高中数学第1部分第3章3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算讲义含解析苏教版选修2_1

3．1.1 空间向量及其线性运算

[对应学生用书P48]

春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．

问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？

提示：是．

1．空间向量

(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．

(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．

2．相等向量

凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.

问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．

提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．

问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？

提示：交换律、结合律、分配律．

1．空间向量的加减运算和数乘运算

＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，

＝λa(λ∈R)．

2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律

(1)交换律：a＋b＝b＋a；

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；

(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).

空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．

问题1：向量a与b共线的条件是什么？

提示：存在惟一实数λ，使a＝λb.

问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？

提示：一定；不一定．

1．共线向量或平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．

向量a与b平行，记作a∥b.

规定，零向量与任何向量共线．

2．共线向量定理

对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.

1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．

2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．

3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．

[对应学生用书P49]

[例1] 下列四个命题：

(1)所有的单位向量都相等；

(2)方向相反的两个向量是相反向量；

(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；

(4)零向量没有方向．

其中不正确的命题的序号为________．

[思路点拨] 根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．

[精解详析] 对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．

[答案] (1)(2)(3)(4)

[一点通]

1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．

2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。

1．下列命题中正确的个数是________．

(1)如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；

(2)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

(3)同向且等长的有向线段表示同一向量；

(4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．

解析：(1)、(3)、(4)正确，(2)不正确．

答案：3

2．给出下列命题：

①若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；

②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；

③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；

④空间向量的模是一个正实数．

其中假命题的个数是________．

解析：①假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但①中向量a与b的方向不一定相同；

②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，应有＝；

③真命题．向量的相等满足传递规律；

④假命题．零向量的模为0，不是正实数．

答案：2

[例2] 化简：(－)－(－)．

[思路点拨] 根据算式中的字母规律，可转化为加法运算，也可转化为减法运算．

[精解详析] 法一：将减法转化为加法进行化简．

∵－＝＋，

∴(－)－(－)＝＋－＋

＝＋＋＋＝＋＋＋

＝＋＝0.

法二：利用－＝，－＝化简．

(－)－(－)＝－－＋

＝(－)＋(－)

＝＋＝0.

法三：∵＝－，＝－，

＝－，＝－，

∴(－)－(－)

＝(－－＋)－(－－＋)

＝－－＋－＋＋－＝0.

[一点通]

1．计算两个空间向量的和或差时，与平面向量完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键．

2．计算三个或多个空间向量的和或差时，要注意以下几点：

(1)三角形法则和平行四边形法则；

(2)正确使用运算律；

(3)有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即表示这有限个向量的和向量．

3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是________．

(1)－－；

(2)＋－；

(3)－－；

(4)－＋.

解析：(1)－－＝－＝； (2)＋－＝＋＝； (3)－－＝－ ＝－＝≠； (4)－＋＝＋＋ ＝＋≠. 故(1)(2)正确． 答案：(1)(2)

4. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若＝a ，＝b ，＝c ，则＝

________.(用a 、b 、c 表示)

解析：＝＋ ＝＋1

2(＋)

＝c ＋1

2(－a ＋b )

＝－12a ＋1

2b ＋c .

答案：－12a ＋1

2b ＋c

[例3] 如图，设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．

求证：＝1

3

(＋＋)．

[思路点拨] 利用空间向量的线性运算和共线向量定理，用、、表示，即可得出要证的结果．

[精解详析]

连结BG ，延长后交CD 于E ，由G 为△BCD 的重心，知＝23.

∵E 为CD 的中点， ∴＝12＋12

.

＝＋＝＋23＝＋1

3(＋)

＝＋1

3[(－)＋(－)]

＝1

3(＋＋)． [一点通]

1．在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形(更多的是平行四边形)或三角形中，从而可以建立已知向量与未知向量之间的关系式．

2．在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换，把一个向量用其他向量来表示，其实质就是把一个向量进行分解．

5．在本例中，若E 为CD 的中点，且＝m ＋n ＋p ，试求实数m ，n ，p 的值． 解：∵＝13＝1

3

(＋)

＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤BA ＋12( AD ＋AC ) ＝－13＋16＋1

6

＝m ＋n ＋p ，

∴m ＝－13，n ＝16，p ＝1

6

.

