空间向量及其运算讲义
空间向量及其运算讲义
一、知识梳理
1．空间向量的有关概念
2.(1)共线向量定理
空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理
如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π
2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．
(2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).
向量表示 坐标表示 数量积 a·b
a 1
b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)
a 1
b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0
模 |a |
a 21＋a 22＋a 2
3
夹角
〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)
cos 〈a ，b 〉＝
a 1
b 1＋a 2b 2＋a 3b 3
a 21＋a 22＋a 23·
b 21＋b 22＋b 23
注意：1．向量三点共线定理
在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →
(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点． 2．向量四点共面定理
在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间中任意一点．
二、基础检测
题组一：思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( )
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( )
(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0.( ) (6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．( ) 题组二：教材改编
2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c ，则下列向量中与BM →
相等的向量是( )
A ．－12a ＋1
2b ＋c
B.12a ＋1
2b ＋c C ．－12a －1
2
b ＋c
D.12a －1
2
b ＋c
3．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________． 题组三：易错自纠
4．在空间直角坐标系中，已知A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．垂直 B ．平行
C ．异面
D ．相交但不垂直
5．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是__________________________________．
6．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →
，若P ，A ，B ，C 四点共面，则
实数t ＝______.
三、典型例题
题型一：空间向量的线性运算
1.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→
＝______.
2.如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →
等于( )
A.1
2
(－a ＋b ＋c ) B.1
2
(a ＋b －c ) C.1
2
(a －b ＋c ) D.1
2
(－a －b ＋c ) 思维升华：用已知向量表示某一向量的方法
用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 题型二：共线定理、共面定理的应用
典例：如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝
kBC →
(0≤k ≤1)．
(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→
共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？
思维升华：(1)证明空间三点P ，A ，B 共线的方法 ①P A →＝λPB →
(λ∈R )；
②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →
(t ∈R )； ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →
(x ＋y ＝1)． (2)证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →；
②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →
；
③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →
(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →)．
跟踪训练 如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G 分别是A 1D 1，D 1D ，D 1C 1的中点．
(1)试用向量AB →，AD →，AA 1→表示AG →
； (2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C . 题型三：空间向量数量积的应用
典例 如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.
(1)求线段AC 1的长；
(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .
思维升华：(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．
(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角． (3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．
跟踪训练 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC 1→
的长；
(2)求BD 1→与AC →
夹角的余弦值． 注意：坐标法在立体几何中的应用
典例 (12分)如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．
(1)求BN →
的模；
(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→
〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .
四、反馈练习
1．在下列命题中：
①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；
②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；
④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．已知向量a ＝(2m ＋1,3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( ) A.32 B ．－2 C ．0
D.3
2
或－2 3．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂α
D ．l 与α斜交
4．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A.5π6 B.2π3 C.π3
D.π6
5．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ等于( ) A ．9 B ．－9 C ．－3 D ．3
6．如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )
A. 3
B. 2 C ．1 D.3－2
7．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．
8.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
，则x ，y ，z 的值分别为______．
