梯形中的中点问题专题培优
梯形中的中点问题专题培优
简介
本文将探讨关于梯形中的中点问题，并提供专题培优的方法和
技巧。
中点问题的定义
梯形中的中点问题是指在一个梯形中，如何找到两个非对角线
线段的交点，也就是梯形的中点。这个问题在几何学中有很多应用，特别是在计算梯形的面积和解决几何问题时。
解决方法
方法一：使用梯形的性质
根据梯形的性质，我们知道梯形的对角线中点连接成一条线段
并且相互垂直。因此，我们可以使用这一性质来找到梯形的中点。
具体步骤如下：
1. 找出梯形的对角线，并计算它们的中点坐标；
2. 连接两个中点，得到一条垂直于对角线的线段；
3. 找到这条垂直线段与另外两条非对角线的交点，即为梯形的
中点。
方法二：使用坐标几何
另一种解决梯形中点问题的方法是使用坐标几何。
具体步骤如下：
1. 假设梯形的四个顶点的坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，
C(x3, y3)，D(x4, y4)；
2. 计算梯形AC和BD的中点坐标：AC的中点为E((x1+x3)/2, (y1+y3)/2)，BD的中点为F((x2+x4)/2, (y2+y4)/2)；
3. 连接中点E和F，得到一条线段，它同时也是梯形的对角线；
4. 找到这条线段与另外两条非对角线的交点，即为梯形的中点。
专题培优
为了更好地解决梯形中点问题，以下是一些专题培优的建议：
1. 掌握和理解梯形的性质，特别是梯形的对角线和垂直性质；
2. 熟练掌握坐标几何的计算方法，包括中点和斜率的计算；
3. 多进行练和实践，通过解决各种梯形中点问题来提高自己的
能力；
4. 参考相关教材和网上资源，研究其他解决梯形中点问题的方
法和技巧。
结论
本文介绍了关于梯形中的中点问题的定义，以及两种解决方法：使用梯形的性质和使用坐标几何。此外，还提供了一些专题培优的
建议，以帮助读者更好地掌握和解决梯形中点问题。在实践中，读
者可以根据具体情况选择合适的方法和技巧，提高自己解决几何问
题的能力。
初中数学几何的动点问题专题练习-附答案版
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与 CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度 为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度 从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发， 同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度， 点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S 与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点 O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结P A，若P A=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是 正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
中考一轮复习专题31 梯形(含答案)
9.梯形 知识考点： 掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和性质，并能熟练解决实际问题。 精典例题： 【例1】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，中位线EF ＝7，对角线AC ⊥BD ，∠BDC ＝300，求梯形的高AH 。 分析：根据对角线互相垂直，将对角线平移后可构造直角三角形求解。 略解：过A 作AM ∥BD 交CD 的延长线于M 。 ∵AB ∥DC ，∴DM ＝AB ，∠AMC ＝∠BDC ＝300 又∵中位线EF ＝7 ∴CM ＝CD ＋DM ＝CD ＋AB ＝2EF ＝14 又∵AC ⊥BD ， ∴AC ⊥AM ，AC ＝ 2 1 CM ＝7 ∵AH ⊥CD ，∴∠ACD ＝600 ∴AH ＝0 60sin ?AC ＝ 32 7 评注：平移梯形对角线、平移梯形的腰是解梯形问题时常用的辅助线。 例1图 M H D C B A F E 例2图 G H D C B A F E 【例2】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∠B ＋∠C ＝900，AD ＝7，BC ＝15，求EF 的长。 分析：将AB 、CD 平移至E 点构成直角三角形即可。 答案：EF ＝4 探索与创新： 【问题】已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在AB 上，点F 在DC 上，且AD ＝a ，BC ＝b 。 （1）如果点E 、F 分别为AB 、DC 的中点，求证：EF ∥BC 且EF ＝2 b a +； （2）如图2，如果 n m FC DF EB AE ==，判断EF 和BC 是否平行？请证明你的结论，并用a 、b 、m 、n 的代数式表示EF 。
专题——中点的妙用(初三数学)
