高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量的坐标讲义(含解析)湘教版选修2-1-湘教版高
3．2空间向量的坐标
[读教材·填要点]
1．定理1
设e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则
(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.
(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.
2．定理2(空间向量基本定理)
设e1，e2，e3是空间中三个不共面的单位向量，则
(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.
(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.
3．空间向量运算的坐标公式
(1) 向量的加减法：
(x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，
(x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．
(2)向量与实数的乘法：
a(x，y，z) ＝(ax，ay，az)．
(3)向量的数量积：
(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
(4)向量v＝(x，y，z)的模的公式：
|v|＝x2＋y2＋z2.
(5)向量(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)所成的角α的公式：
cos α＝
x1x2＋y1y2＋z1z2
x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22
.
4．点的坐标与向量坐标
(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
(2)两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)的距离d AB 为：
d AB ＝x 2－x 1
2
＋y 2－y 1
2
＋z 2－z 1
2
.
(3)线段的中点坐标，等于线段两端点坐标的平均值．
[小问题·大思维]
1．空间向量的基是唯一的吗？
提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一组基，所以空间的基有无数个，因此不唯一．
2．命题p ：{a ，b ，c }为空间的一个基底；命题q ：a ，b ，c 是三个非零向量，则命题p 是q 的什么条件？
提示：p ⇒q ，但q
p ，即p 是q 的充分不必要条件．
3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置是否有关系？
提示：空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其线线、线面、面面的位置关系是固定的，坐标系的不同，只会影响其计算的繁简．
4．平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？
提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算理是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．
空间向量基本定理的应用
空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ―→＝a ，OB ―→
＝b ，
OC ―→＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG ―→和GH ―→.
[自主解答] ∵OG ―→＝OA ―→＋AG ―→
， 而AG ―→＝23AD ―→，AD ―→＝OD ―→－OA ―→.
∵D 为BC 的中点， ∴OD ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)
∴OG ―→＝OA ―→＋23
AD ―→
＝OA ―→＋23
(OD ―→－OA ―→)
＝OA ―→＋23·12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→
＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝1
3(a ＋b ＋c )． 而GH ―→＝OH ―→－OG ―→，
又∵OH ―→＝23OD ―→＝23·12(OB ―→＋OC ―→)＝1
3(b ＋c )
∴GH ―→＝1
3(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .
∴OG ―→＝13(a ＋b ＋c )；GH ―→
＝－13
a .
本例条件不变，若E 为OA 的中点，试用a ，b ，c 表示DE ―→和EG ―→
. 解：如图，DE ―→＝OE ―→－OD ―→
＝12OA ―→－12(OB ―→＋OC ―→) ＝12a －12b －12c . EG ―→＝OG ―→－OE ―→
＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)－12OA ―→ ＝－16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→
＝－16a ＋13b ＋13
c .
用基表示向量时：
(1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
(2)若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．
1.如图所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，设AB ―→＝a ，AD ―→
＝b ，AA 1―→
＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：
(1)AP ―→；(2)AM ―→. 解：连接AC ，AD 1， (1)AP ―→＝12(AC ―→＋AA 1―→)
＝12(AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→) ＝1
2(a ＋b ＋c )． (2)AM ―→＝12(AC ―→＋AD 1―→)
＝12(AB ―→＋2AD ―→＋AA 1―→) ＝12a ＋b ＋12
c . 空间向量的坐标运算
已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB ―→，b ＝AC ―→
.
(1)设|c |＝3，c ∥BC ―→
，求c .
(2)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k .
[自主解答] (1)∵BC ―→＝(－2，－1,2)且c ∥BC ―→
， ∴设c ＝λBC ―→
＝(－2λ，－λ，2λ)． ∴|c |＝
－2λ
2
＋－λ
2
＋2λ
2
＝3|λ|＝3.
解得λ＝±1，
∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB ―→＝(1,1,0)，b ＝AC ―→
＝(－1,0,2)， ∴ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(ka ＋b )⊥(ka －2b )，
∴(ka ＋b )·(ka －2b )＝0.
即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2
＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－5
2
.
本例条件不变，若将(2)中“互相垂直”改为“互相平行”，k 为何值？ 解：∵ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，
设ka ＋b ＝λ(ka －2b )，则⎩⎪⎨⎪
⎧
k －1＝λk ＋2，k ＝λk ，
2＝－4λ，
∴k ＝0.