9．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →
＝0，则△BCD 的形状是________三角形．(填锐角、直角、钝角中的一个) 10．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体， ①(A 1A →＋A 1D 1—→＋A 1B 1—→)2＝3A 1B 1—→2； ②A 1C →·(A 1B 1—→－A 1A →
)＝0；
③向量AD 1→与向量A 1B →
的夹角是60°；
④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →
|. 其中正确的序号是________．
11．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →
. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →
，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．
12.如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：
(1)EF →·BA →； (2)EG 的长；
(3)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．
13．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →
等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．不确定
14．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且向量p ＝x a ＋y b ＋z c ，则(x ，y ，z )叫向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标，已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( ) A ．(4,0,3) B ．(3,1,3) C ．(1,2,3)
D ．(2,1,3)
15．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →
>0，则该四边形为( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形
D ．空间四边形
16．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →
＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →
的坐标是____________．
空间向量及其运算讲义
空间向量及其运算讲义 一、知识梳理 1．空间向量的有关概念 2.(1)共线向量定理 空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0) a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模 |a | a 21＋a 22＋a 2 3 夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 23· b 21＋b 22＋b 23 注意：1．向量三点共线定理 在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC → (其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点． 2．向量四点共面定理 在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → (其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间中任意一点． 二、基础检测 题组一：思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) (5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA → ＝0.( ) (6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．( ) 题组二：教材改编 2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→ ＝c ，则下列向量中与BM → 相等的向量是( ) A ．－12a ＋1 2b ＋c B.12a ＋1 2b ＋c C ．－12a －1 2 b ＋c D.12a －1 2 b ＋c
1.1空间向量及运算新课讲义-2021-2022高一下学期数学人教B版(2019)选择性必修一
1 2(AB x =一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。11(x ,y ,z a =22(x ,y b =，则 12112(x ,y )a b x z +=++， 12112(x ,y )a b x z -=--， 111(,,)a x y z R λλλλ=， 12a b x x y ⋅=+12//x a b x ⇔=12a b x x ⊥⇔+211||x a y =+222|x b y =++夹角公式：2 1cos ||||x a b a b a b ⋅⋅==⋅+（3）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222121|()()()AB x y y z z =+-+-空间向量的共面定理 （1）ABCD ,(OD xOA yOB zOC x y =+++（2）a b c ， ，向量共面：a xb yc =+
2 典例解析 考点一：概念的判断 例1．若空间向量a 与b 不相等，则与a ，b 一定( ) A ．有不同的方向 B ．有不相等的模 C ．不可能是平行向量 D ．不可能都是零向量 变式1：下列命题中，不正确的命题的个数是（ ） ①空间向量任意五边形ABCDE ，则0;AB BC CD DE EA ++++=②若//,a b a 则所在的直线与b 所在的直线平行；③空间任意两非零向量a ，b 共面；④空间向量a 平行于平面α，则a 所在的直线平行于平面α. A.1 B.2 C.3 D.4 变式2 给出下列命题： ①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量,a b 满足||||a b =，则a b =；④若空间向量 ,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 考点二：空间向量的线性运算 例2．如图在长方体1111D C B A ABCD -中，O 为AC 中点。 (1)化简：11122 AO AB AD -- (2)设E 是棱1DD 上的点，且123DE DD = ，若1EO=xAB yAD zAA ++试求,,x y z 的值。
武_选修111_讲义_空间向量及其运算
关键字:空间向量及其运算 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法； 2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 知识点一、空间向量的概念 1.空间中，既有大小又有方向的量称为空间向量(简称为向量)。 2.与平面向量一样，空间向量也是用有向线段来表示。 //向量只有两要素:方向和大小;而有向线段有三要素:起点,方向和大小. //不同有向线段可以表示相同的向量。 3.大小相等、方向相同的向量称为相等的向量。 4.始点和终点相同的向量叫做零向量，记作0。 //注意零向量的方向是无法确定的。 //但我们规定：零向量的方向与任一向量平行，与任意向量共线，与任意向量垂直。 //零向量的方向不确定，但模的大小确定。零向量与任意向量的数量积为0。 5.表示向量a的有向线段的长度叫做向量的模或长度， 用|a|或a→|表示。 6.方向相同或相反的两个非零向量互相平行，通常规定零向量与任意向量平行。 7.一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面。 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 思考空间向量与平面向量有何异同？ 提示：(1)所处范围：平面向量的范围是在同一个平面的范围内，而空间向量则是在空间的范围内。 (2)是否共面：平面向量中的所有向量都是共面的，而空间中，任意两个向量都是共面的，三个向量则有可能是不共面的，如图所示。
