第1章 1.1.1 空间向量及其运算-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修一讲义

1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算

学

习目标核心素养

1．了解空间向量、向量的模、零向量、相反向

量、相等向量、共面向量等概念．(重点)

2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量

的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算

律．(重点、易混点)

3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算

律．(重点、易错点)

1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽

象素养．

2．借助于空间向量的线性运算，提升数学运算

素养．

3．借助于空间向量的数量积，提升数学运算及

逻辑推理的数学素养．

国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？

图1图2

1．空间向量

(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．

(2)模(或长度)：向量的大小．

(3)表示方法：

①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB →|．

②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 2．几类特殊的向量

(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．

(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．

(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．

(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．

思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？

[提示] 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面． 3．空间向量的线性运算

类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．

图1 图2

(1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC →

＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→

．

即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．

(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a ，则实数λ与空间向量a 相乘的运算称为数乘向量，记作λa ．其中：

①当λ≠0且a ≠0时，λa 的模为|λ||a |，而且λa 的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a 的方向相同；

(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．

②当λ＝0或a＝0时，λa＝0．

(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：

对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb．4．空间向量的数量积

(1)空间向量的夹角

如果〈a，b〉＝π

2，那么向量a，b互相垂直，记作a

⊥b．

(2)空间向量数量积的定义：

已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b．

(3)数量积的几何意义

①向量的投影

如图所示，过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′.

②数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0.

(4)空间向量数量积的性质：

①a⊥b⇔a·b＝0；

②a·a＝|a|2＝a2；

③|a·b|≤|a||b|；

④(λa)·b＝λ(a·b)；

⑤a ·b ＝b ·a (交换律)；

⑥(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小．

( ) (2)两个相反向量的和为零向量． ( ) (3)只有零向量的模等于0．

( ) (4)空间中任意两个单位向量必相等． ( )

[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×

[提示] 大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等．

2．下列命题中正确的是( ) A ．(a·b )2＝a 2·b 2 B ．|a·b |≤|a||b | C ．(a·b )·c ＝a·(b·c )

D ．若a ⊥(b －c )，则a·b ＝a·c ＝0

B [对于A 项，左边＝|a |2|b |2cos 2〈a ，b 〉，右边＝|a |2|b |2， ∴左边≤右边，故A 错误．

对于C 项，数量积不满足结合律，∴C 错误．

在D 中，a·(b －c )＝0，∴a·b －a·c ＝0，∴a·b ＝a·c ，但a·b 与a·c 不一定等于零，故D 错误．

对于B 项，∵a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉，－1≤cos 〈a ，b 〉≤1， ∴|a·b |≤|a||b |，故B 正确．] 3．(教材P 11练习A ②改编)化简：

(1)12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫2

3a －12b ＋23c ＝________；

(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →

)＝________．

(1)236a －32b ＋116c (2)0 [(1)原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c ＝236a －32b ＋116c ． (2)原式＝AB →－AC →－CD →＋BD →

＝CB →＋BD →－CD → ＝CD →－CD → ＝0．]

4．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则

(1)〈AB →，A 1C 1→

〉＝________； (2)〈AB →，C 1A 1→

〉＝________； (3)〈AB →，A 1D 1→

〉＝________．

(1)45° (2)135° (3)90°[(1)因为A 1C 1→＝AC →，所以〈AB →，A 1C 1→〉＝〈AB →，AC →

〉． 又∠CAB ＝45°，所以〈AB →，A 1C 1→〉＝45°． (2)〈AB →，C 1A 1→〉＝180°－〈AB →，A 1C 1→〉＝135°． (3)〈AB →，A 1D 1→

〉＝90°．]

空间向量的概念及简单应用

【例1】 A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反 B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b | C ．空间向量的减法满足结合律

D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →

B [|a |＝|b |，说明a 与b 模长相等，但方向不确定．对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB →＋AD →

＝AC →

，只有平行四边形才能成立．故A 、C 、D 均不正确．]

(2)如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：

①试写出与AB →

是相等向量的所有向量； ②试写出AA 1→

的相反向量；

③若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→

的模．

[解] ①与向量AB →是相等向量的(除它自身之外)有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→

，共3个． ②向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →

． ③|AC 1→|＝

|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2

＝22＋22＋12＝9＝3．

1．两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．

2．熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．

[跟进训练] 1．给出以下结论：

①两个空间向量相等，则它们的始点和终点分别相同； ②在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→

；

③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ．其中不正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

B [两个空间向量相等，它们的始点、终点不一定相同，故①不正确；在正方体ABCD -A 1B 1

C 1

D 1中，必有AC →＝A 1C 1→

成立，故②正确；③显然正确．故选B ．]

2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1→；②AC 1→与BD 1→；③AD 1→

与C 1B →；④A 1D →与B 1C →

．其中互为相反向量的有n 对，则n 等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

B [对于①AB →与

C 1

D 1→，③AD 1→与C 1B →长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC 1→

与BD 1→长度相等，方向不相反；对于④A 1D →与B 1C →

长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．]

空间向量的线性运算

【例2】 (1)如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，N 是A 1B 的中点，若CA →＝a ，CB →

＝b ，CC 1→＝c ，则CN →

＝( )

A ．1

2(a ＋b －c ) B ．1

2(a ＋b ＋c ) C ．a ＋b ＋1

2c D ．a ＋1

2(b ＋c )