方法专题:中点的妙用 联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。 看到中点该想到什么？ 1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质； 2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”； 3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”； 4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）； 5、有中点时常构造垂直平分线； 6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）； 7、倍长中线 8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理” 中点辅助线模型 一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质 1、如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ） A ．65 B ．95 C ．125 D ．165 二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半” 2、如图，在Ｒｔ⊿ABC 中，∠A=90°,AC=AB,M 、N 分别在AC 、AB 上。且AN=BM.O 为斜边BC 的中点.试判断△OMN 的形状，并说明理由. 3、如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止，同时点F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（ ） A. 2 B. 4－π C.π D.1π-
图形的中点问题
2012中考数学专题复习5 图形的中点问题 一.知识要点： 线段的中点是几何图形中的一个特殊点，与中点有关的问题很多，添加适当的辅助线、恰当地利用中点是处理中点问题的关键。 涉及中点问题的几何问题，一般常用下列定理或方法： (1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; (2)三角形中位线定理； (3)等腰三角形三线合一的性质； (4)倍长中线，构造全等三角形（或平行四边形）； (5)平行四边形的性质与判定. 二.例题精选 1、若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三形底边的中点，则常过中点作中线，应用“直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质或“等腰三角形三线合一”的性质。 例1. 如图，已知△ABC中，∠B =90°，AB=BC,D在AB上,E在BC上，BD=CE , M是AC的中点，求证：△DEM是等腰直角三角形. 提示：连结BM,证明ΔBDM≌ΔCEM,得DM=ME，∠DMB=∠EMC, 则∠DME=,得ΔMDM为等腰直角三角形 2、三角形中遇到两边的中点，常应用“三角形的中位线定理”,若有一点是三角形一边的中 点或梯形一腰的中点，则常过中点作中位线。 例2.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别交MN的延长线于E、F． 求证：∠DEN＝∠F． 提示：连结AC，作AC中点G，连结MG，NG。则MG=NG，MG∥BC，NG∥AD。∴∠MGN＝∠F ,∠GNM=∠DEN,∠MGN=∠GNM. ∴∠DEN＝∠F．
3、若有三角形的中线或过中点的线段，则通常加倍延长中线或过中点的线段，以构造两个 三角形全等。 例3. 已知：如图2，AD为△ABC的中线，BE交AC于E，交 AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF 提示：延长AD至G，使DG=AD，连结BG，则ΔBDG≌ΔCDA，∴AC=BG=BF 4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想或构造“X字型”全等三角形. 例4. 如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2 和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为． 提示：延长AD、FM交于点H，则AH=EF=3，DH=1=DF， ∴FH= MF=
初中数学梯形解答题专项训练含答案
初中数学梯形解答题专项训练含答案 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 一、解答题（共16题） 1、把一个等腰Rt△ABC；沿斜边上的离线CD(裁剪线)剪一刀，从这一个三角形中裁下一部分，与剩下部分能拼成一个平行四边形见示意图①．以下探究过程中有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明． 探究一： (1)想一想――判断四边形是平行四边形的依据． (2)做一做――按上述的裁剪方法，请你拼一个与图①位置或形状不同的平行四边形，并在图 ②中画出示意图． 探究二： 在等腰Rt△ABC中．请你找出其它的裁剪线，把分割成的两部分拼出不同类型的特殊四边形．(1)试一试――你能拼得所有不同类型的特殊四边形有_________； 他们的裁剪线分别是_______； (2)画一画――请在图③中画出一个你拼得的特殊四边形示意图． 2、如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM 的中点。
