1.2空间向量在立体几何中的应用新课讲义2021-2022高一数学人教B版(2019)选择性必修一
〉。
〉。AB n⋅
典例解析
考点一：空间中的点线
例1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3,1,5),(4,3,1)A B -，点P 为线段AB 的中点，则点P 的位置向量的坐标是（ ） A ．7,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．1,2,32⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．(12,3,5)-
D ．14
,,233⎛⎫- ⎪⎝⎭
变式1．若(1,0,1),(1,4,7)A B -在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为（ ） A ．(1,2,3) B ．(1,3,2)
C ．(2,1,3)
D ．(3,2,1)
变式2．已知点(4,1,3),(2,5,1),A B C -为线段AB 上一点且
||1
3
||
AC AB =
，则点C 的坐标为（ ） A ．715,,222⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．3,3,28⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．10
7,1,33⎛⎫-
⎪⎝⎭
D ．573,,222⎛⎫
-
⎪⎝⎭
例2．已知在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BB 1，DC 的中点，则异面直线AE 与D 1F 的夹角为( ) A.6
π
B.
3
π C.
4
π
D.
2π
变式1：把正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，O 是正方形的中心，则折起后，直线OE 与OF 的夹角的大小是( ) A.3
π
B.
2
π C.
3
2π
D.
65π
变式2:如图, 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA 1=3, 120BAD ∠=︒.求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；
P
A
B
C
D
E
例3．如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，PAD ABCD ⊥,AD BC //，CD ⊥AD ，AD=2DC=2CB ，E 为PD 的中点． （1）证明：//CE 平面PAB ；
（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．
变式1：如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=1
2
AD ，E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.
（1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；
（2）若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.
变式2：正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则
与侧面夹角的正弦值等于( )
A.46
B.
4
10
C.
22
D.
2
3
E
D
C
B
P
A
例4．在四棱锥S ABCD —中，底面ABCD 为矩形，SD ABCD ⊥平面，2AD =,2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上，=60ABM ∠。 （1）证明：M 在侧棱SC 中点；
（2）求二面角S AM B ——的余弦值大小。
变式1：在四棱锥P ABCD —中，底面ABCD 为矩形，已知3AB =，2AD =，2PA =，22PD =，=60PAB ∠。
（1）证明：AD PAB ⊥平面
（2）求异面直线PC 与AD 所成角的正切值 （3）求二面角P BD A ——的正切值大小。
变式2．如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD ，AB=BD ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
（2）若E 为线段BD 中点，求二面角D –AE –C 的余弦值.
例5.如图，在三棱柱111ABC A B C -中， AB=AC=2,，在底面ABC 的射影为BC 的
中点，D 为11B C 的中点
（1）证明： 1A D ⊥平面1A BC ； （2）求直线B A 1和平面11BB C C 所成的角的正弦
变式1.如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥ （1）证明：1AC AB =；
（2）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB BC =，求二面角111A A B C --的余弦值。
变式2.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AED ABCD ⊥平面平面，//EF AB ，2AB =，1BC EF ==，6AE =,3DE =，60BAD ∠=，G 为BC 的中点。
（1）求证：//FG 平面BED ； （2）求证：平面BED ⊥平面AED ；
（3）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值。
例6．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别是棱AB 、BC 的中点，则点1C 到平面1B EF 的距离等于（ ）
A ．23
B ．
22
3
C ．
23
3
D ．
43
变式1．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）
A ．1
2
B ．
24
C ．
22
D ．
32
变式2．两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 ()2,1,1A ，且两平面的一个法向量
