18空间向量-拔高难度-讲义

空间向量

知识讲解

一、空间向量基本知识

1.空间向量的定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示．用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0（不是0）．

注：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a，AB．

3.模：表示向量a的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a

4.方向：有向线段的方向表示向量的方向．

5.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线．

6.共线向量（平行向量）：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．

注：a平行于b记为a b

∥．

7.运算：向量的加法、减法与数乘向量运算：与平面向量类似；

二、空间向量的基本定理

共线向量定理：对空间两个向量a，b（0

b≠），a b

∥的充要条件是存在实数λ，使

→

→

=b

aλ．

共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c xa yb

=+．

空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组（x，y，z），使p xa yb zc

=++．

注：表达式xa yb zc

++，叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合．

上述定理中，a，b，c叫做空间的一个基底，记作{}

a b c

，，，其中a b c

，，都叫做基向量．

由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

三、空间向量内容

1.两个向量的夹角：已知两个非零向量a b ，

，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉，

．通常规定0πa b 〈〉≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉，

，．如果90a b 〈〉=，°，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥．

2.两个向量的数量积：已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：

||||cos a b a b a b ⋅=〈〉，

数量积的性质：

1）||cos a e a a e ⋅=〈〉，

，→

e 为单位向量 ； 2）0=⋅⇔⊥→

→→→b a b a ； 3）2||a a a =⋅； 4）a b a b ⋅||≤||||． 数量积满足如下运算律：

1）()()a b a b λλ⋅=⋅； 2）a b b a ⋅=⋅； 3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．

3.空间向量的直角坐标运算：

建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k ，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ，，，这个基底叫做单位正交基底． 空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k ；，

，． 4.投影和坐标

投影：在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一数组()z y x ,,， 使→

→

→

→

++=k z j y i x a ，其中→

→

→

k z j y i x ,,分别叫做向量a 在i j k ，，

方向上的分量或投影， 坐标：有序实数组()z y x ,,叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作

()z y x a ,,=→

．

若： 123()a a a a =，

，，123()b b b b =，，， 则： 112233()a b a b a b a b +=+++，

，；112233()a b a b a b a b -=---，，； 123()a a a a λλλλ=，，；112233a b a b a b a b ⋅=++．

注：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

典型例题

一．选择题（共1小题）

1．（2018•甘肃模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=4，M是PB上的一个动点，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y=f（x）的图象是（）

A．B．

C．D．

二．填空题（共2小题）

2．（2018•泸州模拟）已知球O是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形）的内切球，MN为球O的一条直径，点P为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是．

3．（2018春•泰州期末）若=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为．

三．解答题（共11小题）

4．（2018春•武邑县校级期末）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N．设，，．

（Ⅰ）试用，，表示向量；

（Ⅱ）若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，求MN的长．

5．（2017秋•乐山期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60o，且点F为BC'与B'C的交点，点E在线段AC'上，有AE=2EC'．

（1）求AC'的长；

（2）将用基向量，，来进行表示．设=x+y+z，求x，y，z的值．

6．（2015春•武汉校级期中）已知空间三点A（0，2，3），B （﹣2，1，6），C （1，﹣1，5）

（1）求以AB，AC为邻边的平行四边形面积

（2）求平面ABC一个法向量

（3）若向量分别与，垂直，且求的坐标．

7．（2017春•本溪县校级月考）如图，已知向量=，=，=，可构成空间向量的一个基底，若=（a1，a1，a3），=（b1，b2，b3），=（c1，c2，c3），在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算a×b=（a2b3﹣b2a3，a3b1﹣a1b3，a1b2﹣a2b1），显然的结果仍为一个向量，记作p．

（1）求证：向量为平面OAB的法向量；

（2）求证：以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积等于||；

（3）将四边形OADB按向量c平移，得到一个平行六面体OADB﹣CA1D1B1，是判断平行六面体的体积V与（）•的大小．

8．（2015秋•成都校级月考）已知直角梯形ABEF，∠A=∠B=90°，AB=1，BE=2，AF=3，C为BE的中点，AD=1，如图（1），沿直线CD折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体（如图2）

（1）求异面直线BD与EF所成角的大小．

（2）求过A、B、C、D、E这五个点的球的表面积．

9．（2013春•莱西市期中）已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设，．

（Ⅰ）求和的夹角θ的余弦值；

（Ⅱ）若向量与互相垂直，求实数k的值；

（Ⅲ）若向量与共线，求实数λ的值．

10．（2013秋•东台市校级月考）在三棱锥O﹣ABC中，已知侧棱OA，OB，OC 两两垂直，用空间向量知识证明：底面三角形ABC是锐角三角形．

11．（2013秋•任城区校级月考）在空间直角坐标系中，已知O（0，0，0），A（2，﹣1，3），B（2，1，1）．

（1）求|AB|的长度；

（2）写出A、B两点经此程序框图执行运算后的对应点A0，B0的坐标，并求出

在方向上的投影．

12．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为．

（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；

（2）设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．

13．如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ：QA1=4：1，设，，，用基底{a，b，c}表示以下向量：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

14．（2009秋•成都期末）如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．

（I）若G为△ABC的重心，，设，，，用向量a、b、c表示向量；

（II）若平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1各棱长相等且AB⊥平面BCC1B1，E为CD中点，AC1∩BD1=O，求证；OE⊥平面ABC1D1．