（1）求证：； （2）四边形MENF是什么图形？请证明你的结论； （3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由。 3、如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线，四个顶点A、B、C、D到直线的距离分别为a、b、c、d． （1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论． (2)现将向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结 论． 4、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20㎝，AB＝12㎝，∠A＝120°。 （1）求梯形ABCD其他边的长度；
中点培优
A B C 第1题 D E · · O G · F x y 中点培优 1．如图，已知在直角梯形AOBC 中，AC ∥OB ，CB ⊥OB ，OB ＝18，BC ＝12，AC ＝9，对 角线OC 、AB 交于点D ，点E 、F 、G 分别是CD 、BD 、BC 的中点．以O 为原点，直线O 为x 轴建立平面直角坐标系，则G 、E 、D 、F 四个点中与点A 在同一反比例函数图象 上的是（）A ．点G B ．点E C ．点D D ．点F 2．如图1，Rt △ABC ≌Rt △EDF ，∠ACB =∠F =90°，∠A =∠E =30°． △EDF 绕着边AB 的中点D 旋转， DE ，DF 分别交线段．．AC 于点M ，K ． （1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF =0° 或60°时， AM +CK _______MK (填“>”，“<”或“=”)． ②如图4，当∠CDF =30° 时，AM +CK ___MK (只填“>”或“<”)． （2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM +CK _______MK ，证明你所得到的结论． （3）如果222AM CK MK =+，请直接写出∠CDF 的度数和AM MK 的值． 3．如图, 在ABC ?中, D 是BC 边上的一点, E 是AD 的中点, 过A 点作BC 的平行线交 CE 的延长线于点F , 且BD AF =, 连接BF .(1) 求证: D 是BC 的中点;(2) 如果AC AB =, 试判断四边形AFBD 的形状, 并证明你的结论. 图1 图2 图3 （第2题） (M ) E K D C A B F M E K D C A B F M E K D C A B F 图 4 L M E D C A B (F ,K )
梯形中的中点问题专题培优
梯形中的中点问题专题培优 简介 本文将探讨关于梯形中的中点问题，并提供专题培优的方法和 技巧。 中点问题的定义 梯形中的中点问题是指在一个梯形中，如何找到两个非对角线 线段的交点，也就是梯形的中点。这个问题在几何学中有很多应用，特别是在计算梯形的面积和解决几何问题时。 解决方法 方法一：使用梯形的性质 根据梯形的性质，我们知道梯形的对角线中点连接成一条线段 并且相互垂直。因此，我们可以使用这一性质来找到梯形的中点。 具体步骤如下： 1. 找出梯形的对角线，并计算它们的中点坐标； 2. 连接两个中点，得到一条垂直于对角线的线段；
3. 找到这条垂直线段与另外两条非对角线的交点，即为梯形的 中点。 方法二：使用坐标几何 另一种解决梯形中点问题的方法是使用坐标几何。 具体步骤如下： 1. 假设梯形的四个顶点的坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)， C(x3, y3)，D(x4, y4)； 2. 计算梯形AC和BD的中点坐标：AC的中点为E((x1+x3)/2, (y1+y3)/2)，BD的中点为F((x2+x4)/2, (y2+y4)/2)； 3. 连接中点E和F，得到一条线段，它同时也是梯形的对角线； 4. 找到这条线段与另外两条非对角线的交点，即为梯形的中点。 专题培优 为了更好地解决梯形中点问题，以下是一些专题培优的建议： 1. 掌握和理解梯形的性质，特别是梯形的对角线和垂直性质； 2. 熟练掌握坐标几何的计算方法，包括中点和斜率的计算； 3. 多进行练和实践，通过解决各种梯形中点问题来提高自己的 能力；
4. 参考相关教材和网上资源，研究其他解决梯形中点问题的方 法和技巧。 结论 本文介绍了关于梯形中的中点问题的定义，以及两种解决方法：使用梯形的性质和使用坐标几何。此外，还提供了一些专题培优的 建议，以帮助读者更好地掌握和解决梯形中点问题。在实践中，读 者可以根据具体情况选择合适的方法和技巧，提高自己解决几何问 题的能力。
2013—2014学年度初三数学培优班练习卷(因动点产生的梯形问题)
2013—2014学年度初三数学培优班练习卷 （因动点产生的梯形问题） 班级 座号 姓名 一、选择题. 1、如图1所示，梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD ，∠BAD 的平分线交BD 于点E ，且AE∥CD， 则AD 的长为（ ） 2、如图2所示，在直角梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠B=90°．动点P 从点B 出发，沿梯形的边由BCDA 运动， 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，把y 看作x 的函数，函数图象如图2所示， △ABC 的面积为（ ） A ．10 B ．16 C ．18 D ．32 3、如图3所示，直角梯形AOCD 的边OC 在x 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于x 轴，D （5，4），AD=2．