初三数学二次函数与代数综合

二次函数与代数综合

中考要求

重难点

1. 理解二次函数图象与x 轴的交点与一元二次方程的关系；

2. 理解二次函数图象与x 轴的位置关系与一元二次方程解的情况的联系；

3. 会利用二次函数图象判断一元二次方程的根的个数；

4. 会根据抛物线与x 轴的位置关系求字母系数；

5. 会用图象法求一元二次方程的近似解；

6. 掌握抛物线与x 轴的交点与一元二次方程两根之间的联系，灵活运用相关的概念解题；

7. 掌握并运用二次函数()()12y a x x x x =--解题；

8. 理解二次函数与不等式之间的关系；

9. 会用函数的观点去看方程和会用数形结合的思想去解决问题； 10. 理解二次函数与一次函数、反比例函数之间的关系。 11. 会将二次函数、一次函数与反比例函数综合应用。

课前预习

你知道“函数”的发展史吗？

你知道“函数”是怎样发展来的吗？让我们一起回顾一下函数概念的发展史吧。 函数（function ）这一名词，是德国的数学家莱布尼茨17世纪首先采用的． 与莱布尼茨几乎同时，瑞士数学家雅克·柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义． 1718年，雅克·柏努意的弟弟约翰·柏努意给出了函数的如下定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数．换句话说定义为：由x 和常量所构成的任一式子都可称之为关于x 的函数．

约翰·柏努意的学生瑞士数学家欧拉，把约翰·柏努意关于函数的定义又推进了一步，使之更加明朗化．

为了适应当时所出现的各种情况，为了适应数学的发展，法国数学家柯西引入了新的函数定义。在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词．

德国数学家黎曼引入了新的定义：“对于x 的每一个值，y 总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x ，y 之间的对应方法如何，均将y 称为x 的函数．”

1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义，这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系以求出每一个x 的对应值．

1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x 与y 之间的对应关系是无关紧要的，所以重新定义，这个抓住了概念的本质属性，曾被比较长期的使用着．

上面我们对函数概念的历史发展作了概述，我们看到，“函数”这个重要概念发展到近代，经过了一段如此漫长的道路，从某种意义上来说，它反映了人类对事物逐渐精确化的认识过程．数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用．

例题精讲

模块一 二次函数与一元二次方程

1. 求二次函数2y ax bx c =++()0a ≠的图象与x 轴的交点坐标，就是令0y =，求20ax bx c ++=中x 的

值的问题。此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程的根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数。

2. 当20ax bx c ++=中的0?>时，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点；

当20ax bx c ++=中的0?=时，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有一个交点； 当20ax bx c ++=中的0?<时，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴没有交点；

3. 抛物线2

y ax bx c =++与x 轴的两个交点之间的距离公式||AB ==()0?>

【例1】 （2020 广东）求二次函数221y x x =--与x 轴的交点坐标？ 【难度】1星

【解析】求二次函数221y x x =--与x 轴的交点坐标，也就是令0y =，解一元二次方程即可。 【答案】对于221y x x =-- 令0y =，则2210x x --=

解得11x =21x =

∴二次函数221y x x =--与x 轴的交点坐标为()1，()

1

【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点的横坐标是方程220x x +-=的两个根，且抛物线经

过点()2,8，求二次函数的解析式

【难度】1星

【解析】通过交点确定函数的解析式，可以采用双根式。 【答案】∵220x x +-= ∴11x =，22x =-

∴交点坐标为()1,0，()20-，

设抛物线的解析式为()()12y a x x =-+ 将点()2,8代入得 ()()82122a =-+ 解得2a =

∴二次函数的解析式为2224y x x =+-

【例2】 已知抛物线()221423y k x kx k =+++-，求：

（1）k 为何值时，抛物线与x 轴相交于两点，仅相交于一点、不想交？ （2）k 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点，分别在原点的两侧？ 【难度】2星

【解析】判断抛物线与x 轴的交点情况，主要判断24b ac -；两交点是否在原点两侧，要由根与系数的关

系来推断。

【答案】（1）()()()2

24442123824b ac k k k k -=-?+-=+ ∴当8240k +>，且()210k +≠

即当3k >-且1k ≠-时，抛物线与x 轴交于两点 当8240k +=，且()210k +≠ 即当3k =-时，抛物线与x 轴交于一点

当8240k +<，且()210k +≠

即当3k <-时，抛物线与x 轴无交点

（2）设抛物线与x 轴的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ∵抛物线与x 轴的两个交点分别在原点的两侧，则 240b ac ->，且120x x < 又24824b ac k -=+，()

1223

21k x x k -=+

∴()8240

23021k k k +>??