(3)性质推广：平面向量的所有的性质在空间中仍然成立，空间向量的有关问题通常转化为平面向量来解决。 知识点二、空间向量的线性运算 在空间中任取一点O，作OA→＝a，OC→＝b。 →。 2.减法：a－b＝CA→。 1.加法：a＋b＝OB 3.数乘向量：当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： λ>0时，λa与a方向相同； λ<0时，λa与a方向相反。 λ＝0或a＝0时，λa为零向量。 4.空间向量线性运算律。 (1)加法交换律：a＋b＝b＋a； (2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb。 【提示】 (1)平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则，对空间向量也同样成立。 (2)三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。 练习 一、判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) 1.实数与向量之间可进行加法、减法运算。(×) 2.若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同。(√) 3.空间中的任意三个向量一定是共面向量。(×) 二、做一做 1.下列说法正确的是() A.若|a|<|b|，则a 1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算 学 习目标核心素养 1．了解空间向量、向量的模、零向量、相反向 量、相等向量、共面向量等概念．(重点) 2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量 的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算 律．(重点、易混点) 3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算 律．(重点、易错点) 1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽 象素养． 2．借助于空间向量的线性运算，提升数学运算 素养． 3．借助于空间向量的数量积，提升数学运算及 逻辑推理的数学素养． 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 图1图2 1．空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB →|． ②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 2．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？ [提示] 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面． 3．空间向量的线性运算 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 图1 图2 (1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC → ＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→ ． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a ，则实数λ与空间向量a 相乘的运算称为数乘向量，记作λa ．其中： ①当λ≠0且a ≠0时，λa 的模为|λ||a |，而且λa 的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a 的方向相同； 3．1.2 共面向量定理 [对应学生用书P50]如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，观察下列几组向量，回答问 题． 问题1：、、可以移到一个平面内吗？ 提示：可以，因为＝，三个向量可移到平面ABCD内． 问题2：，，三个向量的位置关系？ 提示：三个向量都在平面ACC1A1内． 问题3：、、三个向量是什么关系？ 提示：相等． 1．共面向量 一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x a＋y b. 1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面．2．向量共面不具有传递性． 3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据． [对应学生用书P51] [例1] 给出以下命题： ①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD ，则由四条线段AB 、BC 、CD 、DA 分别确定的四个向量之和为零向量； ③若存在有序实数组(x ，y )使得＝x ＋y ，则O 、P 、A 、B 四点共面； ④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面； ⑤若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量共面． 其中正确命题的序号是________． [思路点拨] 先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断． [精解详析] ①错：空间中任意两个向量都是共面的； ②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向； ③正确：因为、、共面， ∴O 、P 、A 、B 四点共面； ④错：没有强调零向量； ⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量． [答案] ③ [一点通] 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理． 1．下列说法正确的是________(填序号)． ①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体； ②设平行六面体的三条棱是、、，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是＋＋； ③若＝1 2 (＋)成立，则P 点一定是线段AB 的中点； ④在空间中，若向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共面． ⑤若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线所确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面是同一个平面． 解析：①②③⑤不正确，④正确． 答案：④ 2．已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，试问向量p 、q 、r 是否共面？ 解：设r ＝x p ＋y q ， 则－7a ＋18b ＋22c ＝x (a ＋b －c )＋y (2a －3b －5c ) ＝(x ＋2y )a ＋(x －3y )b ＋(－x －5y )c ， 空间向量 知识讲解 一、空间向量基本知识 1.空间向量的定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示．用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0（不是0）． 注：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a，AB． 3.模：表示向量a的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a 4.方向：有向线段的方向表示向量的方向． 5.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线． 6.共线向量（平行向量）：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． 注：a平行于b记为a b ∥． 7.运算：向量的加法、减法与数乘向量运算：与平面向量类似； 二、空间向量的基本定理 共线向量定理：对空间两个向量a，b（0 b≠），a b ∥的充要条件是存在实数λ，使 → → =b aλ． 共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c xa yb =+． 空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组（x，y，z），使p xa yb zc =++． 注：表达式xa yb zc ++，叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合． 上述定理中，a，b，c叫做空间的一个基底，记作{} a b c ，，，其中a b c ，，都叫做基向量． 