若动点E 、F 同时从点O 出发，E 点沿折线OA→AD→DC 运动，到达C 点时停止；F 点沿OC 运动，到达C 点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E 运动秒x 时，△EOF 的面积为y （平方单位），则y 关于x 的函数图象大致为【 】 A ． B ． C ． D ． 4、如图4所示，动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发，沿B ?C ?D ?A 的顺序运动，得到以点P 移动的路程x 为自变量，△ABP 面积y 为函数的图象，如图2，则梯形ABCD 的面积是（ ） A ．104 B ．120 C ．80 D ．112 5、如图5所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是BCD ∠的平分线，且,4,6,AB AC AB AD ⊥== 则tan B =（ ） A 、、、 114 D
第十九讲 梯形中考专题
梯形中考专题 课前热身 1、如图11－10，正方形ABCD中，M为AB边上一点，E为AB延长线上一点，DM⊥MN于M，MN交∠CBE的平分线于N．求证：DM＝MN． 图11－10 例1已知：如图12－8，在梯形ABCD中，∠DCB＝90°，AB∥DC，AB＝25，BC＝24，将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，试求AD的长． 图12－8 例2如图12－10，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝4，对角线AC＝5，BD＝3．试求此梯形的面积． 图12－10 例3 如图12－11，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝DC，AD＝2，BC＝4，延长BC到E，使CE＝AD． (1)求证：△BAD≌△DCE； (2)如果AC⊥BD，求等腰梯形ABCD的高DF的长． 图12－11
例4 如图12－12，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 平分∠BCD ．DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，∠B ＝2∠E ． (1) 求证：AB ＝DC ； 例5 (2007威海市)如图12－13，四边形ABCD 为一梯形纸片，AB ∥CD ，AD ＝BC ，翻折纸片ABCD ，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，已知CE ⊥AB ． (1)求证：EF ∥BD ； (2)若AB ＝7，CD ＝3，求线段EF 的长． 图12－13 一、选择题 1．(09年鄂州)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ） A 、17 17 2 B 、 17174 C 、 17 178 D 、3 2. （09年淄博）如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（ ） A ．9 B ．10.5 C ．12 D ．15 3. 梯形ABCD 中，AD BC ∥，1AD =，4BC =，70C ∠=°，40B ∠=°，则AB 的长为（ ） A B C D E F P （第2题）
上海市八年级第二学期数学专题07 梯形(考点串讲)(解析版)
上海市八年级第二学期数学 专题07 梯形 【考点剖析】 1.梯形(1)(2)(3)?? ??? 平行不平行直角等定义：一组对边而另一组对边的四边形；特殊的梯形：梯形、梯形；梯形的面腰它的两底和与高乘积的一半积公式：梯形的面积等于； 2.等腰梯形 1212??????? ?? ?? ?? 定理：等腰梯形在的两个内角；性质定理：等腰梯形的两条对角线； 定理：在两个内角的；判定同一底上相等相等同一底边上相等梯形相等定理：对角线的；梯形 3.三角形、梯形的中位线 ??????? ?? ???? 定义：联结三角形的；三角形的中位线定理：三角形的中位线且等于； 定义：联结梯形的；梯形的中位线定理：梯形的中位线，且两边中点线段平行于第三边第三边的一半两腰的中点等线段平行于两底两底和于. 的一半 4.梯形常用辅助线的添法 梯形添辅助线目的：将梯形问题转化为三角形和平行四边形的问题来解决. E F E O F A B D C A B D C A B D C A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E G F F E D C B A 【典例分析】 例题1 （静安2018期末17）如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，如果梯形ABCD 的中位线长是5，那么这个梯形的高AH ＝ ．
【答案】5； 【解答】解：如图，过点D作DF∥AC交BC的延长线于F，则四边形ACFD是平行四边形，∴AD＝CF， ∴AD+BC＝BF，∵AC＝BD，AC⊥BD，∴△BDF是等腰直角三角形，∴AH＝1 2 BF＝5，故答案为：5． 例题2 （长宁2019期末14）如图，菱形ABCD由6个腰长为2，且全等的等腰梯形镶嵌而成，则菱形的对角线AC的长为． 【答案】63； 【解析】解：根据图形可知∠ADC＝2∠A，又∠ADC+∠A＝180°，∴∠A＝60°，∵AB＝AD，∴梯形的上底边长＝腰长＝2，∴梯形的下底边长＝4（可以利用过上底顶点作腰的平行线得出），∴AB＝2+4＝6， ∴AC＝2AB sin60°＝2×6×3 ＝63．故答案为：63． 例题3 （长宁2019期末22）已知：如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM的中点，AM＝AC，AE∥BC．求证：四边形EBCA是等腰梯形． 【答案与解析】证明：∵AE∥BC，∴∠AED＝∠MCD，∵D是线段AM的中点，∴AD＝MD，在△ADE和