已知两个向量垂直(或平行)时，利用坐标满足的条件可得到方程(组)进而求出参数的值．这是解决已知两向量垂直(或平行)求参数的值的一般方法．在求解过程中一定注意合理应用坐标形式下的向量运算法则，以免出现计算错误．
2．若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．分别求满足下列条件的实数k 的值： (1)(ka ＋b )∥(a －3b )； (2)(ka ＋b )⊥(a －3b )．
解：ka ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，
a －3
b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)
＝(7，－4，－16)． (1)若(ka ＋b )∥(a －3b )， 则
k －27＝5k ＋3－4
＝－k ＋5
－16
，
解得k ＝－1
3
.
(2)若(ka ＋b )⊥(a －3b )，
则(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0， 解得k ＝106
3.
点的坐标与向量坐标
在直三棱柱ABO A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π
2
，AO ＝4，BO ＝2，AA 1
＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ―→，A 1B ―→
的坐标．
[自主解答] (1)∵DO ―→＝－OD ―→＝－(OO 1―→＋O 1D ―→
) ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤OO 1―
→＋12（OA ―→＋OB ―→）
＝－OO 1―→－12OA ―→－12
OB ―→
.
又|OO 1―→|＝4，|OA ―→|＝4，|OB ―→
|＝2， ∴DO ―→
＝(－2，－1，－4)．
(2)∵A 1B ―→＝OB ―→－OA 1―→＝OB ―→－(OA ―→＋AA 1―→) ＝OB ―→－OA ―→－AA 1―→.
又|OB ―→|＝2，|OA ―→|＝4，|AA 1―→
|＝4， ∴A 1B ―→
＝(－4,2，－4)．
用坐标表示空间向量的方法步骤为：
3．如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，
PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN ―→
的
坐标．
解：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB ―→，AD ―→，AP ―→
是两两垂直的单位向量．
设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，AP ―→
＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz .
法一：∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→
＝－12AB ―→＋AP ―→＋12PC ―→
＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AC ―→)
＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AB ―→＋AD ―→)
＝12AD ―→＋12AP ―→＝1
2e 2＋12e 3， ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12，12.
法二：如图所示，连接AC ，BD 交于点O . 则O 为AC ，BD 的中点，连接MO ，ON ， ∴MO ―→＝12BC ―→＝12AD ―→，
ON ―→＝12AP ―→
，
∴MN ―→＝MO ―→＋ON ―→ ＝12AD ―→＋12AP ―→ ＝12e 2＋12e 3. ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.
解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试
已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且PM ―→＝2MC ―→，N 为PD 的中点，求满足MN ―→＝x AB ―→＋y AD ―→＋z AP ―→
的实数x ，y ，z 的值．
[解] 法一：如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN ―→＝EN ―→
－EM ―→.
∵EN ―→＝12CD ―→＝12BA ―→＝－12
AB ―→
，
EM ―→＝PM ―→－PE ―→＝23PC ―→－12PC ―→＝16PC ―→，
连接AC ，则PC ―→＝AC ―→－AP ―→＝AB ―→＋AD ―→－AP ―→
， ∴MN ―→＝－12AB ―→－16(AB ―→＋AD ―→－AP ―→
)
＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→
，
∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16
.
法二：如图所示，在PD 上取一点F ，使PF ―→＝2FD ―→
，连接MF ， 则MN ―→＝MF ―→＋FN ―→， 而MF ―→＝23CD ―→＝－23AB ―→
，
FN ―→＝DN ―→－DF ―→＝12DP ―→－13DP ―→
＝16DP ―→＝16(AP ―→－AD ―→
)， ∴MN ―→＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→.
∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝1
6
.
法三：MN ―→＝PN ―→－PM ―→＝12PD ―→－23PC ―→
＝12(PA ―→＋AD ―→)－23
(PA ―→＋AC ―→
) ＝－12AP ―→＋12AD ―→－23(－AP ―→＋AB ―→＋AD ―→)
＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，
∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16
.
[点评] 利用基向量表示空间中某一向量的方法步骤为： ①找到含有空间向量的线段为一边的一个封闭图形；
②结合平行四边形法则或三角形法则，用基向量表示封闭图形的各边所对应的向量； ③写出结论．
1．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG ―→
等于( )
A.16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→
B.14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)
C.13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)
D.16OB ―→＋13OA ―→＋13
OC ―→ 解析：如图，OG ―→＝12(OM ―→＋ON ―→)
＝12OM ―→＋12×12(OB ―→＋OC ―→) ＝14OA ―→＋14OB ―→＋14OC ―→ ＝14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)． 答案：B
2．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3)
解析：b ＝(a ＋b )－a
＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)． 答案：B
3．a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－1
2
C ．x ＝16，y ＝－32
D ．x ＝－16，y ＝3
2
解析：∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线，故有2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－3
2
.
