1.1空间向量及运算新课讲义-2021-2022高一下学期数学人教B版(2019)选择性必修一

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2(AB x =一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。11(x ,y ,z a =22(x ,y b =，则

12112(x ,y )a b x z +=++，

12112(x ,y )a b x z -=--，

111(,,)a x y z R λλλλ=，

12a b x x y ⋅=+12//x a b x ⇔=12a b x x ⊥⇔+211||x a y =+222|x b y =++夹角公式：2

1cos ||||x a b

a b a b ⋅⋅==⋅+（3）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222121|()()()AB x y y z z =+-+-空间向量的共面定理

（1）ABCD ,(OD xOA yOB zOC x y =+++（2）a b c ，

，向量共面：a xb yc =+

2

典例解析

考点一：概念的判断

例1．若空间向量a 与b 不相等，则与a ，b 一定( )

A ．有不同的方向

B ．有不相等的模

C ．不可能是平行向量

D ．不可能都是零向量 变式1：下列命题中，不正确的命题的个数是（ ）

①空间向量任意五边形ABCDE ，则0;AB BC CD DE EA ++++=②若//,a b a 则所在的直线与b 所在的直线平行；③空间任意两非零向量a ，b 共面；④空间向量a 平行于平面α，则a 所在的直线平行于平面α.

A.1

B.2

C.3

D.4

变式2 给出下列命题：

①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量,a b 满足||||a b =，则a b =；④若空间向量 ,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ）

A.4

B.3

C.2

D.1

考点二：空间向量的线性运算

例2．如图在长方体1111D C B A ABCD -中，O 为AC 中点。

(1)化简：11122

AO AB AD -- (2)设E 是棱1DD 上的点，且123DE DD =

，若1EO=xAB yAD zAA ++试求,,x y z 的值。

3

变式1： 如图所示，在平面六面体1111D C B A ABCD -中，E,F 分别在1B B 和1D D

且.3

2,3111DD DF BB BE == （1）证明：1;AC AE AF =+

（2）若1,.EF xAB yAD zAA x y z =++++求

变式2：如图，已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，

,60,90,5,4,3111︒=∠=∠︒=∠===AD A AB A BAD AA AD AB 求1AC 的长.

考点三：空间向量的基底

例3．

是向量的一个基底， 设给出下列向量组：①{},,a b p ②{},,b c r ③{},,p q r ④{},,p q a b c ++其中可以作为空间向量基底的向量组有（ ）组．

A.1

B.2

C.3

D.4 变式1：已知空间四边形OABC ，其对角线N M AC OB ,,,分别是边CB OA ,的中点，点G 在线段MN 上，且使GN MG 2=，用向量,,OA OB OC 当基底表示向量OG （ ）

A.2233OG OA OB OC =+

+ B.122233

OG OA OB OC =++ C.111633OG OA OB OC =++ D.112633OG OA OB OC =++ 变式2 在长方体1111D C B A ABCD -中，以1111,,C D DD AD 为基底表示C A 1,其结果是（ ）

A.11111C D DD AD C A ++=

B.11111C D DD AD C A -+=

C.111112C D DD AD C A +-=

D.111112C D DD AD C A ++=

考点四：空间向量的坐标运算

例4． 已知点,)0,2,3(),1,1,0(B A -向量,)2,3,4(--=AC 则向量=BC （ ）

A. ()1,4,7--

B. ()1,4,7

C. ()1,4,1--

D.()1,4,1-

变式1：已知._______,,6||),2,,2(),,4,2(=+⊥===y x b a a y b x a 求且若

变式2：已知空间内三点)2,4,2(),0,2,2(),2,0,0(---C B A 点P 在xOy 平面上且,PA AB ⊥ ,PA AC ⊥则P 点的坐标是_____________.

,,p a b q b c r c a =+=+=+{}

,,a b c

4

考点五：空间向量共线、共面问题

例5．已知)9,2,1(),3,1,2(y b x a -==，如果b a ,为共线向量，则（ ）

A.1,1==y x

B.21,21-==y x

C.23,61-==y x

D.2

3,61=-=y x 变式1. 已知),5,7(),2,4,1(),3,1,2(λ=--=-=c b a 若c b a ,,三向量共面，则实数λ等于（ ）

A.762

B.763

C.760

D.7

65 变式2．已知向量(1,1,0)a →=，(1,0,2)b →=-，(,1,2)c x →=-，若,,a b c →→→

是共面向量，则x =__________． 考点六：空间向量的数量积与夹角

例6．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB 与CA 的夹角θ的大小是_______． 变式1：已知O B A ),6,2,1(),6,2,1(---为坐标原点，则向量OB OA ,的夹角是（ ）

A.0

B.2π

C.π

D.23π

变式2．已知(1,0,0)a =，(0,1,1)b =-，若a λb +与b 的夹角为120︒，则λ的值为（ ） A ．66 B ．66- C ．66± D ．6±

考点七：建立直角坐标系

例7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM ，1D N 〉的值为( ) A.19 B.49 5 C.29 5 D.23

变式1．如图，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛0,21,23，点D 在平面yOz 上，

且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD 的长度为________．

变式2．如图，正方体1111OABC O A B C -的棱长为2，E 是1B B 上的点，且

12EB EB =，则点E 的坐标为（ ）

A ．(2,2,1)

B ．(2,2,2)

C ．2(2,2,)3

D ．4(2,2,)3

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巩固练习

1．已知点A(－3,0，－4)，点A 关于原点的对称点为B ，||AB 等于( )

A ．12

B ．9

C ．25

D ．10

2．以棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为x,y,z 坐标轴，建立空间直角坐标系，则正方形AA 1B 1B 的对角线交点的坐标为( )

A.⎪⎭⎫ ⎝⎛

21,21,0 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0,21 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,21 D.⎪⎭

⎫ ⎝⎛21,21,21 3．已知向量a ＝(2，－3,5)与向量b ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛

215,

,3λ平行，则λ＝( ) A.23 B.92 C ．－92 D ．－23

4．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且b a k +与b a -2互相垂直，则k 的值为( )

A ．1 B.15 C.35 D.75

5．如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD

的交点，若AB ＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，则下列向量中与M B 1相

等的向量是( )

A ．1122a b c -++ B.1122

a b c ++ C.1122a b c -+ D ．1122

a b c --+ 6.(2013·武汉模拟)二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC⊥l ，BD⊥l ，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )

A ．2a B.5a C ．a D.3a

7．已知点B 是点A (3,7，－4)在xOz 平面上的射影，则||OB 等于________．

8．已知点P 在z 轴上，且满足|OP |＝1(O 为坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离为________．

QA QB

⋅取最小值时，

a+

，则向量b

OE⊥b？

A A（2）

1

1）略（2）3 85

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