由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 三、空间向量内容 1.两个向量的夹角：已知两个非零向量a b ， ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉， ．通常规定0πa b 〈〉≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉， ，．如果90a b 〈〉=，°，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 2.两个向量的数量积：已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为： ||||cos a b a b a b ⋅=〈〉， 数量积的性质： 1）||cos a e a a e ⋅=〈〉， ，→ e 为单位向量 ； 2）0=⋅⇔⊥→ →→→b a b a ； 3）2||a a a =⋅； 4）a b a b ⋅||≤||||． 数量积满足如下运算律： 1）()()a b a b λλ⋅=⋅； 2）a b b a ⋅=⋅； 3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． 3.空间向量的直角坐标运算： 建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k ，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ，，，这个基底叫做单位正交基底． 空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k ；， ，． 4.投影和坐标 投影：在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一数组()z y x ,,， 使→ → → → ++=k z j y i x a ，其中→ → → k z j y i x ,,分别叫做向量a 在i j k ，， 方向上的分量或投影， 坐标：有序实数组()z y x ,,叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作 ()z y x a ,,=→ ． 1.1 空间向量及其运算讲义（选择性必修一） 一、知识框架 二、考点解析 考点一 概念的辨析 【例1】下列命题中，假命题是（ ） A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C ．只有零向量的模等于0 D ．共线的单位向量都相等 【跟踪练习】 1．在下列命题中： ①若向量,a b 共线，则,a b 所在的直线平行； ②若向量,a b 所在的直线是异面直线，则,a b 一定不共面； ③若三个向量,a b c ，两两共面，则,a b c ，三个向量一定也共面； ④已知三个向量,a b c ，，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.在下列命题中： ①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行； ②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面； ④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考法二 空间向量的线性运算 【例2】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（ ） A ．1223 EF AC AB AD → →→→ =+- B ．112223EF A C AB A D → →→→ =--+ C ．112223 EF AC AB AD →→→→ =-+ D ．112223 EF AC AB AD →→→→ =-+- 1 / 10 空间向量及其运算（讲义） ➢ 知识点睛 一、空间向量的定义及定理 1. 定义：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2. 空间向量的有关定理及推论 （1）共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b （b ≠0），a ∥b 的充要条件是：存在实数λ，使__________． 扩充：对空间三点P ，A ，B ，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线： ①PA PB λ−−→ −−→ =； ②对空间任一点O ，OP OA t AB −−→ −−→ −−→ =+； ③对空间任一点O ，1OP x OA y OB x y −−→ −−→ −−→ =++=（）． （2）共面向量定理 如果两个向量a ，b __________，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是：存在________的有序实数对(x ，y )，使____________． 扩充：对空间四点P ，M ，A ，B ，可通过证明下列任意一个结论成立来证明四点共面： ①MP x MA y MB −−→ −−→ −−→ =+； ②对空间任一点O ，OP OM x MA y MB −−→−−→−−→−−→ =++； ③对空间任一点O ，1OP xOM y OA z OB x y z −−→ −−→ −−→ −−→ =++++=（ ④PM −−→ ∥AB −−→ （或PA −−→ ∥MB −−→ 或PB −−→ ∥AM −−→ ）． （3 ）空间向量基本定理 l 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得___________________________． 其中，__________叫做空间的一个基底． 二、空间向量的线性运算 类比平面向量 三、空间向量的坐标运算 a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)（a，b均为非零向量）： a+b=____________________，a-b=_____________________， λa=_____________________； a b⋅=__________________，a=____________________； cos 3.1.3 空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角 如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b □05互相垂直，记作□06a ⊥b . 2．空间向量的数量积 两个向量数量积的性质： (1)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔□12a·b ＝0； (2)若a 与b 同向，则a·b ＝□13|a ||b |； 若反向，则a·b ＝□ 14－|a ||b |； 特别地：a·a ＝|a |2 (3)若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝□ 16a·b |a ||b |； (4)|a·b |□ 17≤|a ||b |. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于空间任意两个非零向量a ，b ，a ∥b 是〈a ，b 〉＝0的充要条件．( ) (2)若a 2 ＝b 2 ，则a ＝b 或a ＝－b .( ) (3)若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的充要条件．( ) (4)在△ABC 中，〈AB →，BC → 〉＝∠B .( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．做一做 (1)(教材改编P 92T 3)已知空间四边形的每条边和对角线长都是a ，点E ，F ，G 分别为AB ， AD ，DC 的中点，则a 2等于( ) A ．2BA →·AC → B ．2AD →·BD → C ．2FG →·CA → D ．2EF →·BC → (2)若向量a 与b 满足|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π 3，则a·b ＝________. (3)已知|a |＝2，|b |＝ 22，a ·b ＝－2 2 ，则a 与b 的夹角为________． (4)已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________. 答案 (1)B (2)1 (3)135° (4)1 8 解析 (1)∵AD →与BD →的夹角为60°，|AD →|＝|BD → |＝a ， ∴2AD →·BD →＝2|AD →||BD →|cos60°＝2×a ×a ×12＝a 2 . 