答案：C
4．已知点A (－1,3,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP ―→＝2PB ―→，则|PD ―→
|的值是________． 解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP ―→＝2PB ―→， 得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x,3－y,4－z )，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－1，y ＝3，
z ＝3，
即P (－1,3,3)， 则|PD ―→|＝
－1－1
2
＋3－1
2
＋3－1
2
＝12＝2 3. 答案：2 3
5．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB ―→与CA ―→
的夹角θ的大小是________．
解析：AB ―→＝(－2，－1,3)，CA ―→
＝(－1,3，－2)，
cos 〈AB ―→，CA ―→
〉＝－2×－1＋－1×3＋3×－214·14
＝
－714＝－12
， ∴θ＝〈AB ―→，CA ―→
〉＝120°. 答案：120°
6．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的三等分点且|PN ―→
|＝2|NC ―→|，|AM ―→|＝2|MB ―→|，PA ＝AB ＝1，求MN ―→
的坐标．
解：法一：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设DA ―→＝i ，AB ―→
＝
j ，AP ―→
＝k ，以i ，j ，k
为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→ ＝－23AB ―→＋AP ―→＋23
PC ―→
＝－23AB ―→＋AP ―→＋23(－AP ―→＋AD ―→＋AB ―→)
＝13AP ―→＋23AD ―→＝13k ＋23(－DA ―→) ＝－23i ＋13k ，
∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2
3
，0，13.
法二：设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→
＝k ，以i ，j ，k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M 作AD 的平行线交CD 于点E ，连接EN .
∵MN ―→＝ME ―→＋EN ―→
＝AD ―→＋13DP ―→＝－DA ―→＋13(DA ―→＋AP ―→)
＝－i ＋13(i ＋k )＝－23i ＋1
3k ，
∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2
3，0，13.
一、选择题
1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基的一组向量是( ) A ．3a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －2a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －c
D ．c ，a ＋c ，a －c
解析：对于A ，有3a ＝2(a －b )＋a ＋2b ，则3a ，a －b ，a ＋2b 共面，不能作为基；同理可判断B 、D 错误．
答案：C
2．以正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与DB 1―→
共线的向量的坐标可以是( )
A ．(1，2，2)
B ．(1,1，2)
C ．(2，2，2)
D ．(2，2，1)
解析：设正方体的棱长为1，则由图可知D (0,0,0)，B 1(1,1,1)， ∴DB 1―→
＝(1,1,1)，
∴与DB 1―→
共线的向量的坐标可以是(2，2，2)． 答案：C
3．空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA 上，且OM ―→＝2MA ―→
，N 为BC 中点，则MN ―→
为( )
A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c
C.12a ＋12b －23
c D.23a ＋23b －12
c 解析：MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→ ＝13OA ―→＋OB ―→－OA ―→＋12(OC ―→－OB ―→) ＝－23OA ―→＋12OB ―→＋12OC ―→
＝－23a ＋12b ＋12c .
答案：B
4．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为8
9，则λ＝( )
A ．2
B ．－2
C ．－2或2
55
D ．2或－2
55
解析：因为a ·b ＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，
又因为a ·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝5＋λ2·9·89＝835＋λ2
，
所以835＋λ2
＝6－λ.
解得λ＝－2或2
55.
答案：C 二、填空题
5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________. 解析：∵a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)， ∴(a ＋b )·c ＝－2－x ＋2(x ＋3)＝x ＋4. 又∵(a ＋b )⊥c ， ∴x ＋4＝0，即x ＝－4. 答案：－4
6．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ＝________.
解析：由a ，b ，c 共面可得c ＝xa ＋yb ， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.
答案：10
7．若a ＝(x,2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值X 围是________． 解析：a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos
θ＝
a ·b
|a ||b |
<0，又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2，所以实数x 的取值X 围是(－∞，2)．
答案：(－∞，－2)
8．已知M 1(2,5，－3)，M 2(3，－2，－5)，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M 1M 2―→＝4MM 2―→
，则向量OM ―→
的坐标为________．
解析：设M (x ，y ，z )，则M 1M 2―→
＝(1，－7，－2)，
MM 2―→
＝(3－x ，－2－y ，－5－z )．
又∵M 1M 2―→＝4MM 2―→
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＝43－x ，－7＝4－2－y ，
－2＝4－5－z ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝114
，
y ＝－1
4，
z ＝－92.
