人教版选修21第三章空间向量的基本定理讲义

人教版选修21第三章空间向量的基本定理讲义

讲堂合作研究

重点难点突破

知识点一 共线向量定理

（1）定理内容：对空间两个向量()0,≠b b a ，b a //的充要条件是存在唯一的实数x ， 使xb a =。此定理可以分化为以下两个命题；①若()0//≠b b a ，则存在唯一实数x ，使xb a =。②存在实数x ，使()0≠=b xb a ，则b a //。

（2）在定理中为什么要准则0≠b 呢?当时0=b ，若0=a ，则b a //，也存在实数x 使xb a =；但若0≠a ，我们知道零向量和任一非零向量共线，但不存在实数x ，使xb a =，因此在定理中准则了0≠b 。若将定理写成xa b b a =⇔//，则应准则0≠a 。

说明：①在xb a =功中，敷衍确定的x 和b ，xb a =功表示空间与b 平行或共线且长度为xb 的所有向量；②利用共线向量定理可以证明两线平行，或三点共线。 知识点二 共面向量定理

（1）共面向量

已知向量a ，作a OA =，要是OA 的基线平行于平面a ，记作α//a （右

图），通常我们把平行于联合平面的向量，叫做共面向量。

说明：①α//a 是指a 的基线在平面α内或平行平面α。②共面向量是指这些向量的基线平行或在联合平面内，共面向量的基线可能相交、平行或异面。

我们已知，对空间恣意两个向量，它们总是共面的，但空间恣意三个向量就不一定共面了。比方，在下图中的长方体，向量AB 、AC 、AD ，无论怎样平移都不能使它们在联合平面内。

（2）共面向量定理

共面向量定理：要是两个向量a 、b 不共线，则向量c 与向量a 、

b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数y x ,，使yb xa

c +=。

说明：①在证明充要条件标题时，要证明两个方面即充分性和必要性。

②共面向量的充要条件给出了平面的向量表示，说明恣意一个平面可以由

两个不共线的平面向量表示出来，它既是鉴别三个向量是否共面的依据，又是已知共面条件的另一种形式，可以借此已知共面条件化为向量式，以便我们的向量运算。③利用共面向量定理可证明点线共面、线面平行等。

三个向量共面，又称做三个向量线性相关。反之，要是三个向量不共面，则称做三个向量线性无关。

知识点三 空间向量分化定理

（1）空间向量分化定理：要是三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使xc yb xa p ++=。

(2)要是三个向量a 、b 、c 是三个不共面的向量，则a 、b 、c 的线性组合zc yb xa ++能生成所有的空间向量，这时a 、b 、c 叫做空间的一个基底，记作{}c b a ,,，此中a 、b 、c 都叫做基向量。

（3）空间向量基本定理说明：①用空间三个不共面的已知和向量组{}c b a ,,可以线性表示出空间恣意一个向量，而且表示的终于是唯一的。

②空间恣意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底。

③由于0可看做是与恣意一个非零向量共线，与恣意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0。

要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。

典范例题剖析

题型1 概念标题

【例1】 设b a x +=，c b y +=，a c z +=，且{}c b a ,,是空间的个基底，给出下列向量组：

①{}x b a ,,，②{}y b a ,,，③，{}z y x ,,，④{}y x a ,,，⑤{}c b z y x ++,,。

此中可以作为空间基底的向量组有 （ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

剖析 正确理解向量的基底与基向量。

答案 如图所示，设c b a ===,,1，则

z y x ===,,1，1AC c b a =++，由A 、1B 、C 、

D 1D 四点不共面，可知x 、y 、z 也不共面，同理可知a 、b 、c

和x 、y 、z 、c b a ++也不共面。∴选D.

要领指导 能否作为空间的基底，便是鉴别给出的向量组中的三个向量是否共面。充分利用一些常见的几多体，如：正方体、长方体、平行六面体、四面体等可以帮助我们举行直观鉴别，即模型法的应用。

【变式训练1】 设a 、b 、c 是三个不共面向量，现从①b a +，②b a -，③c a +，④c b +，⑤c b a -+中选出一个使其与a 、b 组成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为 。

【答案】 ③④⑤。

题型2 共线向量定理的应用

【例2】 已知空间三个不共面的向量p n m ,,，若p n m a 423--=，

()p yn m x b 21+++=，且b a //，求实数y x ,的值。

剖析 办理向量共线标题的依据是应用共线向量的充要条件，即()R a b ∈=λλ，且λ是唯一确定的实数及0≠a 。

答案 因为b a //，所以()R a b ∈=λλ，

即()p n m p yn m x λλλ42321--=+++。

由于向量p n m ,,不共面，所以⎪⎩

⎪⎨⎧+==-=-,13,2,24x y λλλ 解之，得⎪⎩

⎪⎨⎧=-=,1,25y x 故实数y x ,的值分别为1,25-。 纪律总结 待定系数法也可以用来办理空间向量中的有关标题。在办理本题的历程中有

两个要害：一是运用共线向量的充要条件得到相应的干系式；二是根据空间向量定理的推论得到关于y x ,,λ的方程组。

【变式训练2】 已知空间三个非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a 5,3=-=+，鉴别向量a 与b 是否平行。