探究1 求向量的数量积 例1 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F 分别是AB ， AD 的中点，计算： 3．1.1 空间向量及其线性运算 [对应学生用书P48] 春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来． 问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？ 提示：是． 1．空间向量 (1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量． (2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示． 2．相等向量 凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量. 问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算． 提示：利用平行四边形法则、三角形法则等． 问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？ 提示：交换律、结合律、分配律． 1．空间向量的加减运算和数乘运算 ＝＋＝a＋b，＝－＝a－b， ＝λa(λ∈R)． 2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R). 空间中有向量a，b，c(均为非零向量)． 问题1：向量a与b共线的条件是什么？ 提示：存在惟一实数λ，使a＝λb. 问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？ 提示：一定；不一定． 1．共线向量或平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量． 向量a与b平行，记作a∥b. 规定，零向量与任何向量共线． 2．共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa. 1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则． 2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍． 3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行． [对应学生用书P49] [例1] 下列四个命题： (1)所有的单位向量都相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b； 1.1 空间向量及其运算 1、空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2、空间向量的有关定理 〔1〕共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点 〔2〕共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b . 在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点 3、空间向量的数量积及运算律 〔1〕数量积及相关概念 ①两向量的夹角：两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，那么∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角， 记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，假设〈a ，b 〉＝π2 ，那么称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. 〔2〕空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 知识梳理 1.3 空间向量及其坐标的运算 1.空间向量的坐标表示 (1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz， 那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x，y，z)． (2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则OP的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了. 2．空间向量的坐标运算 3．(1)空间向量a，b，其坐标形式为：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)a·a＝|a|2＝ 222 123 a a a ++ . 3.空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 【题型精讲】 考点一坐标的运算 【例1】（1）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）设 ,x y R ∈，向量(,1,1),b(1,,1),c(2,4,2) a x y ===-，,c a c b ⊥，则|| a b +=（） A．B C．3D．4 第6讲 空间向量及运算 1．空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式 ①设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则|AB |＝□ 01 x 1－x 2 2 ＋y 1－y 2 2 ＋z 1－z 2 2 . ②设点P (x ，y ，z )，则与坐标原点O 之间的距离为 |OP |＝□02 x 2＋y 2＋z 2. (2)中点公式 设点P (x ，y ，z )为P 1 (x 1 ，y 1 ，z 1 )，P 2 (x 2 ，y 2 ，z 2 )的中点，则□03⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋x 22， y ＝y 1 ＋y 2 2 ，z ＝z 1 ＋z 2 2 . 2．空间向量的数量积 a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． 3．空间向量的坐标运算 a ＝(a 1，a 2，a 3)， b ＝(b 1，b 2，b 3)(a ，b 均为非零向量)： 1．概念辨析 (1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同．( ) (2)在向量的数量积运算中(a·b )·c ＝a ·(b·c )．( ) (3)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (4)对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → (其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．小题热身 (1)如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD → ＝ b ，AA 1→＝ c ，则下列向量中与BM → 相等的向量是( ) 3．1空间中向量的概念和运算 第一课时 空间中向量的概念和线性运算 [读教材·填要点] 1．向量的概念 既有大小又有方向的量称为向量． 2．用有向线段表示向量 要表示向量a ，可以从任意一点A 出发作有向量线段AB ，使AB 的方向与a 相同，长度|AB |等于a 的模，则有向线段AB 表示向量a ，记为a ＝AB ―→ . 3．空间向量加法的运算律 (1)a ＋b ＝b ＋a .(加法交换律) (2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．(加法结合律) 4．向量与实数相乘 (1)向量与实数相乘：任何一个向量a 都可以看作某个平面上的向量，它与实数λ相乘可以按照平面向量与实数相乘的法则进行． (2)①λ(a ＋b )＝λa ＋λb .(对向量加法的分配律) ②(λ1＋λ2)a ＝λ1a ＋λ2a .(对实数加法的分配律) [小问题·大思维] 1．空间向量的定义及表示方法，同平面向量的定义及表示方法有区别吗？ 提示：空间向量与平面向量没有本质区别，定义及表示方法都一样． 2．在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？ 提示：因为单位向量的模均等于1，那么当所有向量移到同一起点后，终点轨迹是一个球面． 3．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全相同吗？ 