-?

解得312

k -<<

∴当3

12

k -<<时，抛物线与x 轴的两个交点分别在原点的两侧

【巩固】（2019 武汉）已知抛物线()221y x k x k =++-与x 轴有两个交点，且这两个交点分别在直线1

x =的两侧，则k 的取值范围是？

【难度】2星

【解析】本题要求两个交点分别在直线1x =的两侧，则两根中一根大于1，另一根小于1。 【答案】∵抛物线与x 轴有两个交点，且在直线1x =的两侧 ∴()()120110x x ?>???--

即()12120

10x x x x ?>???-++

∴解得3k <-

【巩固】m 为何值时，抛物线()2121y m x mx m =-++-与x 轴没有交点？ 【难度】1星

【解析】判断函数图象与x 轴的交点情况要通过判断?来决定。 【答案】()()2

2

24184m m m ?=--=- ∵图象与x 轴没有交点 ∴840m -< 所以当1

2

m <时，函数与x 轴没有交点

【例3】 已知二次函数2241y x x =--的图象与x 轴交与A 、B 两点，与y 轴交于点C ，求ABC ?的面积 【难度】2星

【解析】本题的关键是求线段AB 的长 【答案】依题意知()0,1C -

21AB x x =-=

=

∴11122ABC c S AB y ?=??==

模块二 二次函数与一元二次不等式

1. 二次函数2y ax bx c =++与一元二次不等式20ax bx c ++>及20ax bx c ++<之间的关系如下：（其中

12x x < ）

【例4】 已知二次函数2y x x a =-+(0)a >，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论

中正确的是（ ） A ．1m -的函数值小于0 B ．1m -的函数值大于0 C ．1m -的函数值等于0

D ．1m -的函数值与0的大小关系不确定

【难度】2星

【解析】由题意得：此二次函数与x 轴有两交点，两交点横坐标为1x ，212()x x x <，

两交点的距离为d = ∵0a >，∴1d <，

∵当x 取m 时，函数值小于0， ∴12x m x <<，

∴1211m x x x -<-<，∴11m x -< ∴当x 取1m -时，函数值大于0

【答案】B

【巩固】小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式245x x -+的值的情况．他们作了如下分工：小明

负责找值为1时x 的值，小亮负责找值为0时x 的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ） A ．小明认为只有当2x =时，245x x -+的值为1. B ．小亮认为找不到实数x ，使245x x -+的值为0.

C ．小梅发现245x x -+的值随x 的变化而变化，因此认为没有最小值

D ．小花发现当x 取大于2的实数时，245x x -+的值随x 的增大而增大，因此认为没有最大值.

【难度】2星

【解析】当2451x x -+=时，解得122x x ==，故A 正确

当2450x x -+=时，0?<，故B 正确

∵2245(2)1x x x -+=-+，当2x =时，有最小值1，但没有最大值.故C 错 D 正确.

【答案】D

【例5】 （2020 北京中考）已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数.

（1）求k 的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()1

2

y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.

【难度】3星

【解析】二次函数与方程、不等式综合.

【答案】（1）由题意得，168(1)0k ?=--≥．

∴3k ≤． ∵k 为正整数， ∴123k =，，．

（2）当1k =时，方程22410x k k ++-=有一根为零； 当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根；

当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根． 综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．

当3k =时，二次函数为2242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．

（3）设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，则(30)A -，，(10)B ，．依题意翻折后的图象如图所示． 当直线12y x b =+经过A 点时，可得3