答案 因为⎩⎨⎧=-=+c

b a

c b a 53 ②① 所以2②

①+得：c a 4=，2②

①-得：c b -=，所以b a 4-=，故由共线向量充要条件

得：b a //。

【变式训练3】 已知向量a 、b ，且b a CD b a BC b a AB 27,65,2-=+-=+=，则一定共线的三点是 （ ）

A.A 、B 、D

B.A 、B 、C

C.B 、C 、D

D.A 、C 、D

答案 b a b a b a 2422765=+=-++-==+。所以//，所以A 、B 、D 三点共线。∴选A.

题型3 共面向量定理及应用

【例3】 已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，确定下列各条件中的点P 是否与点A ，B ，C 一定共面，（1）5

25152++=；（2）OC OB OA OP --=22。

剖析 由共面向量定理知，要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要证明存在有序实数对()y x ,使得y x +=。

答案 （1）共面。OC OB OA OP 5

25152++= ， ()()

5

2515251525153+=-+-=++-=-∴，即5251+=. 主不共线，,,∴共面且具有大众点A ，从而P ，A ，B ，C 四点共面。

（2）不共面。要是P 与A ，B ，C 共面，则存在唯一的实数对()y x ,，使得

y x +=，对平面ABC 外一点O ，有()()y x -+-=-，即()y x y x ++--=1，与原式比较得⎪⎩

⎪⎨⎧-=-==--,1,2,21y x y x ，此方程组无解，故A ，

B ，

C ，P 四点不共面。

纪律总结 鉴别四点共面，除了本题中的解题要领外，还可以用其变形，即：空间一点P 位于平面ABC 内的充分必要条件是存在有序实数对()y x ,，使得对空间任一定点O ，有AC y AB x OA OP ++=；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则对空间任一定点O ，有 ()1=++++=z y x z y x 。

【变式训练4】 如果321,,e e e 三个不共面的向量，试问向量32123e e e a ++=，3213e e e b ++-=，32142e e e c --=是否共面，并说明理由。

答案 令()()()042323321321321=--+++-+++e e e z e e e y e e e x ，

亦即，()()()043223321=--+-+++-e z y x e z y x e z y x ，

因为321,,e e e 是三个不共面的向量，

所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+-,043,02,023z y x z y x z y x ，解得⎪⎩

⎪⎨⎧==-=,5,7,1z y x

从而c b a c b a ,,,57+=三个向量共面。

【例4】 求证：三向量21212132,23,e e c e e b e e a +=-=+=共面；若nc mb a +=，试求实数n m ,的值。

剖析 要证明三个向量21212132,23,e e c e e b e e a +=-=+=共面，可以利用向量共面定理的推论，证明存在三个不全为零的实数γμλ,,，使得0=++c b a γμλ即可。 答案

()()()()()2212121321233223e e e e e e e e c b a γμλγμλγμλγμλ+-+++=++-++=++

要是γμλ,,，适合方程组⎩⎨⎧=+-=++,

032,023γμλγμλ

那么就能使0=++c b a γμλ，

而显然上述方程组有多数组解⎪⎩

⎪⎨⎧==-=,5,,13t t t γμλ，此中R t ∈。

于是有0513=++-tc tb ta ，所以，c b a ,,三向量共面，而且可得c b a 135131+=

。 故所求的实数13

5,131==m 。 纪律总结 事实上，敷衍恣意两非零向量21,e e ，则2111e e a μλ+=，2212e e b μλ+=，()R e e c ∈+=3213212313,,,,,μμμλλλμλ总是共面的。从本题的解法中不难发觉，其解题要领是一箭双雕，即在证明c b a ,,三向量共面同时，只要对结论稍作变形就得到了m 与n 的值。别的，面对解题历程中关于γμλ,,的方程组有数组解的环境，若不能利用此中的一组解，或者是获得λμ与λ

γ的值，就不能就得所求的m 与n 的值。 【变式训练5】 已知c b a ,,是三个不共面向量，若c b a ,,的开始相同，则当实数t 为何值时，tc b a ,,及()c b a ++4

1的终点共面？ 答案 由于tc b a ,,及

()c b a ++41的终点共面，所以等价于a tc a b --,及()a c b a -++4

1共面，于是，设 ()()()041=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡-+++-+-a c b a a tc a b γβα， 所以04443=⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛

---c y b a γβγαγβα.