第8课时：梯形的性质与判定培优
梯形的性质与判定 教学目标：①梯形的性质与判定；②梯形的面积；③梯形中常见的辅助线的做法；④梯形与全等变换；⑤梯形中线段与角度的计算；⑥梯形与操作探究； 教学过程： 一、梯形中常见的辅助线的做法： 例：如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，AB=DC ，AE ⊥BC ，求证：BE= 2 1 （BC-AD ） 练习： 1、 如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC,AD=6，AB=7，BC=8，求CD 的取值范围。 A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E F F A B D C E A B D C A B D C E F G F G F A B D C E A B D C E A B D C E A B D C E A B C D E A B C D
2、 如图，在直角梯形ABCD 中，∠B=∠C=90°，M 为BC 上的一点，MA=MD, 且∠AMB=75°, ∠DMC=45°，求证：AB=BC 3、 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是CD 、AB 的中点，∠A+∠B=90°求证： MN= 2 1 (AB-CD) 4、 如图，梯形ABCD 中，AM 、BM 分别平分∠DAB 、∠CBA ，交点M 在CD 上， 求证：M 为CD 中点。（注意变式习题） 二、梯形与面积： 例：如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC,E 是CD 的中点，EF ⊥AB 于F 点，AB=6，EF=5，求梯形ABCD 的面积。 解析：梯形的面积问题有以下几种解决途径： ①直接法：S 梯形=21 h(a+b)；②S 梯形=中位线 高； ③若梯形对角线垂直，S 梯形= 2 1 对角线乘积； ④过腰中点，转化为同面积的三角形； ⑤过腰中点，转化为同面积的平行四边形； 此题可以转化为等面积的三角形，平行四边形，直角梯形 练习： 1、 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=DC=3，AB=4，BC=8，求梯形ABCD 的面积。 A B C D E F A B C D D A C B M A B C D M N A B C D M
中考数学试题梯形专题
中考数学试题专题 梯形真题试题汇编 31．（2010鄂尔多斯）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交于点F。 （1）求证：BF=AD+CF。 （2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长。 【答案】（1）证法一： 如图（1），延长AD交FE的延长线于N ∵∠NDE=∠FCE=90° ∠DEN=∠FEC DE=EC ∴△NDE≌△FCE ∴DN=CF ∵AB∥FN，AN∥BF ∴四边形ABFN是平行四边形 ∴BF=AD+DN=AD+FC 解：∵AB∥FN ∴∠1=∠BEF ∵∠1=∠2 ∴∠2=∠BEF ∴EF=BE ∴EF=AD+CF= 4 2 7 1 2 = + = +BC AD （1）证法2：如图（2） 过D点作DN∥AB交BC于N
∵ADBN ，AB ∥DN ∴AD=BN ∵EF ∥AB ，∴DN ∥EF ∴△CEF ∽△CDN ∴ CN CF DC CE = ∵,21=DC CE ∴21=CN CF 即NF=CF ∴BF=BN+NF=AD+FC=4 32．（2010年山西）在直角梯形OABC 中，CB//OA ，90=∠COA °，CB=3，OA=6， 。BA 53=分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴，y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系。 （1）求点B 的坐标； （2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD=5，OE=2EB ，直线DE 交x 轴于点F ，求直线DE 的解析式； （3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面 内是否存在另一个点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）作x BH ⊥轴于点H ，则四边形OHBC 为矩形， 3==∴CB OH …………（1分） .336=-=-=∴OH OA AH 在ABH Rt ∆中，63)53(222 2=-=-=AH BA BH …………（2分） ∴点B 的坐标为（3，6）…………（3分） （2）作x EG ⊥轴于点G ，则BH EG // ∴OBH OEG ∆∆∽…………（4分） ∴BH EG OH OG OB OE ==，又EB OE 2= ∴32=OB OE ，633 2EG OG ==∴ ∴4.2==EG OG ∴点E 的坐标为（2，4）……（5分） 又 点D 的坐标为（0，5） 设直线DE 的解析式为b kx y +=
初中数学几何的动点问题专题练习-附答案版