提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一平面内，所以空间向量与平面向量均可用三角形或平行四边形法则，是相同的． 4．两个向量a ，b 共线是两个向量共面的什么条件？ 提示：a ，b 共线时， 这两个向量一定共面；若a 与b 共面，a 与b 所在的直线可能相交，所以a 与b 共线是a 与b 共面的充分不必要条件． §8.6空间向量及其运算 最新考纲考情考向分析 1。了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容．一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现,考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力. 1．空间向量的有关概念 名称概念表示 零向 量 模为0的向量0单位长度(模）为1的向量 2.空间向量中的有关定理 （1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb。 (2）共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b，其中x，y∈R，a，b为不共线向量． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组｛x，y，z｝，使得p＝x a＋y b＋z c,｛a，b,c}叫作空间的一个 基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a,b，在空间任取一点O，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB叫作向量a,b的夹角,记作〈a，b>，其范围是0≤〈a，b>≤π,若〈a，b〉＝错误!，则称a与b互相垂直，记作a⊥b。 ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则｜a｜｜b|cos 空间向量及线性运算 基础过关 考点一 空间向量的基本概念 下列关于空间向量的命题中，正确的个数是（ ） ①在同一条直线上的单位向量都相等； ②只有零向量的模等于0； ③在正方体1111D C B A ABCD -中，1AD 与1BC 是相等向量； ④在空间四边形ABCD 中，与是相反向量； ⑤在三棱柱111C B A ABC -中，与1的模一定相等的向量一共有3个 2.A 3.B 4.C 5.D 下列说法正确的是（ ） .A 任一空间向量与它的相反向量都不相等 .B 将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 .C 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 .D 不相等的两个空间向量的模必不想等 考点二 空间向量的加法与减法运算 在正方体1111D C B A ABCD -中，下列各式的运算结果为向量11D B 的是（ ） ①A D A --111 ②111C D BB -+ ③1DD +- ④1111D B +- .A ①② .B ②③ .C ③④ .D ①④ 已知四边形O ABCD ,为空间任意一点，且OC DO OB AO +=+，则四边形ABCD 是（ ） .A 空间四边形 .B 平行四边形 .C 等腰梯形 .D 矩形 （2020北京陈经纶中学高二上期中）在长方体1111D C B A ABCD -中，设2,11===AB AA AD ，则 -=____________ 在直三棱柱111C B A ABC -中，若,,,1CC ===，则A 1=____________.(用,,表示) 考点三 空间向量的数乘运算 （2021年山东泰安一中等六校阶段性联考）如图，在三棱锥ABC O -中，设,,,c OC b OB a OA ===，若2,==，则=（ ） .A c b a 326121-+ .B c b a 3261-21+ .C c b a 3161-21- .D c b a 316121++ 如图，平行六面体1111D C B A ABCD -中，AC 与BD 的交点为M ，设,,,1c AA b AD a AB ===，则选项中与向量1MC 相等的是（ ） .A c b a ---2121 .B c b a ++2121 .C c b a --2121 .D c b a -+2121 专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示 知识点一 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{}i ，j ，k ，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 知识点二 空间一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA → ，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z)，使OA → ＝xi ＋yj ＋zk.在单位正交基底 {i ，j ，k}下与向量 OA → 对应的有序实数组(x ，y ，z)叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标． 知识点三 空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA → ＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z)，使a ＝xi ＋yj ＋zk.有序实数组(x ，y ，z)叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记作a ＝(x ，y ，z)． 知识点四 空间向量的坐标运算 设a ＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3)，有 第十七讲 空间向量的数量积运算 【知识梳理】 1、数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相 垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. 2、空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 【考点剖析】 考点一 数量积的线性运算 【例1】 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算： (1)EF →·BA →；(2)EG →·BD →； 【解析】 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c . 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12 a ，BA →＝－a ，DC →＝ b － c ， EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14， (2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a ) ＝12⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12 ＝12. 规律方法 1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算. 2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题. (1)a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0； (2)|a |＝a 2； (3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |. 考点二 数量积的相关应用 【例题2-1】在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，若点E 是线段AB 的中点，点M 是底面ABCD 内的动点，且满足11A M C E ⊥，则线段AM 的长的最小值为（ ） A B C ．1 D 【答案】B 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，设()10,0,1A ，()11,1,1C ，1,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，(),,0M x y ，第1章 1.1.1 空间向量及其运算-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修一讲义
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