故有方程组⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=---,04,04,043γβγαγβαy 有解， （1）+（2）得：γβ21=，由（3）得：γβt 41-=，所以2141=t ，即2

1=t . 题型4 空间向量分化定理及应用

【例5】 如右图所示，平行六面体C B A O OABD ''''-，且a OA =，c OO b OC ==,，用c b a ,,表示如下向量：

（1）OB 、B O '、AC ；

（2）GH （G 、H 分别是侧面C C B B ''和C B A O ''''的中心）。

剖析 OA 、OB 、OC 不共面，可作为空间的一个基底，其他向量用（OA 、OB 、OC ）表示出来。

答案 （1）c b a OO OC OA BB OB OB ++=++=+=，

c b a b a c OC OA O O OB O O B O -+=++=++'=+'='，

a c

b A O A A OC A A AO AB C C AC C A -+='-'+='++='+='。

（2）()()

O O B O OC B O OH OG OH GO GH '+'++'-=+-=+=2

121()()()b c c c b a b c b a -=+++++++-=2

12121. 纪律总结 在平行六面体中，从联合极点出发的三条棱所对应的向量都可作为基底。向量法的要害便是用已知表示未知，然后举行向

量的运算。

【变式训练6】如图，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是

ABC ∆、OBC ∆的重心，设a OA =、b OB =，c OC =，试用向量a 、b 、c 表示向量GH 。 答案 由OG OH GH -=.

()()c b OC OB OD OH +=+⨯==3

1213232 ， ()-+=+=+=3

232 ()

()c b a ++=+⨯+=3

131213231， ()()a c b a c b GH 31313131-=+--+=∴，即a 31-=. 题型5 综合应用

【例6】 如图所示，H G F E ,,,分别为正方体1111D C B A ABCD -

的棱11111111,,,C D C B D A B A 的中点。求证：

（1）B D F E ,,,四点共面；

（2）平面//AEF 平面BDHG 。

剖析 由共面向量定理可知，要证明B D F E ,,,四点共面，只要证明存在有序实数对y x ,使得y x +=即可；

要证明平面//AEF 平面BDHG ，只要证明平面AEF 内的两条直线平行于平面BDHG 内的两条相交直线即可。

答案（1）D B E 211+=+=+= ，

EF EB ED ,,∴共面且具有大众点E ，

B D F E ,,,∴四点共面。

（2）H G F E ,,, 分别是11111111,,,C D C B D A B A 的中点，

B BB A AA GH D B =+=+===111111,2

1， BG AF GH EF //,//∴，

//EF ∴平面BDHG ，//AF 平面BDHG ，又F EF AF = ，

∴平面//AEF 平面BDHG 。

要领指导 （1）要证明B D F E ,,,四点共面，也可以证明BD EF //，也即只要证明：EF BD λ=。()

EF E A F A E A F A B A D A AB AD BD 222211111111=-=-=-=-= ，

, 共线，又EF BD , 不重合，EF BD //∴，即B D F E ,,,四点共面。

（2）要证明两平面平行，只要证明一平面内有两条相交直线平行于另一平面。转化为向量标题便是要证明，一个平面内两条直线对应的向量分别与另一平面内的两条相交直线所对应的向量共线即可。

【变式训练7】 已知H G F E ,,,分别是空间四边形ABCD 的边DA CD BC AB ,,,的中点，

（1）求证：H G F E ,,,四点共面；

（2）求证：//BD 平面EFGH 。

答案（1）如图，由题意知BD EH 21=且BD FG 2

1=，FG EH =∴，∴四边形EHGF 是平行四边形，E ∴、F 、G 、H 四点共面。

（2）由（1）知EH 21=，BD EH //∴，即EH

BD //.又⊄BD 平面EFGH ，

⊂EH 平面EFGH ，//BD ∴平面EFGH 。

纪律 要领 总结 （1）0与任一向量a 是共线向量。

（2）向量的平行（共线）不具备传递性，即若b a //，c a //不定有c b //。但当a 为非零向量时，平行（共线）的传递性将成立，即若0≠a ，b a //，c a //，则c b //。

（3）在共线向量定理中，0≠b 不可去掉，不然实数λ就不唯一。

（4）要是a 、b 共线，则yb xa p +=不是p 、a 、b 共面的充要条件。原因是：若a 、b 共线，则p 与a 、b 一定共面。当p 与a 、b 不共线时，p 无法写成yb xa +的形式；当p 与a 、b 共线时，虽然可以写成yb xa p +=的形式，但实数对y x ,不唯一。