()1,0,1n =-，则两平面间的距离是 （ ）
A ．32
B ．
22
C ．3
D ．32
巩固练习
1.已知四棱锥P ABCD —中，底面ABCD 为菱形，PA ABCD ⊥平面，=60ABC ∠，,E F 分别是BC ，PC 的中点。
（1）证明：AE PD ⊥
（2）若PA AB =，求二面角E AF C ——的余弦值。
2.如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，90ACB ∠=，112BC AC CC ===，．
（1）证明：11AC A B ⊥；
（2）若D 为直线AC 的中点，求二面角1A AB C --的余弦值．
3.如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面BCDE ，90CDE BED ∠=∠=，2,1,2AB CD DE BE AC =====。
（1）证明：DE ⊥平面ACD ； （2）求二面角B AD E --的大小。
E D
C
B
A
4.（2017北京，理）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA=PD=6，AB=4． （1）求证：M 为PB 的中点； （2）求二面角B-PD-A 的大小；
（3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．
5.（2015广东理，18）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =。点E 是CD 边的中点，点G F ,分别在线段,AB BC 上，且
2, 2AF FB CG GB ==。
（1）证明：FG PE ⊥；
（2）求二面角C AD P --的正切值； （3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值。
6.（2015安徽理）如图所示，在多面体DCBA D C B A 1111-中，四边形
11AA B B ，11ADD A ，ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的
平面交1CD 于F 。 （1）证明：1//EF B C ；
（2）求二面角11E A D B --的余弦值。
7.（2016新课标2理,）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5
4
AE CF ==
，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，10OD '=． （1）证明：D H '⊥平面ABCD ； （2）求二面角B D A C '--的正弦值．
8．（2016天津理）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2AB BE ==. （1）求证：//EG 平面ADF ； （2）求二面角O EF C --的正弦值； （3）设H 为线段AF 上的点，且2
3
AH HF =
，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.
9.（2015重庆理）如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面,3,,,2
ABC PC ACB D E π
=∠=分别为线段,AB BC
上的点，且2,22CD DE CE EB ==== （1）证明：DE ⊥平面PCD ； （2）求二面角A PD C --的余弦值。
10.（2014新课标1）如图，三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠==60,,11BAA AA AB CB CA 。 （1）证明C A AB 1⊥；
（2）若平面ABC ⊥平面2,11==CB AB B B AA ，求直线C A 1 与平面C C BB 11所成角的正弦值。
11
11.（2013浙江20）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，
2,7,3,120AB BC AD CD PA ABC =====∠=，G 是线段PC 上的点．
（1）证明：BD ⊥平面APC ；
（2）若G 是线段PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值；
（3）若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PG GC
的值．
12.（2015湖南）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点
（1）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；
（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45，求三棱锥F AEC -的体积。
13.（2016浙江理）如图,在三棱台ABC DEF -中, =90ACB ∠,
123BE EF FC BC AC =====，，,平面BCFE ⊥平面ABC .
（1）求证：BF ⊥平面ACFD ；
（2）求二面角B AD F --的平面角的余弦值.
12
14. 如图，在四棱锥P ABCD 中，侧面PAD⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD
＝2 ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD ＝2AB ＝
2BC ＝2，O 为AD 的中点，问：线段AD 上是否存在一点Q ，使得它到平
面PCD 的距离为
32？若存在，求出AQ QD 的值；若不存在，说明理由．
15. 已知Rt △ABC 如图（1），∠C ＝90°，D.E 分别是AC ，AB 的中点，将△ADE 沿DE 折起到PDE 位置（即A 点到P 点位置）如图（2）使∠PDC ＝60°．
（1）求证：BC ⊥PC ；
（2）若BC ＝2CD ＝4，求点D 到平面PBE 的距离．
16. 如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.
