高考数学讲义空间向量与立体几何.知识框架

空间向量在立体几何中的应

用

要求层

次

重难点

空间直

角坐标

系

空间直角坐标系 B （1）空间直角坐标系

①了解空间直角坐标系，会用空间

直角坐标表示点的位置．

②会推导空间两点间的距离公式．

（2）空间向量及其运算

①了解空间向量的概念，了解空间

向量的基本定理及其意义，掌握空

间向量的正交分解及其坐标表示．

②掌握空间向量的线性运算及其

坐标表示．

③掌握空间向量的数量积及其坐

标表示，能运用向量的数量积判断

向量的共线与垂直．

空间两点间的距离

公式 B

空间向

量的应

用

空间向量的概念 B

空间向量基本定理 A

空间向量的正交分

解及其坐标表示

B

空间向量的线性运

算及其坐标表示

C

空间向量的数量积

及其坐标表示

C

运用向量的数量积

判断向量的共线与

垂直

C

空间向量在立体几何中的应

用

要求层

次

重难点

空间直

角坐标

系

空间直角坐标系 B

（1）空间直角坐标系

①了解空间直角坐标系，会用空间

直角坐标表示点的位置．

空间两点间的距离

公式 B

空间向空间向量的概念 B

高考要求

模块框架

空间向量与立体几何.知识框

架

量的应用

空间向量基本定理 A ②会推导空间两点间的距离公式．

（2）空间向量及其运算

①了解空间向量的概念，了解空间

向量的基本定理及其意义，掌握空

间向量的正交分解及其坐标表示．

②掌握空间向量的线性运算及其

坐标表示．

③掌握空间向量的数量积及其坐

标表示，能运用向量的数量积判断

向量的共线与垂直．

空间向量的正交分

解及其坐标表示

B

空间向量的线性运

算及其坐标表示

C

空间向量的数量积

及其坐标表示

C

运用向量的数量积

判断向量的共线与

垂直 C

知识内容

1．在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示． 用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

2．起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0或0r

．

在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a r ，AB u u u r

．

3．表示向量a r

的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a r ，有向线段的方向表示向量的方向．

有向线段所在的直线叫做向量的基线．

4．如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．

a r 平行于

b r 记为a b r r ∥．

5．向量的加法、减法与数乘向量运算：与平面向量类似； 6．空间向量的基本定理：

共线向量定理：对空间两个向量a r ，b r （0b ≠r ），a b r r ∥的充要条件是存在实数x ，使a xb =r r

．

共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

共面向量定理：如果两个向量a r ，b r 不共线，则向量c r 与向量a r ，b r

共面的充要条件是，

存在唯一的一对实数x ，y ，使c xa yb =+r r r

．

空间向量分解定理：如果三个向量a r ，b r ，c r

不共面，那么对空间任一向量p u r ，存在一

个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p xa yb zc =++u r r r r

．

表达式xa yb zc ++r r r ，叫做向量a r ，b r ，c r

的线性表示式或线性组合．

上述定理中，a r ，b r ，c r

叫做空间的一个基底，记作{}a b c r r r ，

，，其中a b c r r r ，，都叫做基向量．

由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

7．两个向量的夹角：已知两个非零向量a b r r ，，在空间任取一点O ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r

，则AOB ∠叫做向量a r 与b r

的夹角，记作a b 〈〉r r ，

．通常规定0πa b 〈〉r r ≤，≤．

在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉r r r r ，

，． 如果90a b 〈〉=r r ，

°，则称a r 与b r 互相垂直，记作a b ⊥r r ． 8．两个向量的数量积：

已知空间两个向量a r ，b r

，定义它们的数量积（或内积）为：||||cos a b a b a b ⋅=〈〉r r r r r r ，

空间两个向量的数量积具有如下性质：

⑴||cos a e a a e ⋅=〈〉r r r r r ，

；⑵0a b a b ⇔⋅=r r r r

^；⑶2||a a a =⋅r r r ；⑷a b a b ⋅r r r r ||≤||||． 空间两个向量的数量积满足如下运算律：

⑴()()a b a b λλ⋅=⋅r r r r ；⑵a b b a ⋅=⋅r r r r

；⑶()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r ． 9．空间向量的直角坐标运算：

建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k r r r

，，

，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k r r r

，，，这个基底叫做单位正交基底． 空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k r r r ；，

