符ϕ ∂∂ -= i L z ˆ的本证值和本征态 8. 试求算符dx d ie F ix -=ˆ的本征函数 9. 证明一维束缚定态方程的能量E 是非简并的 10. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称 11. 一粒子在一维势场
⎪⎩ ⎪ ⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数 12. 设t=0时，粒子的状态为 ]cos [sin )(212kx kx A x +=ψ 求此时粒子的动量期望值和动能期望值 13. 一维运动粒子的状态是 ⎩ ⎨⎧<≥=-0 ,0 0 ,)(x x Axe x x 当当λψ 其中0>λ，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的动量期望值。 14. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒 子的状态由波函数 )()(x a Ax x -=ψ 描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的期望值. 15.设粒子处于范围在],0[a 的一维无限深势阱中状态用函数 a x a x a x ππ2 cos sin 4)(= ψ，求粒子能量的可能测量值及相应的几率 16. 设氢原子处在0 3 1 ),,(a r e a r -=πφθψ的态（0a 为第一玻尔轨道半 径），求 (1) r 的平均值；(2)势能r e 2 - 的平均值 17. 质量为m 的一个粒子在边长为a 的立方盒子中运动，粒子所受
量子力学答案完整版周世勋第三版
找了好久才找到的,希望能给大家带来帮助 量子力学习题与解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b 〔常量〕； 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字. 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -⋅ =πρ, 〔1〕 以与 c v =λ, 〔2〕 λρρd dv v v -=, 〔3〕 有 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度. 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ.但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下： 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 这是一个超越方程.首先,易知此方程有解：x=0,但经过验证,此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 把x 以与三个物理常量代入到上式便知 这便是维恩位移定律.据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体〔如遥远星体〕的发光颜色来判定温度的高低. 1．2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长. 解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知 E=hv, 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子〔2 c E e μ<<动〕,那么 如果我们考察的是相对性的光子,那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 6 1051.0⨯,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有 在这里,利用了 以与 最后,对 作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强；同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现. 1．3 氦原子的动能是kT E 2 3 = 〔k 为玻耳兹曼常数〕,求T=1K 时,氦原子的德布罗意波长. 解 根据 eV K k 3101-=⋅, 知本题的氦原子的动能为 显然远远小于2 c 核μ这样,便有 这里,利用了 第一章绪论
量子力学习题答案
量子力学习题答案 1.2在0k附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解： 由德布罗意波粒二象性的关系知：Eh；ph/ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（Ek(3eV)ec2(0.51106)），故：EP2/(2e) h/ph/2eEhc/692ecE62 1.24100.7110/20.51103m0.71nm1.3氦原子的动能是E=1.5kT，求 T=1K时，氦原子的德布罗意波长。解：对于氦原子而言，当T1K时，其 能量为E于是有 h/ph/2HeE3432kT321.3811023JK11K2.071023J 6.6261026.6901027J231.26nmJkg2.0710 一维谐振子处于(某)Ae2某/22状态中，其中为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。（解：1.由归一化条件可知： e某22d某/） (某)(某)d某A2某Ae2某22d某1 /1取相因子为零，则归一化系数A1/2/1/42. T222某(某)T(某)d某Ae某222/222某/2(P/2)ed某2A2e某 /2(2222d2d某dd某)e某22/2d某222A22e某/2(某e2某22/2)d某 2/2A{某e22某22(某e22某22)d某}22222A24某e1212222某22d某 222A(241222)2某d(e某22)A(24){某e某e某d某}422＝A(24（)）＝ A422＝
若＝，则该态为谐振子的基态，T4 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： H22d2d某12某22 它的基态能量E012选择为参量，则: dE0d12； dHdTd2d某2(2d22d某)2T 0dHd02 0dHd02T12 由F-H定理知：可得： dE0dT14 2 2.2由下列定态波函数计算几率流密度：(1)11reikr(2)21reikr 从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点)传播的 球面波。 解：J1和J2只有r分量 11eerrrin
量子力学专升本练习测验题