答案：⎝
⎛⎭
⎪⎫114，－14，－92
三、解答题
9．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1，5)，C (3,2，－5)． (1)求△ABC 的面积； (2)求△ABC 中AB 边上的高．
解：(1)由已知得AB ―→＝(1，－3,2)，AC ―→
＝(2,0，－8)， ∴|AB ―→
|＝ 1＋9＋4＝14， |AC ―→
|＝4＋0＋64＝217，
AB ―→·AC ―→
＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
cos 〈AB ―→，AC ―→
〉＝AB ―→·AC ―→|AB ―→|·|AC ―→|＝－1414×217＝－14217，
sin 〈AB ―→，AC ―→
〉＝
1－1468
＝2734
. ∴S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→
〉
＝1
2
×14×217×27
34
＝321. (2)设AB 边上的高为CD ， 则|CD ―→
|＝2S △ABC |AB ―→|
＝3 6.
10.如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.
(1)求向量OD ―→
的坐标；
(2)设向量AD ―→和BC ―→
的夹角为θ，求cos θ的值．
解：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.
∴DE ＝CD ·sin 30°＝
32
. OE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12
，
∴D 点坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，－12，32，
即向量OD ―→的坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，－12，32.
(2)依题意：OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，12，0，
OB ―→＝(0，－1,0)，OC ―→
＝(0,1,0)． 所以AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，32，
BC ―→＝OC ―→－OB ―→
＝(0,2,0)． 设向量AD ―→和BC ―→
的夹角为θ，则 cos θ＝AD ―→·BC
―→|AD ―→|·|BC ―→|
＝
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－32×0＋－1×2＋32×0⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·02＋22＋02
＝
－2
10
＝－105.
∴cos θ＝－10
5
.
人教版高中数学选修2-1学案：第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法
§3.2 立体几何中的向量方法 知识点一用向量方法判定线面位置关系 (1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系： ①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)． ②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)． (2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系： ①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2， 1 2 -)． ②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)． (3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系． ①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)． ②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)． 解(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)， ∴a＝－1 3 b，∴a∥b，∴l1∥l2. ②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2， 1 2 -)， ∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β. ②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－3 5 v，∴u∥v，∴α∥β. (3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴l?α或l∥α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)， ∴u＝－1 4 a，∴u∥a，∴l⊥α. 知识点二利用向量方法证明平行问题 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题 1．用向量方法证明空间中的平行关系 (1)证明线线平行 设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m?□01a∥b?□02 a＝λb?□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (2)证明线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)， 平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)， 则l∥α?□04a⊥u?□05a·u＝0?□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (3)证明面面平行 ①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?□07u∥v?u＝λv?□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． ②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． 2．用向量方法证明空间中的垂直关系 (1)证明线线垂直 设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2?□09u1⊥u2?□10u1·u2＝0?□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)证明线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?□12 u∥v?□13u＝λv(λ∈R)?□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (3)证明面面垂直 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?□15u ⊥v?□16u·v＝0?□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( ) (2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.1直线的方向向量及平面的法向量讲义
3．2.1 直线的方向向量及平面的法向量 1．用向量表示直线的位置 (1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定 (2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定 3．空间中平行、垂直关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线上任意两个不同的点A ，B 表示的向量AB → 都可作为该直线的方向向量．( ) (2)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( ) (3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________． (2)已知a ＝(2，－4，－3)，b ＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n ＝(1，m ，n )是α的一个法向量，那么m ＝________，n ＝________. (3)(教材改编P 104T 2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6， k )，若α∥β，则k ＝________. (4)已知直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1＝(1,2，－2)，v 2＝(－3，－6,6)，则直线l 1， l 2的位置关系为________． 答案 (1)(2,4,6) (2)1 2 0 (3)4 (4)平行 探究1 点的位置向量与直线的方向向量 例1 (1)若点A ? ????－1 2，0，12，B ? ????12，2，72在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A.? ????13，23，1 B.? ????1 3 ，1，23 C.? ????23，13，1 D.? ?? ??1，23，13 (2)已知O 为坐标原点，四面体OABC 的顶点A (0,3,5)，B (2,2,0)，C (0,5,0)，直线BD ∥ CA ，并且与坐标平面xOz 相交于点D ，求点D 的坐标． [解析] (1)AB →＝? ????12，2，72－? ????－12，0，12＝(1,2,3)，? ????13，23，1＝1 3 (1,2,3)＝13AB →，又因
高中数学选修2-1新教学案：第三章空间向量与立体几何小结与复习