(2)如图，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．

①AA ′→－CB →；

②AA ′→＋AB →＋B ′C ′→．

(1)B [若AB 中点为D ，CN →＝CD →＋DN →＝1

2(a ＋b ＋c )，故选B ．

]

(2)[解] ①AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AD ′→

． ②AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→． 向量AD ′→、AC ′→

如图所示：

1．首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →．

2．首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0．如图，OB →＋BC →＋CD →

＋DE →＋EF →＋FG →＋GH →＋HO →

＝0．

[跟进训练]

3．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →

＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：

(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→． [解] (1)∵P 是C 1D 1的中点，

∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→

＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b ． (2)∵N 是BC 的中点，

∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →

＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c ． (3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP → ＝－12a ＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ．

又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→

＝12AD →＋AA 1→＝1

2c ＋a ，

∴MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋3

2c ．

数量积的运算及应用

[探究问题]

1．空间两个向量夹角定义的要点是什么？

[提示] (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．

(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起． (3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉．

2．联想空间向量数量积的定义，如何求两个向量a ，b 的夹角？如何求|a ＋b |? [提示] 借助cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |

，求向量a ，b 的夹角．借助|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b

2

求模．

【例3】 如图所示，已知正四面体OABC 的棱长为1，点E ，F 分别是OA ，OC 的中点．求下列向量的数量积：

(1)OA →·OB →； (2)EF →·CB →；

(3)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)．

[思路探究] 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及两向量的夹角，注意充分结合正四面体的特征．

[解] (1)正四面体的棱长为1，则|OA →|＝|OB →

|＝1．△OAB 为等边三角形，∠AOB ＝60°，于是：

OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos 〈OA →，OB →〉 ＝|OA →||OB →

|cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12．

(2)由于E ，F 分别是OA ，OC 的中点， 所以EF

1

2AC ，

于是EF →·CB →＝|EF →||CB →|cos 〈EF →，CB →〉 ＝12|CA →|·|CB →|cos 〈AC →，CB →〉 ＝12×1×1×cos 〈AC →，CB →〉 ＝12×1×1×cos 120°＝－14． (3)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)

＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)

＝OA →2＋OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →·OA →＋OB →2－2OB →·OC →

＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1．

1．(变条件，变结论)若H 为BC 的中点，其他条件不变，求EH 的长．

[解] 由题意知OH →＝

12(OB →＋OC →)，OE →＝12OA →

，

∴EH →＝OH →－OE →＝

12(OB →＋OC →－OA →

)，

∴|EH →|2＝14(OB 2→＋OC →2＋OA →2＋2OB →·OC →－2OB →·OA →－2OC →·OA →)，

又|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝1．且〈OB →，OC →〉＝60°，〈OB →，OA →〉＝60°，〈OC →，OA →〉＝60°． ∴OB →·OC →＝12，OB →·OA →＝12，OC →·OA →＝12． ∴|EH →|2＝14⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋1＋1＋2×12－2×12－2×12＝12， 即|EH →|＝22，所以EH 的长为22．

2．(变结论)求异面直线OH 与BE 所成角的余弦值．

[解] 在△AOB 及△BOC 中，易知BE ＝OH ＝32，

又BE →＝12OA →－OB →，OH →＝12(OB →＋OC →)，

∴BE →·OH →＝14OA →·OB →＋14OA →·OC →－12OB →2－12OB →·OC →

＝14×12＋14×12－12－12×12＝－12．

∴cos 〈BE →，OH →〉＝BE →·OH →|BE →||OH →|

＝－23， 又异面直线所成角的范围为⎝ ⎛⎦

⎥⎤0，π2，故异面直线OH 与BE 所成角的余弦值为23．

1．在几何体中求空间向量的数量积的步骤

(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；

(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；

(4)代入公式a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉求解．

2．非零向量a 与b 共线的条件是a ·b ＝±|a |·|b |．

提醒：在求两个向量夹角时，要注意向量的方向．如本例中〈EF →，CB →〉＝〈AC →，CB →〉

＝120°，易错写成60°，为避免出错，应结合图形进行计算．

一、知识必备

1．空间向量的基本概念，特别注意单位向量和零向量．单位向量的长度为1，方向任意．零向量的方向是任意的，与任意向量平行，零向量与任意向量的数量积为0．

2．向量的线性运算包括向量的加法、减法与数乘运算．加减法运算遵循平行四边形法则和三角形法则，向量的数量积运算要注意两个向量的夹角．

二、方法必备

1．数形结合法：求两向量夹角时，一定要结合图形确定角的位置．

2．转化法：在求异面直线所成的角时要转化为两个向量的夹角，结合异面直线所成角的范围确定．

1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各对向量夹角为45°的是( )

A ．A

B →与A 1

C 1→ B ．AB →与CA →

C ．AB →与A 1

D 1→ D ．AB →与B 1A 1→

A [A 、

B 、

C 、

D 四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°，故选A ．]

2．在棱长为2的正四面体ABCD 中，若E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →等于( )

A ．0

B ．12

C ．－1

D ．1

D [A

E →·A

F →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·

AD →＋AC →·AD →)＝14×(2＋2)＝1．] 3．化简：2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________．

0 [2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →

＝2(AB →＋BC →＋CD →＋DA →)＋CD →＋DA →＋AC →

＝0＋CA →＋AC →＝0＋0＝0．]

4．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________． 22 [∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a·b ＋192＝242， ∴2a·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a·b ＋b 2＝530－46＝484． ∴|a －b |＝22．]