，． 10．坐标：在空间直角坐标系中，已知任一向量a r

，根据空间向量分解定理，存在唯一数组

123()a a a ，，，使123a a i a j a k =++r r r r ，1a i r ，2a j r ，3a k r 分别叫做向量a r

在i j k r r r ，，

方向上的分量，有序实数组123()a a a ，，叫做向量a r

在此直角坐标系中的坐标．上式

可以简记作123()a a a a =r

，

，． 若123()a a a a =r ，，，123()b b b b =r

，，， 则：112233()a b a b a b a b +=+++r r ，

，；112233()a b a b a b a b -=---r r

，，； 123()a a a a λλλλ=r ，，；112233a b a b a b a b ⋅=++r r ．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

11．空间向量的平行和垂直的条件：设111()a a b c =r ，，，

123()b b b b =r ，，， a b r r ∥（0b ≠r r ）a b λ⇔=r r 11

223

3a b a b a b

λλλ=⎧⎪

⇔=⎨⎪=⎩；

11223300a b a b a b a b a b ⇔⋅=⇔++=r r r r

^．

两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式： 222123||a a a a a a ⋅++r r r 222123||b b b b b b =⋅++r r r

112233222222

123123

cos ||||a b

a b a b a a a b b b ⋅〈〉==

++++r r

r r r r ，． 12．位置向量：已知向量a r ，在空间固定一个基点O ，再作向量OA a =u u u r r

，则点A 在空间的

位置就被向量a r

所唯一确定了．这时，我们称这个向量为位置向量．

由此，我们可以用向量及其运算来研究空间图形的性质．

13．给定一个定点A 和一个向量a r

，O 为空间中任一确定的点，B 为直线l 上的点，

则P 在为过点A 且平行于向量a r

的直线l 上

⇔ AP ta =u u u r r

①

⇔ OP OA ta =+u u u r u u u r r

②

⇔ (1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r

③

这三个式子都称为直线l 的向量参数方程．向量a r

称为该直线的方向向量．

14．设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v u r 和2v u u r

，

12l l ∥（或1l 与2l 重合）12v v ⇔u r u u r ∥；12l l ^12v v ⇔u r u u r

^．

若向量1v u r 和2v u u r

是两个不共线的向量，且都平行于平面α（即向量的基线与平面平行或在平面内），

直线l 的一个方向向量为v r

，则

l α∥或l 在α内 ⇔ 存在两个实数x y ，，使12v xv yv =+r u r u u r

．

15．如果向量n r 的基线与平面α垂直，则向量n r

就称为平面α的法向量．

设A 是空间任一点，n r 为空间内任一非零向量，则满足0AM n ⋅=u u u u r r

的点M 表示过点A 且

与向量n r 垂直的平面，0AM n ⋅=u u u u r r

称为该平面的向量表示式．

16．设12n n u u r u u r

，分别是平面αβ，的法向量，

则αβ∥或α与β重合⇔12n n u u r u u r ∥；12120n n n n αβ⇔⇔⋅=u u r u u r u u r u u r

^^

17．线面角：斜线和它在平面内的正射影的夹角叫做斜线和平面所成的角，是斜线与这个平

面内所有直线所成角中最小的角．

18．二面角：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条

直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱．每个半平面叫做二面角的面．棱为l ，两个面分别为αβ，的二面角，记作l αβ--．

在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA l ^，OB l ^，则AOB Ð叫做二面角l αβ--的平面角．

二面角的平面角的大小就称为二面角的大小．我们约定二面角的范围为[0180]°，°． 设12m m αβu u r u u r ，

^^，则角12m m 〈〉u u r u u r

，与二面角l αβ--相等或互补．