第三章 空间向量与立体几何 小结与复习 考试要求: （1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘． （2）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算． （3）掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式． （4）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念． (5)理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念 (6)会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）. 对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计 (7)掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法； (8)熟练掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题. 知识回顾: 1．空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 b a +=+=； b a -=-=； )(R a OP ∈=λλ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+； ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++； ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(. 3．共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线， 也可能是平行直线． 4．共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝ λb . 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA ta =+ ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量. 5．向量与平面平行：
数学：第三章《空间向量与立体几何》教案(人教版选修2-1)
高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版 （理） 【本讲教育信息】 一、教学内容： 选修2—1 空间向量及其运算 二、教学目标： 1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。 2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。 3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。 三、知识要点分析： 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a OP ∈=λλ 运算律： （1）加法交换律：a b b a +=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ （3）数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实 数λ，使a ＝λb . 4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是
存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。 5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角 定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作>≤≤===<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。 7．数量积 （1）设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量>． ②0a b a b ⊥⇔⋅=． ③2 ||a a a =⋅． （4）空间向量数量积运算律： ①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅． ②a b b a ⋅=⋅（交换律）． ③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）． 8．空间向量的直角坐标运算律 （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 0b a b a b a 0332211=++⇔=⋅⇔⊥ （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （3）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则2 2 2 123||a a a a a a = ⋅=++2 2 2 123||b b b b b b =⋅=++． （4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则222,212121()()()A B d x x y y z z -+-+-．
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案1
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案 课题：平面向量知识复习 教学目标： 复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备 教学重点：平面向量的基础知识 教学难点：运用向量知识解决具体问题 教学过程： 一、基本概念 向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。 二、基本运算 1、向量的运算及其性质
2、平面向量基本定理： 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a = ； 注意)(2 1OB OA OP += ,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示） 4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥ 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示） 三、课堂练习 1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC －2OA )=0，则 ?ABC 是（ ） A ．以A B 为底边的等腰三角形 B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形
2．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ?=?=?，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 3．在四边形ABCD 中，?→ ?AB ＝?→ ?DC ，且?→ ?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45?，则以52a p q =+ ，3b p q =- 为邻边的平行四边 形的一条对角线长为（ ） A ．15 B ． C ． 14 D ．16 5．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OA OP =+ +λ， ),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 6．设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，-1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A ．),2()2,2 1(+∞- B ．),2(+∞ C ．),2 1(+∞- D ．)21,(- -∞ 7．若()(),0, 7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则b c 上的投影为 。 8．向量(,1),(4,5),(,10)O A k O B O C k ===- ，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝ ． 9．在直角坐标系xoy 中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC |=2,则OC = 10．在ABC ?中，O 为中线AM 上一个动点，若AM =2，则)(OC OB OA +?的最小值是__________。
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量的坐标讲义(含解析)湘教版选修2-1-湘教版高
3．2空间向量的坐标 [读教材·填要点] 1．定理1 设e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则 (1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3. (2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′. 2．定理2(空间向量基本定理) 设e1，e2，e3是空间中三个不共面的单位向量，则 (1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3. (2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′. 3．空间向量运算的坐标公式 (1) 向量的加减法： (x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)， (x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)． (2)向量与实数的乘法： a(x，y，z) ＝(ax，ay，az)． (3)向量的数量积： (x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (4)向量v＝(x，y，z)的模的公式： |v|＝x2＋y2＋z2. (5)向量(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)所成的角α的公式： cos α＝ x1x2＋y1y2＋z1z2 x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22 . 4．点的坐标与向量坐标 (1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
高中数学人教A版选修2-1第三章 空间向量与立体几何
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作） 第三章 空间向量与立体几何 §3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 课时目标 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示． 2．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义． 2．几类特殊向量 (1)零向量：____________的向量叫做零向量，记为________． (2)单位向量：________的向量称为单位向量． (3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． (4)相反向量：与向量a 长度______而方向________的向量，称为a 的相反向量，记为________． 3．空间向量的加减法与运算律 空间向量 的加减法 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)： OB →＝OA →＋AB →＝__________；CA →＝OA →－OC →＝________.
