微积分上机作业

微积分上机作业 Prepared on 22 November 2020

微积分上机实验报告

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指导老师：

2012年5月28号

选作第2题、第6题 2、题目：（数值积分）人造地球卫星的轨道可视为平面上的椭圆，地心位于椭圆的一个焦点

处．已知一颗人造地球卫星近地点距地球表面439 km ，远地点距地球表面2384 km ，地球半径为6371 km ．求该卫星的轨道长度．

算法：椭圆的标准方程：12222=+b y a x （焦点在x 轴）。函数每给X 一个值都有唯一的一个值与

之对应，而椭圆确有2个值，所以椭圆不属于函数，故将椭圆分为上下两部分，上下两部分分别为函数，先求出上半椭圆的长度，再乘两倍既是椭圆的长度。 上半椭圆方程：12222=+b y a x （y>=0）,两边对x 求导有:

0'2222=+b a yy x

，y ＇=)('x f =y x a b 22- 构造上半椭圆的弧微分)(12'x f ds +=x a a x

b 224221-+=，作为积分微元。采用数值积分的方

法，通过 for 循环语句在积分域内构造很多个小长方形，以这些长方形面积之和代替积分数值。当步长很小，长方形个数很多时，长方形面积之和则很接近这个积分的数值。

运用C 语言编写程序，定义数值积分函数，采用for 循环语句，依据精度的不同设置不同的步长，依次求和，即可计算出近似结果，得到椭圆长度。

在编写程序之前，计算椭圆的长半轴和焦距的一半的长度：

长半轴a=（439+2384+6371*2）/2=

焦距的一半c=a-6371-439=

短半轴b=a*a-c*c

C 语言源程序：

#include<>

#include<>

#define a

#define c

#define b sqrt(pow(a,2)-pow(c,2))

#define n

main()

{

double L=0,x,f;

for(x=-99999*a/100000;x

f=sqrt(1+pow(b,2)*pow(x,2)/(pow(a,4)-pow(a,2)*pow(x,2)));

L=L+f*n;

}

L=L*2;

printf("卫星的轨道长度为:");

printf("%lf\n",L);

} 结果：

分析：

对于这个程序，当x 取值到-a 时，积分微元的分母为零，对应的y 值为0，所以在程序中，x 最初取值为-99999*a/100000。当这个值越接近-a 时，计算出来的值越接近真实值。同时，在程序中，步长越小，分出的小矩形越多，计算出的值越接近真实值。但是随着步长的减小，运算量会增加，运算时间也会增长，例如，本程序中n=，如果取n=时，运算时间大大加长，这是该程序的不足之处。

6、题目：（最小二乘法）（1）假设t 时刻人口增长速度与 t 时刻人口总数 p(t) 成正比， 比例系数为k,求t 时刻人口总数。

（2）据统计，六十年代人口增长情况如下表：

试求出最佳拟合曲线，并预测2020年时的世界人口。

（3）能否用该模型作长期人口预报为什么怎样改革该模型

解：（1）p=e kt+b

（2）y=logp=kt+b ，即能体现线性关系，通过最小二乘法建立经验公式，通过MATLAB 软件可求出该直线方程。

算法：1、首先画出散点图；

2、其次观察图中点的分布规律，确定为线性关系，求出函数表达式；

3、最后求出)(t f i 与测量值y i 的偏差的平方和 Q=∑-=n i y t f i i 12)

)((

令Q 取最小值，便可确定f （t ）表达式中的未知参数，从而得到f （t ）。

函数关系：y=kt+b ，其中常数k ，b 待定。由最小二乘法知，问题变为求二元函数 Q （k ，b ）=∑-+=912)(i y

b t k i i 的最小值。

利用多元函数极值的必要条件，得

k Q ??=2∑-+=91

)(i y b t k i i ?t i =0 b Q ??=2∑-+=91

)(i y b t k i i =0 整理化简，得唯一驻点 k=，b=

依据问题的实际意义，Q （k ，b ）定有最小值，且驻点唯一，所以（，）为Q （k ，b ）的最小值点，所求经验公式y=，p=

e 28.4331-0.0186t 当t=2020时，y=，则p=

e 1389.9

MATLAB 程序： 先编写程序得到最佳拟合曲线（此为程序截图）：

通过plot 函数得到图形：

所得图形趋近于一条直线，直线方程：y=kx+b 。

接着编写程序，通过polyfit 函数得到线性方程的一次项系数和常数项值

（此为程序截图）：

y=kt+b 其中 k= b=

即 y=当t=2020时，y=，则p=e

1389.9 预测2020年时的世界人口为e 1389.9人。

（3）不能用该模型作长期人口预报，因为没有考虑到其因素的影响，比如说经济因素、文化因素、医疗卫生因素、自然资源因素等。

可以采用下列模型，或其综合：

逻辑斯蒂克人口模型：以m N 记自然资源和环境条件所能允许的最大人口数。把人口增长的速率除以当时的人口数称为人口的净增长率。人口的净增长率随着)(t N 的增加而减小，且当m N t N )(时，净增长率趋于零。因此人口方程可写成：

其中r 为常数。模型（）称为逻辑斯蒂克人口模型。

人口模型应当包含对人口产生主要影响的因素：生育率、死亡率、年龄结构、男女比例。建立Leslie 人口模型，充分反应生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素。

由于每个模型各有局限性，故可用加权法建立熵权组合模型。

分析：

该人口增长数据已经过时，应当采用新的数据作为预测的模型。新的数据不仅应有每年的人口数据，还应有生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等相关数据，通过多种模型的综合预测未来的人口。