《量子力学》练习题一 基本概念及简答 I.简述(Xt)j地物理意义及其实验基础 A 2 •简述迭加原理•若屮二送C$ n，n=fyn, Cn地物理意义是什么？ n 3•三维空间中运动地粒子，其波函数地方位角(「)部分汕尸cos八,求?z地平均值• A A A A 4 设F =F, G=G A A A A a.若[F5G A O,是否F地本征态一定是G地本征态，举例说明・ A A A A b.若[FjG] = ° , F, G是否就一定无共同本征态，举例. A A A A C.若[F G] =Q, c是常数，F, G是否能有共同本征态，证明你地结论・ A A 5、判定x Px及i Px是否厄迷算符• A A A A A A A A A 6、[F, G】二c=。，F = F, G =G,试问F, G是否必然没有共同本征态，举例说明 7、已知，E?3(?为厄米算符，A iE??也为厄米算符地条件是什么？ 8、能否把▽ x A yz看作自旋角动量算符地矩阵表示？ 9、哪个实验证实了电子具有自旋，怎样证实地；为什么不能把电子自旋看成电子地机械转动？ 10、对于全同性粒子说来要满足那些基本方程？全同粒子地交换算符是可以对易地吗？它们能否有共同地本征态？b5E2RGbCAP II、波函数地导数是否一定要连续？举例说明. 12、如果尺邙章,E?= E?+且(?=[) ?,$]=(?*,
R|a) = a|a)J?|b) 二口3，山〉和|小都是束缚态，则 (a|g|a p|g|b) = O. 13、什么是量子力学中地守恒量？其主要特征是什么？什么定态？定态主要特征是什么？ 14.已知[??]=1,求证：??_?： ? = n0」 15・已知，B?，C?为厄米算符，则A iBC?也为厄米算符地条件是什么？ 16 •若一个算符与角动量算符J地两个分量对易，则其必与J地另一个分量对易； ::，当XV 0, 17•设V = 22 当0 m, x,当x 0, 2 且已知以一维线性谐振子地能量本征值En,本征函数nX,及nX地 u /n 宇称为•试写出能量本征值及本征函数. A A A 18.Jx, jy在jmj 上地平均值为零，即(jrrijj；「jmj =(jm胡jmj = O 19.(1)•全同粒子交换算符Rj,Pki是否对易？有无共同本征函数？ ⑵•不考虑粒子间地相互作用•有5个单粒子态，4个全同粒子•下列情况下，体系有多少可能地状态？ A.粒子是全同玻色子； B.粒子是全同费米子； C.不考虑粒子地全同性. 二、解决冋题题 1、质量为m地粒子，在阱宽为a地一维无限深势阱中运动，若t=0时，体系处于 '■(X 尸Cd r：)XC2f%C33^(x ±),式(中)Hn 癌(n)L::门，n =1,2 •••,'已经归一化， 求： (1)上二°时，E・8二方/(m a?)地几率
量子力学习题
第二章 波函数与薛定谔方程（1） 一、填空题 一、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数()r ψ，一样要求波函数知足三个条件即 有限性 ； 持续性 ； 单值性 。依照玻恩对波函数的统计说明，电子呈现的波动性只是反 映客体运动的一种统计规律，称为 概率 波，波函数模的平方()2 r ψ表 示粒子在空间的概率散布，称为 概率密度 。而()2 r d ψτ表示 在空间体积 dt 中概率，要表示粒子显现的绝对概率，波函数必需 归一化 。 r 点处小体积元dτ内粒子显现的概率与波函数模的平方（|Ψ|2） 成正比。 3、依照波函数的统计说明，dx t x 2 ),(ψ的物理意义为 粒子在xdx 范 围内的概率 。 4、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数()r ψ，一样要求波函数知足三个条件即 有限性 ； 单值性 ；持续的。 五、波函数的标准条件为（1）波函数可归一化（2）波函数的模单 值（3）波函数有限。 六、三维空间自由粒子的归一化波函数为 ()r p ψ= ， () ()=⎰ +∞ ∞ -*'τψψd r r p p 见书P18 。
7、动量算符的归一化本征态=)(r p ψ ，=' ∞ ⎰τψψd r r p p )()(* 见书P18 。 八、依照量子力学理论，微观粒子的概率密度w = 见网页收 藏 ，概率流密度j = 。 九、设)(r ψ描述粒子的状态，2)(r ψ是 概率波 ，在) (r ψ中力学量F ˆ的平均值为F = 。 10、波函数ψ和ψc 是描述 状态，δψi e 中的δi e 称为 ，δi e 不阻碍波函数ψ的归一化，因为 。 1一、定态是指 的状态，束缚态是指 的状态。 1二、定态波函数的形式为 。 13、)i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x -+-=ψψψ是定态的条件是 ，这时概率密度和 都与时刻无关。 14、波函数的统计说明 15．描述微观粒子状态的波函数ψ应知足的三个标准条件 。 1六、粒子作自由运动时，能量本征值是 ___ __。 17、已知()r V H +∇-=22 1 2ˆμ 的本征函数为()r ψ，与它相应的本征值为E ，那么()C r V H ++∇-= 2222ˆμ（C 为常数）的本征函数为 ，本征值为 。 1八、当量子体系处于定态时，体系具有确信的 ，也即体系的 算符代表的力学量有确切值。 二、选择题 一、有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是
《量子力学》(专升本)练习题
《量子力学》练习题一 一、基本概念及简答 1. 简述2 |(,)|x t ψ的物理意义及其实验基础。 2．简述迭加原理。若n n n c ψψ =∑，^ n n n f F ψ ψ = ，n c 的物理意义是什么？ 3．三维空间中运动的粒子,其波函数的方位角(ϕ)部分 ()ϕΦ=ϕ3cos ,求z L ˆ的平均值。 4．设 ^ ^ F F +=，^ ^ G G += A.若^ ^[]0,F G =，是否^ F 的本征态一定是^ G 的本征态，举例说明。 B.若^ ^ []0,F G ≠，^ ^ ,G F 是否就一定无共同本征态，举例。 C.若^ ^[],iC F G =，C 是常数，^ ^,G F 是否能有共同本征态，证明你的结论。 5、判定^x p x 及^ x p i 是否厄迷算符。 6、^ ^ ^ [,]0G C F =≠，^ ^ F F += ，^ ^G G += ，试问^F ，^ G 是否必然没有共同本 征态，举例说明 7、已知 ，ˆ ˆ,B C 为厄米算符，ˆˆˆA iBC ≡也为厄米算符的条件是什么？ 8、能否把 ,,x y z σσσ看作自旋角动量算符的矩阵表示？ 9、哪个实验证实了电子具有自旋，怎样证实的；为什么不能把电子自旋看成电子的机械转动？ 10、对于全同性粒子说来要满足那些基本方程？全同粒子的交换算符是可以对易的吗？它们能否有共同的本征态？ 11. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。 12. 如果 ˆˆA A +=， ˆˆB B +=且 ˆˆˆˆ,C i A B C +⎡⎤==⎣⎦ ， ˆˆ,,A a a a B b b b == a b 和都是束缚态，则 ˆˆ0.a C a b C b == 13．什么是量子力学中的守恒量？其主要特征是什么？什么定态？定态主要特征