动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 1.解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC = ， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ··························· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t = =秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． ······················· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得 15 32104x x =+⨯， 解得80 3 x =秒． ∴点P 共运动了80 3803 ⨯=厘米． ∵8022824=⨯+，
平行四边形中点典型练习(培优用)
第四讲 中位线专题 一【利用三线合一构中位线】 1．如图,△ABC 中,CD 平分∠ACB,A D ⊥CD ，垂足为D ，点E 为AB （1）求证：D E ∥BC; (2）若AC=8，BC=5，求DE 的长． 2．如图，在△ABC 中,AB=10，BC=7，BE 平分∠ABC,AE ⊥ BE,点F 为AC 的中点，连EF ． 求EF 的长． 二【取中点构中位线】 3．如图，梯形ABCD 中,E 、F 分别为对角线BD 、AC 的中点, （1）求证：EF ∥CD;（2）求证：EF= 1 2 （CD-AB ）． 4．如图，AE ⊥AB ，BF ⊥AB,AB 的中垂线交AB 于N ，交EF 于M 求证：MN= 1 2 （BF-AE ）． 三【利用平行四边形对角线交点构中位线】 B
5．如图，在BCFD 的对角线CD 的延长线上取一点E ，连接FE 并延长至A 点，使EA=EF ，连接AB ．求证：CE ∥AB ． 6．如图，ABCD 的周长为a ，延长AB 至E ，使BE=BC ，BN ⊥EC 于N ，连MN ． 求MN 的长． 四【多中点产生两次中位线】 7．如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，∠ABD=20°，∠BDC=100°,E 、F 、M 分别为AD 、BD 、BC 的中点．求 FM EF ． 8．如图，AD ∥BC ，∠B+∠BCD=90°，连AC ，M 、N 、P 分别为AD 、BC 、AC 的中点， （1）求证:MP ⊥NP ； (2）若AB=6，CD=8，求MN 的长． 9．如图BF 是△ABC 的角平分线,AM ⊥BF 于M ，CE 平分△ABC 的外角，AN ⊥CE 于N ，（1）求证：MN ∥BC ；（2)若AB=c ，AC=b,BC=a ，求MN 的长． 五【中位线问题探究】 C C
第四节 线段中点的应用-学而思培优
第四节 线段中点的应用 一、课标导航 二、核心纲要 线段的中点是几何图形中一个特殊的点，他关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形、三角形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么？常见的联想路径有以下几种． 1．倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形与平行线 2．作直角三角形斜边中线 3．构造中位线 4．构造等腰三角形三线合一 5．三角形的中线可以等分三角形的面积 若D 是BC 边上的中点，则ACD ABD s s ∆∆= 6．中点四边形 (1)定义：顺次连接四边形四边中点所得的四边形叫做中点四边形． (2)常见的中点四边形 ①任意四边形的中点四边形是平行四边形； ②平行四边形的中点四边形是平行四边形； ③矩形的中点四边形是菱形；
④菱形的中点四边形是矩形； ⑤正方形的的中点四边形是正方形； ⑥等腰梯形的中点四边形是菱形． 本节重点讲解：一个应用（中点的应用），一个四边形（中点四边形）． 三、全能突破 基 础 演 练 1．顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是( )． A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形 2．如图18 -4—1所示，在△ABC 中，,6,5===BC AC AB 点M 为BC 中点，AC MN ⊥于点N ，则MN 的长为( )． 56.A 59.B 512 .c 5 16.D 3．如图18-4-2所示，在△ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BD 中点，F 为CE 中点，若△ABD 的面积为4，则△BFC 的面积为( )． 2.A 1.B 5.1.C 5.0.D 4．如图18-4-3所示，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，且.CD AB =下列结论：①EG ⊥FH ，②四边形EFGH 是矩形，③HF 平分=∠EG EHG ④,),(2 1 AD BC -⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是( )． 1.A 2.B 3.C 4.D 5．如图18-4-4所示，在四边形ABCD 中，M BCD DAB ,90 =∠=∠为BD 中点，N 为AC 中点，求证： .AC MN ⊥ 6．如图18-4-5所示，在等边△ABC 中，P 为AB 的中点，Q 为AC 的中点，R 为BC 的中点，M 为RC 上任一点，△PMS 为等边三角形，求证：.QS RM =