6.如图所示，已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且＝23，＝2

3

.

求证：四边形EFGH 是梯形．

证明：∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴＝12，＝1

2，

则＝－＝12－12

＝12(－)＝12＝1

2(－) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32 CG －32 CF →

＝34(－)＝3

4

，

∴∥且||＝3

4

||≠||.

又F 不在直线EH 上，∴四边形EFGH 是梯形．

在对向量进行加、减运算时，一定要运用其运算法则及运算律来化简，特别要注意的是将某些向量进行平移，将其转化到同一平面中去求解．

解题时应结合已知和所求，观察图形，作一些必要的辅助线，联想相关的运算法则和公式等，就近表示出所需要的向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量做出新的调整，如此反复，直到所有的向量都符合要求为止．

[对应课时跟踪训练(十八)]

1．有下列命题：(1)单位向量一定相等；

(2)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (3)相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同； (4)方向相反的两个单位向量互为相反向量； (5)起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为________个．

解析：(1)不正确，因为忽略方向；(2)方向相同，模相等的向量是相等向量，与起点无关，故(2)正确．(3)、(4)正确；(5)不正确，轨迹是个球面．

答案：3

2．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若＝a ，＝b ，＝c ，则＝________. 解析：如图，

＝－

＝－＝－－(－)

＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b

3．在下列命题中，错误命题的序号是________． ①若a ≠λb ，则a 与b 不共线(λ∈R )； ②若a ＝2b ，则a 与b 共线；

③若m ＝a －2b ＋3c ，n ＝－2a ＋4b －6c ，则m ∥n ； ④若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c .

解析：①错，当a ≠0，b ＝0，λ≠0时，a 与b 共线，②③④均正确． 答案：①

4．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知＝2e 1＋k e 2，＝e 1＋3e 2，＝2e 1－e 2，且A ，

B ，D 三点共线，则k ＝________.

解析：∵＝＋＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2， 又∵A ，B ，D 三点共线，∴＝λ， 即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

2＝λ，k ＝－4λ，

∴k ＝－8.

答案：－8

5．如图，已知空间四边形ABCD 中，＝a －2c ，＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则＝________.(用向量a ，b ，c 表示)

解析：设G 为BC 的中点，连结EG ，FG ，则＝＋

＝12＋12

＝12(a －2c )＋1

2(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c 答案：3a ＋3b －5c

6．如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简＋13－1

2

，并在图中标出化简结果的向量．

解：∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴＝1

3.

又∵12＝1

2(－)

＝12－1

2＝－＝， ∴＋13－12

＝＋－＝(如图所示)．

7．已知正四棱锥P －ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，

y ，z 的值．

(1)＝＋y ＋z ； (2)＝x ＋y ＋.

解：如图：(1)∵＝－＝－12(＋)＝－12－1

2，

∴y ＝z ＝－1

2

.

(2)∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点， ∴＋＝2，＋＝2， ∴＝2－，＝2－， ∴＝2－2＋， ∴x ＝2，y ＝－2.

8．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．

(1)化简12＋＋2

3

，并在图上以A 1A 的中点为起点标出计算结果；

(2)设M 是BD 的中点，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且BN ∶NC 1＝3∶1，试用向量，，来表示向量.

解：(1)先在图中标出12，为此可取AA 1的中点E ，则1

2

＝.

∵＝，在D 1C 1上取点F ，使D 1F ＝23D 1C 1，因此23＝23＝，又＝，从而12＋＋2

3＝＋＋＝.计算

结果如图所示．

(2)＝＋＝12＋34＝12(＋)＋3

4(＋)

＝12(－＋)＋34(＋)＝12＋14＋3

4

.