加法运 算律 (1)交换律：a ＋b ＝________ (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝____________.； 一、选择题 1．下列命题中，假命题是( ) A. 向量AB →与BA →的长度相等 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C ．只有零向量的模等于0 D ．共线的单位向量都相等 2.如图所示，平行四边形ABCD 的对角线的交点为O ，则下列等式成立的是( ) A. OA →＋OB →＝AB → B. OA →＋OB →＝BA → C. AO →－OB →＝AB → D. OA →－OB →＝CD → 3.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →=0，则AO →等于 ( ) A. OB → B. OC → C. OD → D .2OD → 4.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A. AB →＝AC →＋BC → B. AB →＝－AC →－BC → C. AC →与BC →同向 D. 与AC →与CB →同向 5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→-AB →+BC →化简后的结果是( ) A. BD 1→ B. 1D B C.1B D D. 1DB 6．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( ) A.EF →＋GH →＋PQ →＝0 B. EF →－GH →－PQ →＝0 C.EF →＋GH →－PQ →＝0 D.EF →－GH →＋PQ →＝0 二、填空题 7.在平行六面体ABCD －A ’B’C ’D ’中，与向量''A B 的模相等的向量有________个． 8.若G 为△ABC 内一点，且满足AG ＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外 心”“内心”“垂心”或“重心”) 9．判断下列各命题的真假： ①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为________． 三、解答题 10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． ①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；②单位向量都相等；
空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)
空间向量与立体几何 【知识要点】 1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算： ①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立． ②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ； 加法结合律：(a ＋b ＋c )＝a ＋(b ＋c )； 分配律：(λ ＋μ )a ＝λ a ＋μ a ；λ (a ＋b )＝λ a ＋λ b ． (2)空间向量的基本定理： ①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ ，使得a ∥λ b ． ②共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一一对实数λ ，μ ，使得c ＝λ a ＋μ b ． ③空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组λ 1，λ 2，λ 3，使得p ＝λ 1a ＋λ 2b ＋λ 3c ． (3)空间向量的数量积运算： ①空间向量的数量积的定义：a ·b ＝|a ｜|b ｜c os 〈a ，b 〉； ②空间向量的数量积的性质： a ·e ＝|a ｜c os ＜a ，e ＞；a ⊥ b ?a ·b ＝0； |a |2＝a ·a ；|a ·b |≤|a ｜|b ｜． ③空间向量的数量积的运算律： (λ a )·b ＝λ (a ·b )； 交换律：a ·b ＝b ·a ； 分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． (4)空间向量运算的坐标表示： ①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k ｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a ，存在惟一数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，那么有序数组(a 1，a 2，a 3)就叫做空间向量a 的坐标，即a ＝(a 1，a 2，a 3)． ②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 a ＋ b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； λ a ＝(λ a 1，λ a 2，λ a 3)；a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3． ③空间向量平行和垂直的条件： a ∥ b (b ≠0)?a ＝λ b ?a 1＝λ b 1，a 2＝λ b 2，a 3＝λ b 3(λ ∈R )； a ⊥b ?a ·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0． ④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 ;||,||232 221232221b b b a a a ++==++==??b b b a a a
2021_2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.3.2空间向量运算的坐标表示学案含解
1.3.2 空间向量运算的坐标表示 新课程标准学业水平要求 1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示． 2．掌握空间向量的数量积的坐标表示． 1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运 算问题．(数学运算) 2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断 两个向量是否共线或垂直．(逻辑推理、数学 运算) 3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的 距离公式，并能运用这些公式解决简单几何 体中的问题．(逻辑推理、数学运算) 必备知识·自主学习 导思 1.怎样用坐标进行向量的线性运算和数量积运算？ 2．怎样通过坐标反映向量的平行与垂直？怎样用坐标求向量的模和夹角？ 1.空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3． 2．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝a a＝a+a a 222 123 +； cos 〈a，b〉＝ a·b |a||b|＝ 112233 222222 123123 a b a b a b a a a b b b ＋＋ ＋＋＋＋ .