（5）利用空间向量的分化定理时，不可忽视条件中三向量“c b a ,,不共面”的条件。

（6）证明两向量共线的要领：

首先鉴别两向量中是否有零向量。如有，则两向量共线；若两向量a ，b 中，0≠b ，且有()R x xb a ∈=，则a ，b 共线。

（7）鉴别三向量是否共面的依据：

共面向量定理是鉴定三个向量是否共面的依据，要证明三个向量c b a ,,共面，只需存在一对实数y x ,，使yc xb a +=就可以了。在证明时要连合空间图形，若议决运算得不出c b a ,,的向量等式，x 、y 就不存在，c b a ,,就不共面。但一定要注意：三个向量共面是指它们所在的基线平行于联合平面或在联合平面内，并不是指它们的基线一定在联合平面内，利用此定理可以证明四点共面。

（8）空间向量基本定理的应用要领：

选定空间不共面的三个向量作为基向量，用它们表示指定向量时，要连合图形，遐想相关的公式和运算准则等表示出与指定向量靠近的向量，再变形整理直至相符目标。

定时 稳固 检测

基础训练

1.设M 是ABC ∆的重心，记BC a =，CA b =，AB c =，0=++c b a ，则AM 为（ ） A.2c b - B.2b c - C.3c b - D.3

b c - 【答案】D （点拨：M 为ABC ∆重心，则

()()

()b c AC AB AC AB AM -=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=31312132.） 2.如图所示，已知C B A ,,三点不共线，P 为一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP 的为 （ ）

A.AC AB OA 22++

B.AC AB OA 23--

C.AC AB OA 23-+

D.AC AB OA 32-+

【答案】C （点拨：根据A 、B 、C 、P 四点共面的条件即可求得：AC y AB x AP +=。

即y x ++=，由图2,3-==y x .）

3.下列命题中真命题的个数是 （ ）

①空间中的任何一个向量都可用c b a ,,表示

②空间中的任何一个向量都可用基向量c b a ,,表示

③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示

④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

【答案】C （点拨：正确的命题是②③。）

4.已知向量()c b a ,,是空间的一个基底，从c b a ,,中选哪一个向量，一定可以与向量b a p +=，b a q -=组成空间的另一个基底（ ）

A. a

B.b

C.c

D.不存在

【答案】C （点拨：设yc xp zc +=，则()()()()b y x a y x b a y b a x zc -++=-+++= 因()c b a ,,为基底，只能有0===z y x .）

5.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为AC OB ,，M 、N 分别是BC OA ,的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的定比为2，现用向量,,表示向量，设z y x ++=，则z y x ,,，的值分别是 （ ） A.3

1,31,31===

z y x B.61,31,31===z y x C.3

1,61,31===z y x D.31,31,61===

z y x

【答案】D 2=GN

，知OM 3221+=+= ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-++=2121213221 3

1,61313161===∴++=z y x . 能力提拔

6.空间四边形OABC 中，c OC b OB a OA ===,,，点M 在OA 上，且MA OM 2=，N 为BC 中点，则MN 为 （ ） A.

c b a 213221+- B.c b a 2

12132++- C.c b a 322121-+ D.c b a 213232-- 【答案】B （点拨：++=

2

12121++-=.） 7.已知C B A ,,三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OC OB OA OP λ++=

3

251确定的一点P 与C B A ,,三点共面，则=λ 。 【答案】152（点拨：由P 与C B A ,,三点共面，13251=++∴λ，解得15

2=λ.） 8. 在长方体1111D C B A ABCD -中，若E 为矩形ABCD 对角线交点，则

111111D yA B xA A A E A ++=中的y x ,值应为=x ，=y 。

【答案】

21,21（点拨：()()111111112

121B A D A A A AD AB A A AE A A E A ++=++=+=，21==∴y x .） 9.如图所示，已知长方体1AC 中，M 为1DD 的中点，N 在AC 上，且1:2:=NC AN ，E 为BM 的中点。求证:N E A ,,1三点共线。

【答案】设c AA b AD a AB ===1,,，则=-=-=-=11113232AA AC AA AC AA AN N A ()()()()[]

111112121,32AA AM AA AB M A B A E A c b a -+-=+=-+ ()c b a c c b c a 43212

12121-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=. N A E A 1143=

∴.故N E A ,,1三点共线。 10.如图所示，已知L K H G F E ,,,,,分别为正方体1AC 的棱111111,,,,,D A D C CC BC AB AA 的中点，求证:KL GH EF ,,三线共面。

【答案】设c AA b AD a AB ===1,,，则

()

()c a AA AB B A EF -=-==21212111。 ()c b AD BC GH +===2

1212111， ()b a AC CA A C KL +-=-===2121212111， KL GH EF --=∴.故KL GH EF ,,共面。