中考数学二轮专题复习六：中点问题
中考数学二轮专题复习六：中点问题 二轮专题复习6：中点型问题教学案中点是几何题中的一个重要条件，在多边形、圆以及抛物线等相关问题中都有重要的地位，在求角、线段长、面积等问题时有重要应用。 例题： 1、在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD是_______ 2、如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，E是DC的中点，BF＝BC，则四边形DBFE42的面积为 cm y E D C A D A DO CG F xBOC A B B 第1题 第2题 第4题 第3题 3、如图，梯形ABCD的对角线A C、BD相交于O，G是BD的中点、若AD =3，BC =9，则GO : BG =_______________ 4、两块完全一样的含30角三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图6，∠A=30，AC=10，则此时两直角顶点
C、C’间的距离是 _______1k(k?0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边ABx相交于点 C、若点A的坐标为，则△AOC的面积为 _______ 6、如图：已知AB=10，点 C、D在线段AB上且AC=DB=2； P是线段 FCD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和 G等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D E时，则点G移动路径的长是________、 5、如图，已知双曲线y? A CP 7、如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE 求∠CAE的度数；取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形 A F E B C D DB 8、如图，在△AB C中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD 交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过 A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F、求证：BC与⊙O相切；当∠BAC=120时，求∠EFG的度数、 C D E G A B F O 9、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB =90，E是AD的中点，点P是BC边上的动点，EP与BD相交于点O、当P 点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；设中的相似比为k，若AD︰BC =2︰
著名机构初中数学培优讲义梯形.第04讲(C级).教师版
内容 基本要求 略高要求 较高要求 梯形 会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定. 掌握梯形的概念，会用等腰梯形 的性质和判定解决简单问题. 模块一、相关概念定理 1．定义： 四边形中还有一类特殊的四边形，它们的一组对边平行而另一组对边不平行，这样的特殊四边形就叫做梯形.研究梯形主要是研究两类：等腰梯形和直角梯形. AB CD ABCD AD BC ⎫ ⇒⎬⎭∥ 叫做梯形. C B A D 底角腰底高 2．等腰梯形 AB CD AD BC AD BC ⎫ ⎪=⇒⎬⎪⎭ ∥峛. ABCD DAB CBA ADC BCD AC BD ∠=∠∠=∠=是等腰梯形， ， ， B C A D 3． 直角梯形 AB CD CB AB ABCD AD BC ⎫ ⎪ ⊥⇒⎬⎪⎭ ∥ 是直角梯形. C A B D 4．平行线等分线段定理 1234l l l l AB BC CD ⎫ ⇒⎬==⎭ ∥∥∥111111A B B C C D ==. l 4 l 3 l 2 l 1D 1C 1B 1 A 1D C B A 例题精讲 中考要求 梯形
5．中位线定理 ⑴ 三角形中位线定理 ABC ∆中： 11 22 AM BM MN BC MN BC AN CN =⎫⇒=⎬=⎭∥，. B N C M A ⑵ 梯形中位线定理 梯形ABCD 中： AB CD AM DM BN CN ⎫⎪ =⇒⎬⎪=⎭ ∥() 1 2MN AB CD MN AB CD =+∥∥， B N C A M D 二、等腰梯形 1. 等腰梯形的性质 ①等腰梯形同一底边上的两个角相等； ②等腰梯形的两条对角线相等． ③等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴； 2. 等腰梯形的判定 ①同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形． ②对角线相等的梯形是等腰梯形． 模块二 梯形中常见的辅助线 我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质.下面给出几个常见的添加辅助线的方法. 1. 作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形. 2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中. 3. 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题. 4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形. 5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形. 常见的辅助线添加方式如下：