若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，a ∥b ，则一定有a 1b 1 ＝a 2b 2 ＝a 3 b 3 成立吗？ 提示：不一定，只有当b 1，b 2，b 3均不为0时，a 1b 1 ＝a 2b 2 ＝a 3 b 3 成立． 3．空间两点间的距离 在空间直角坐标系中，设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则12P P ＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)； P 1P 2＝|12P P |＝ 222212121(x x )(y y )(z z )-+--． 1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)若a ＝(1，－2，1)，a ＋b ＝(－1，2，－1)，则b ＝(－2，4，－2).( ) (2)若a ＝(1，2，0)，b ＝(－2，0，1)，则|a |＝|b |.( ) (3)若a ＝(0，0，1)，b ＝(1，0，0)，则a ⊥b .( ) (4)在空间直角坐标系中，若A(1，2，3)，B(4，5，6)，则AB → ＝(－3，－3，－3).( ) (5)已知a ＝(x 1，y 1，z 1)，若x 1＝y 1＝z 1＝1，则a 为单位向量．( ) 提示：(1)√.b ＝a ＋b －a ＝(－1，2，－1) －(1，－2，1)＝(－2，4，－2). (2)√.||a ＝ 12＋22＋02 ＝ 5 ，||b ＝ （－2）2＋02＋12 ＝ 5 ，所以||a ＝||b . (3)√.由a ·b ＝0，得a ⊥b . (4)×.由 A(1，2，3)，B(4，5，6)，得AB → ＝(4－1，5－2，6－3)＝ (3，3，3). (5)×.若x 1＝y 1＝z 1＝1，则||a ＝ 12＋12＋12 ＝ 3 ，所以a 不是单位向量． 2．已知向量a ＝(3，－2，1)，b ＝(－2，4，0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16，0，4) B ．(8，－16，4) C ．(8，16，4) D ．(8，0，4) 【解析】选D.4a ＝(12，－8，4)，2b ＝(－4，8，0)，所以4a ＋2b ＝(8，0，4). 3．已知a ＝(2，－3，1)，b ＝(4，－6，x)，若a ⊥b ，则x 等于 ( ) A ．－26 B ．－10 C ．2 D ．10 【解析】选A.由于a ＝(2，－3，1)，b ＝(4，－6，x)，且有a ⊥b ， 所以a ·b ＝2×4＋(－3)×(－6)＋1×x ＝0，解得x ＝－26.
高中数学人教A版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.2第3课时
学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．以上均不对 【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异 面直线所成角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤ 0，π2.应选A. 【答案】 A 2．已知A (0，1，1)，B (2，－1，0)，C (3，5，7)，D (1，2，4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( ) A.522 66 B ．－52266 C.52222 D ．－52222 【解析】 AB →＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266， ∴直线AB ，CD 所成角的余弦值为522 66. 【答案】 A
3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝AB ，则平面P AB 与平面PCD 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝1.则A (0，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)．于是AD →＝(0，1，0)． 取PD 中点为E ， 则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫0，12，12， 易知AD →是平面P AB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量，∴cos AD →，AE →＝2 2， ∴平面P AB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B 4．如图3-2-28，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1 为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E ，F 分别为C 1D 1，A 1B 的中点，则二面角B 1A 1B E 的余弦值为( ) 【导学号：18490121】
2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第3课时用空间向量解决空间角与距离问题课
用空间向量解决空间角与距离问题 [A 组 学业达标] 1.如图，正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( ) A.15B.25 C.35 D.45 解析：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ， 设AB ＝1. 则B (1,1,0)，A 1(1,0,2)，A (1,0,0)，D 1(0,0,2)， A 1 B →＝(0,1，－2)，AD 1→ ＝(－1,0,2)， cos 〈A 1B → ，AD 1→ 〉＝ A 1 B →·AD 1→ |A 1B →||AD 1→| ＝ －45× 5＝－4 5， ∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为4 5. 答案：D 2．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小 为( )
A ．150° B ．45° C ．60° D ．120° 解析：由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD → ＝0， CD →＝CA →＋AB →＋BD → . ∴|CD → |2＝|CA → |2＋|AB → |2＋|BD → |2＋2CA →·AB → ＋2AB →·BD → ＋2CA →·BD → ＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA → ，BD → 〉 ＝(2 17)2， ∴cos 〈CA → ，BD → 〉＝－1 2，〈CA →，BD → 〉＝120°， ∴二面角的大小为60°. 答案：C 3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，O 是正方形中心，则折起后，∠EOF 的大小为( ) A ．30°B ．90° C ．120°D ．60° 解析：OE → ＝12 (OA →＋OD → )， OF → ＝12(OB →＋OC →)， ∴OE →·OF →＝14(OA →·OB →＋OA →·OC →＋OD →·OB →＋OD →·OC →) ＝－14 |OA →|2.