2b =； 当直线12y x b =

+经过B 点时，可得12

b =-． 由图象可知，符合题意的(3)b b <的取值范围为13

22

b -<<

【例6】 阅读材料，解答问题。

例：用图象法解一元二次不等式：2230x x --> 设223y x x =--，则y 是x 的二次函数 ∵10a => ∴抛物线开口向上

又∵当0y =时，2230x x --= 解得11x =-，23x =

∴2230x x -->的解集为1x <-或3x >

（1）观察图象，直接写出一元二次不等式2230x x --<的解集是 （2）仿照上例，解一元二次不等式210x ->。

【难度】2星

【解析】二次函数与方程、不等式综合. 【答案】（1）13x -<<

（2）设21y x =-，则y 是x 的二次函数 ∵10a => ∴抛物线开口向上 又∵当0y =时，210x -=

解得11x =-，21x =

∴210x ->的解集为1x <-或1x >

模块三 二次函数与一次函数、反比例函数综合

1. 一次函数()0y kx n k =+≠的图象l 与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象G 的交点，由方程组

2

y kx n

y ax bx c =+??=++?

的解的数目来确定： （1）方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点； （2）方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点； （3）方程组无解时?l 与G 没有交点.

【例7】 （2020 芜湖）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a

y x

=

与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（ ）

A B C D 【难度】2星

【解析】先根据二次函数的图象开口向下可知0a <，再由函数图象经过原点可知0c =，利用排除法即可

得出正确答案

【答案】D

【巩固】（2019日照）已知M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在反比例函数1

2y x

=

的图象上，点N 在一次函数3y x =+的图象上，设点M 的坐标为(),a b ，则二次函数()2y abx a b x =++（ ）

A ．有最小值，且最小值是

92

B ．有最大值，且最大值是9

2-

C ．有最大值，且最大值是

92

D ．有最小值，且最小值是9

2

-

【难度】1星

【解析】先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特点求出其最值即可 【答案】D

【例8】 （2020 南充）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点()3,3A ．

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）把直线OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点()6,B m ，求m 的值和这个一次函数的解析式；

（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；

（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形OECD 的面积1S 与四边形OABD 的面积S 满足：12

3

S S =

？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

【难度】4星

【解析】此题将初中所学三个主要函数：一次函数（含正比例函数）、反比例函数、二次函数结合起来，

考查了用待定系数法求函数解析式、函数与坐标的关系及不规则图形面积的求法，综合性较强，难度适中

【答案】：（1）设正比例函数的解析式为1y k x =()10k ≠

因为1y k x =的图象过点()3,3A 所以133k =，解得11k =．

这个正比例函数的解析式为y x =． 设反比例函数的解析式为2

k y x

=（()20k ≠ 因为2

k y x =的图象过点()3,3A ， 所以2

33

k =

解得29k =

这个反比例函数的解析式为9y x

=

（2）因为点()6,B m 在9

y x

=的图象上， 所以32

m =

则点36,2B ?? ???

设一次函数解析式为3y k x b =+（30k ≠） 因为3y k x b =+的图象是由y x =平移得到的， 所以31k =，即y x b =+．

又因为y x b =+的图象过点36,2B ??

???

所以3

6

2

b =+

解得

9

2 b

=-

∴一次函数的解析式为

9

2

y x

=-

（3）因为

9

2

y x

=-的图象交y轴于点D，

所以D的坐标为

9

0,

2

??

-

?

??

设二次函数的解析式为2

y ax bx c

=++（0

a≠）．

因为2

y ax bx c

=++的图象过点()

3,3

A，

3

6,

2

B

??

?

??

，

9

0,

2

D

??

-

?

??所以

930

3

366

2

9

2

a b c

a b c

c

?

?++=

?

?

++=

?

?

?

=-

??

，

解得

1

2

4

9

2

a

b

c

?

=-

?

?

=

?

?

?=-

?

，

这个二次函数的解析式为2

19

4

22

y x x

=-+-

（4）∵

9

2

y x

=-交x轴于点C，

∴点C的坐标是

9

,0

2

??

?

??

如图所示，15113181666333222224

S =

?-??-??-??= 假设存在点()00,E x y ，使1227

32S S ==．

∵四边形CDOE 的顶点E 只能在x 轴上方， ∴00y >，

∴1081984

OCD OCE S S S y ??=+=+S ∴032

y =

∵()00,E x y 在二次函数的图象上，

∴ 2001934222x x -+-=．

解得02x =或06x =

当06x =时，点36,2E ??