郑州市七年级数学上册第四单元《几何图形初步》-解答题专项阶段测试(培优练)
一、解答题 1．线段12cm AB =点C 在线段AB 上，点D ，E 分别是AC 和BC 的中点． （1）若点C 恰好是AB 中点，求DE 的长； （2）若4cm AC =，求DE 的长； （3）若点C 为线段AB 上的一个动点（点C 不与A ，B 重合），求DE 的长． 解析：（1）6cm ；（2）6cm ；（3）6cm 【分析】 （1）根据中点的定义，进行计算即可求出答案； （2）由中点的定义，先求出DC 和CE 的长度，然后求出DE 即可； （3）利用中点的定义，即可得到结论． 【详解】 解：（1）因为点C 是AB 中点， 所以16cm 2AC BC AB ===． 又因为D ，E 分别是AC 和BC 的中点， 所以1116cm 222DE DC CE AC BC AB =+= +==， 故DE 的长为6cm ． （2）因为12cm AB =，4cm AC =， 所以8cm BC =． 因为点D ，E 分别是AC 和BC 的中点， 所以12cm 2DC AC ==，14cm 2 CE BC ==， 所以6cm DE =． （3）因为111222DE DC CE AC BC AB =+= +=， 且12cm AB =， 所以6cm DE =． 【点睛】 本题考查了线段中点的定义，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系进行解题． 2．如图，已知C 是AB 的中点，D 是AC 的中点，E 是BC 的中点． (1)若DE=9cm ，求AB 的长. (2)若CE=5cm ，求DB 的长． 解析：（1）AB=18；（2）DB=15. 【分析】
（1）由线段中点的定义可得CD=1 2 AC，CE= 1 2 BC，根据线段的和差关系可得DE= 1 2 AB，进 而可得答案；（2）根据中点定义可得AC=BC，CE=BE，AD=CD，根据线段的和差关系即可得答案. 【详解】 （1）∵D是AC的中点，E是BC的中点． ∴CD=1 2 AC，CE= 1 2 BC， ∵DE=CD+CE=9， ∴1 2 AC+ 1 2 BC= 1 2 (AC+BC)=9， ∵AC+BC=AB， ∴AB=18. （2）∵C是AB的中点，D是AC的中点，E是BC的中点， ∴AC=BC，CE=BE=1 2 BC，，AD=CD= 1 2 AC， ∴AD=CD=CE=BE， ∴DB=CD+CE+BE=3CE， ∵CE=5， ∴DB=15. 【点睛】 本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键． 3．已知直线l上有三点A、B、C，AB=3，AC=2，点M是AC的中点. (1)根据条件，画出图形； (2)求线段BM的长. 解析：（1）见解析；（2）2或4. 【分析】 （1）分C点在线段AB上和C点在BA的延长线上两种情况画出图形即可；（2）利用（1）中所画图形，根据中点的定义及线段的和差故选，分别求出MB的长即可. 【详解】 （1）点C的位置有两种： 当点C在线段AB上时，如图①所示： 当点C在BA的延长线上时，如图②所示： （2）∵点M是AC的中点，AC=2，
初中数学几何的动点问题专题练习-附答案版
动点问题专题练习 【1 】 1.如图,已知ABC △中,10AB AC ==厘米,8BC =厘米,点D 为AB 的中点． （1）假如点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点活动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点活动． ①若点Q 的活动速度与点P 的活动速度相等,经由1秒后,BPD △与CQP △是否全等,请解释来由; ②若点Q 的活动速度与点P 的活动速度不相等,当点Q 的活动速度为若干时,可以或许使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的活动速度从点C 动身,点P 以本来的活动速度从点B 同时动身,都逆时针沿ABC △三边活动,求经由多长时光点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 1.解：（1）①∵1t =秒, ∴313BP CQ ==⨯=厘米, ∵10AB =厘米,点D 为AB 的中点, ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米, ∴835PC =-=厘米, ∴PC BD =． 又∵AB AC =, ∴B C ∠=∠, ∴BPD CQP △≌△． ············································································· （4分） ②∵P Q v v ≠, ∴BP CQ ≠, 又∵BPD CQP △≌△,B C ∠=∠,则45BP PC CQ BD ====，, ∴点P ,点Q 活动的时光4 33 BP t ==秒, ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． · ································································· （7分）