新人教A版高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》知识点汇总及解题方法总计
第三章 空间向量与立体几何单元小结 [核心速填] 1．空间向量的有关定理和推论 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共线向量定理的推论：若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA → ＋μOB → ，且λ＋μ＝1. (3)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b . (4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，则P ，A ，B ， C 四点共面的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → (其中x ＋y ＋z ＝1)． (5)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 2．空间向量运算的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a － b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)， λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)， a · b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)重要结论： a ∥ b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 3．模、夹角和距离公式 (1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 ①|a |＝a ·a ②cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝(2)设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则 d AB ＝|AB → |4．空间向量的结论与线面位置关系的对应关系 (1)设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)， 则l ∥α⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔(a 1，b 1，c 1)＝
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.1.3-3.1.4 Word版含答案
3.1.3空间向量基本定理 3.1.4空间向量的坐标表示 学习目标1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标． 知识点一空间向量基本定理 思考只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？ 答案不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直． 梳理空间向量基本定理 (1)定理内容： ． 不共面3e ，2e ，1e 条件：三个向量① ②结论：对空间中任一向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3. (2)基底： (3)推论： ①条件：O ，A ，B ，C 是不共面的四点． ②结论：对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP →＝x OA →＋y OB →＋z OC → . 知识点二空间向量的坐标表示 思考若向量AB → ＝(x 1，y 1，z 1)，则点B 的坐标一定为(x 1，y 1，z 1)吗？ 答 案 不一定．由向量的坐标表示知，若向量 AB →的起点A 与原点重合，则B 点的坐标为(x 1，y 1，z 1)，若向量AB →的起点A 不与原点重合，则B 点的坐标就不为(x 1，y 1，z 1)． 梳理(1)空间向量的坐标表示： ①向量a 的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作
为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，有序实数组(x ，y ，z )叫做向量a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )． ②向量OA →的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A (x ，y ，z )，向量OA →是确定的，即OA → ＝(x ，y ，z )． (2)空间中有向线段的坐标表示： 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， ①坐标表示：AB →＝OB →－OA → ＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)． ②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标． (3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则： (4)空间向量平行的坐标表示： 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a ≠0，则a ∥b ⇔b 1＝λa 1，b 2＝λa 2，b 3＝λa 3(λ∈R )． 1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{－a ，b,2c }也可构成空间的一个基底．(√) 2．若向量AP → 的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．(×) 3．在空间直角坐标系O －xyz 中向量AB → 的坐标就是B 点坐标减去A 点坐标．(√) 类型一空间向量基本定理及应用 命题角度1空间基底的概念 例1已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC → ＝e 1＋e 2－ 67 e 3，试判断{OA →，OB →，OC → }能否作为空间的一个基底． 解假设OA →，OB →，OC → 共面， 由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，
数学选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.2.1-3.2.2
§3.2 空间向量的应用 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面关系的判定(一)——平行关系 学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题． 知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？ 答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP →来表示．我们把向量OP → 称为点P 的位置向量． (2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量． ②对于直线l 上的任一点P ，在直线上取AB →＝a ，则存在实数t ，使得AP →＝tAB → . (3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．对于平面α上的任一点P ，a ，b 是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x ，y )，使得OP → ＝x a ＋y b . ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示． 梳理 (1)用向量表示直线的位置：
(2)用向量表示平面的位置： ①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定： ②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定： (3)直线的方向向量和平面的法向量： 知识点二利用空间向量处理平行问题 思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系． (2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R)． (2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行． (3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行． 梳理(1)空间中平行关系的向量表示： 的法向量分别为μ，v，则 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β
高考数学 二轮复习专题精讲教案四 第3讲空间向量与立体几何
第3讲 空间向量与立体几何 自主学习导引 真题感悟 1．(2012·陕西)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为 A.5 5 B.53 C.25 5 D.35 解析 利用向量法求解． 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2. 可得O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)， ∴BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1 →＝(－2,2,1)， ∴cos 〈BC 1→，AB 1→ 〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－15×9＝15＝55＞0. ∴BC 1→与AB 1→的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角， ∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55. 答案 A 2．(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABC A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点． (1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)若二面角A ′MNC 为直二面角，求λ的值． 解析 (1)证明 证法一 连接AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABCA ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′的中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′.又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′. 证法二 取A ′B ′的中点P ，连接MP ，NP .而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′.又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′.而MN ⊂平面MPN ，所以MN ∥平面A ′ACC ′.