???与点B 重合，这时CDOE 不是四边形，故06x =舍去，

∴点E 的坐标为32,2??

???

课堂检测

1. 二次函2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y bx a =+与反比例函数 a b c

y x

++=

在同一坐标系内的图象大致为（ ）

A B C D 【难度】2星

【解析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系 【答案】D

2. 已知方程2210x px ++=的两个实根一个小于1，一个大于1，求p 的取值范围． 【难度】2星

【解析】二次函数与方程、不等式综合

【答案】设()221f x x px =++，因为方程()0f x =的两个实数根一个小于1，一个大于1，所以有

()244011210p f p ?->?

?

=++

即21220p p ?>?+

，解得11p p >??<-?

所以1p <-

3. 已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，3

2

-）。

（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象；

（2）若反比例函数22

(0)y x x

=>图象与二次函数21(0)y ax bx c a =++≠的图象在第一象限内交于

点()00A x y ，，0x 落在两个相邻的正整数之间。请你观察图象，写出这两个相邻的正整数； （3）若反比例函数2(0,0)k

y k x x

=>>的图象与二次函数21(0)y ax bx c a =++≠的图象在第一象限

内的交点为A ，点A 的横坐标为0x 满足023x <<，试求实数k 的取值范围。

【难度】3星

【解析】二次函数与方程、不等式综合

【答案】（1）设抛物线解析式为()()13y a x x =-+将30,2?

?- ??

?（代入，解得12a =

∴抛物线解析式为213

22

y x x =

+- （2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图象（略）

由图象可知，交点的横坐标0x 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。 （3）由函数图象或函数性质可知： 当23x <<时，对2113

22

y x x =+-,1y 随着x 增大而增大， 对()20k

y k x

=

>，2y 随着x 的增大而减小。 因为00A x y （，）为二次函数图象与反比例函数图象的交点，

所心当02x =时，由反比例函数图象在二次函数上方得21y y >， 即

213

22222

k >?+-，解得5k > 同理，当03x =时，由二次函数数图象在反比例上方得12y y >，

即21333223

k

?+->，解得18k <

所以k 的取值范围为518k <<

4. 若二次方程()22100ax x a -+=>在区间()13，

内仅有较大实根，另一根不等于1，求a 的取值范围． 【难度】3星

【解析】二次函数与方程、不等式综合 【答案】原方程可化为()221

0f x x a a

=-

+=，因为方程()0f x =较大实根在()13，

内，且另一根小于1，所以有

()()2111061390f a a

f a a ?=-+??即1

10590a a ?-??解得159a a ??

所以519a <<，故当5

19

a <<时，方程在()13，

内仅有较大实数根，且另一根不等于1．

5. 如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过三点()10A -，、()30B ，、()03C ，

，它的顶点为M ，又正比例函数y kx =的图象与二次函数相交于两点D 、E ，且P 是线段DE 的中点．

（1）求该二次函数的解析式，并求出函数顶点M 的坐标；

（2） 已知点()23E ，

，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x 的取值范围；

（3）当02k <<时，求四边形PCMB 的面积S 的最小值．

【难度】3星

【解析】二次函数与方程、不等式综合

【答案】⑴ ∵二次函数2y ax bx c =++的图象经过三点()10A -，、()30B ，、()03C ，

， ∴09303a b c a b c c -+=??++=??=?，解得123a b c =-??

=??=?

， ∴二次函数的解析式为223y x x =-++ 又()2

22314y x x x =-++=--+， ∴顶点M 的坐标为()14，

⑵ ∵()23E ，

在正比例函数y kx =的图象上

∴23k =，即32

k =

， ∴正比例函数解析式为3

2

y x =

， 与二次函数解析式联立得232

23

y x

y x x ?

=???=-++?， 得12322x x ==-，，代入129

34

y y ==-，，

∴点D 的坐标为3

92

4??-- ???，，

则当二次函数值大于正比例函数时，根据函数图象可知：自变量的取值范围为3

22

x -<<．

⑶ 联立正比例函数与二次函数解析式2

23

y kx

y x x =??=-++?， 消y 得：()22300x k x +--=?>，，

∵D E ，时正比例函数与二次函数的交点， ∴()212121222x x k y y k x x k k +=-+=+=-，，

∵P 点是线段DE 的中点，则P 点坐标为121222x x y y ++??

???，，即2122k k k ??-- ???，． 连结MO ，OBMC COP BOP S S S S ??=--

而111115

313422222

OBMC MOC MOB M M S S S CO x BO y ??=+=?+?=??+??=

2211331133

3132222422224COP P BOP P k k S CO x k S BO y k k k ??????=?=?-=-=?=?-=- ? ?????，，

∴2

2215333333

319362242444

4216

S k k k k k k ??????=----=-+=

-+ ? ? ??????? ∵02k <<，

∴当且仅当12k =

时，S 取得最小值93

16

课后作业

1. （2020 东营）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y bx ac =-与反比例函数

a b c

y x

-+=

在同一坐标系内的图象大致为（

）

A B C D 【难度】2星

【解析】二次函数与方程、不等式综合． 【答案】B

2. 若x 的二次方程242x mx n -+，因为方程()0f x =的解都位于01x <<的范围中，求正整数m n ，的值 【难度】2星

【解析】二次函数与方程、不等式综合．

【答案】设()242f x x mx n =-+，因为方程()0f x =的两个解都位于01x <<中，所以m ，n 满足条件

()()24160

014001420

m n m f n f m n ?-?

?<

?

?=>?=-+>??≥①②③④

由②得04m <<，符合条件的m 值为123，，． 由③得0n >．

把m 各值代入④，得2n -≥，0n >，2n >．

把m 各值代入①，得14n ≥，1n ≤，94n ≤．

符合条件的m ，n 的值是2m =，1n =．

3. 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一个根

大于4而小于6？

【难度】2星

【解析】二次函数与方程、不等式综合．本题中，通过四个不等式即可将抛物线的“位置”确定，从而解不

等式组求出a 的范围．一般地，在讨论一元二次方程根的情形时，要充分利用数形结合的思想，即先根据条件“定”出图象位置，由所给条件画出满足条件的图象，再由图象列出不等式(组)，最后解不等式(组)求解

【答案】设()()225f x x a x a =--+-，由题设及其示意图知抛物线与x 轴的两交点分别落在(0,2)和()46，

内的充要条件是 ()()()()0502504313065290f

a f a f a f a ?=->?=+?

即5

5

133

295a a a a

?

?<-??>-??

解得2955a -<<-．

∴满足条件的a 的取值范围是．29

55

a -

<<-

4. 如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过三点A ()1,0-，B ()3,0，C ()0,3，它的顶点为M ，又

正比例函数y kx =的图象于二次函数相交于两点D 、E ，且P 是线段DE 的中点。

（1）该二次函数的解析式，并求函数顶点M 的坐标；

（2）知点E ()2,3，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x 的取值范围；

（3）02k <<时，求四边形PCMB 的面积s 的最小值。

参考公式：已知两点()11D x y ，，()22E x y ，，则线段DE 的中点坐标为121222x x y y ++??

???

，

【难度】2星

【解析】二次函数与方程、不等式综合． 【答案】由2y ax bx c =++，

则得09303a b c a b c c -+=??++=??=?，解得123a b c =-??

=??=?

故函数解析式是：223y x x =-++。由()2

22314y x x x =-++=--+知，点M （1，4）。 （2）由点E ()2,3在正比例函数y kx =的图象上得，332,2k k ==得，

故32y x =，由23223

y x

y x x ?

=???=-++?

解得D 点坐标为（39

,24

--），

由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量x 的取值范围是3

22

x -。

（3）2

23y kx y x x =??=-++?

解得，点D 、E 坐标为D

k ）

、 E

k ）

， 则点P 坐标为P （

22,22

k k

k --）由02k <<，知点P 在第一象限。 由点B ()3,0，C ()0,3，M （1，4），得 ()134115242

22

COBM S ?+=

+??=四边形， 则151********

22222

OPC

OPB

PCMB k k S S S

k --=

--=

-??-??四边形 整理，配方得：2

3193

4216

PCMB

S k ??=-+ ???四边形。

故当12k

时，四边形PCMB 的面积值最小，最小值是9316

。