（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；
（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．
15
1.1空间向量及运算新课讲义-2021-2022高一下学期数学人教B版(2019)选择性必修一
1 2(AB x =一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。11(x ,y ,z a =22(x ,y b =，则 12112(x ,y )a b x z +=++， 12112(x ,y )a b x z -=--， 111(,,)a x y z R λλλλ=， 12a b x x y ⋅=+12//x a b x ⇔=12a b x x ⊥⇔+211||x a y =+222|x b y =++夹角公式：2 1cos ||||x a b a b a b ⋅⋅==⋅+（3）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222121|()()()AB x y y z z =+-+-空间向量的共面定理 （1）ABCD ,(OD xOA yOB zOC x y =+++（2）a b c ， ，向量共面：a xb yc =+
2 典例解析 考点一：概念的判断 例1．若空间向量a 与b 不相等，则与a ，b 一定( ) A ．有不同的方向 B ．有不相等的模 C ．不可能是平行向量 D ．不可能都是零向量 变式1：下列命题中，不正确的命题的个数是（ ） ①空间向量任意五边形ABCDE ，则0;AB BC CD DE EA ++++=②若//,a b a 则所在的直线与b 所在的直线平行；③空间任意两非零向量a ，b 共面；④空间向量a 平行于平面α，则a 所在的直线平行于平面α. A.1 B.2 C.3 D.4 变式2 给出下列命题： ①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量,a b 满足||||a b =，则a b =；④若空间向量 ,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 考点二：空间向量的线性运算 例2．如图在长方体1111D C B A ABCD -中，O 为AC 中点。 (1)化简：11122 AO AB AD -- (2)设E 是棱1DD 上的点，且123DE DD = ，若1EO=xAB yAD zAA ++试求,,x y z 的值。
第1章 1.1.1 空间向量及其运算-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修一讲义
1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算 学 习目标核心素养 1．了解空间向量、向量的模、零向量、相反向 量、相等向量、共面向量等概念．(重点) 2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量 的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算 律．(重点、易混点) 3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算 律．(重点、易错点) 1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽 象素养． 2．借助于空间向量的线性运算，提升数学运算 素养． 3．借助于空间向量的数量积，提升数学运算及 逻辑推理的数学素养． 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 图1图2 1．空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法：
①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB →|． ②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 2．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？ [提示] 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面． 3．空间向量的线性运算 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 图1 图2 (1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC → ＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→ ． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a ，则实数λ与空间向量a 相乘的运算称为数乘向量，记作λa ．其中： ①当λ≠0且a ≠0时，λa 的模为|λ||a |，而且λa 的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a 的方向相同；
高考数学二轮专名师讲义：第29讲-空间向量与立体几何(含答案)
专题十 高考数学附加必做题训练 第29讲 空间向量与立体几何 空间向量与立体几何在高考中属中档题，要求能正确建立空间直角坐标系，会利用空间向量知识证明线与线、线与面、面与面平行及垂直，会用空间向量数量积计算空间线线角、线面角、二面角及点与面的距离等． 考试说明： 序号 内容 要求 A B C 1 空间向量的概念 √ 2 空间向量共线、共面的充分必要条件 √ 3 空间向量的加法、减法及数乘运算 √ 4 空间向量的坐标表示 √ 5 空间向量的数量积 √ 6 空间向量的共线与垂直 √ 7 直线的方向向量与平面的法向量 √ 8 空间向量的应用 √ 例1 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．利用向量法证明： (1) DE ∥平面ABC ； (2) B 1F ⊥平面AEF. 证明：如图建立空间直角坐标系Axyz ，不妨设AB ＝AA 1＝4， 则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)， B(4，0，0)，B 1(4，0，4)． (1) 取AB 中点为N ，连结CN ， 则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)， ∴ DE →＝(－2，4，0)，NC → ＝(－2，4，0)， ∴ DE →＝NC → ，∴ DE ∥NC. ∵ NC ABC ，DE 平面ABC ， 故DE ∥平面ABC. (2) B 1F →＝(－2，2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF → ＝(2，2，0)．
B 1F →·EF → ＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B 1F →·AF → ＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴ B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF → ，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF. ∵ AF ∩FE ＝F ，∴ B 1F ⊥平面AEF. 如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证： (1) AM ∥平面BDE ； (2) AM ⊥平面BDF. 证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系， 设AC∩BD ＝N ，连结NE. 则点N 、E 的坐标分别为??? ?22，2 2，0、(0，0，1)． ∴ NE → ＝(－22，－22 ，1)． 又点A 、M 的坐标分别是(2，2，0)、??? ?22，2 2，1， ∴ AM → ＝??? ?－22，－22，1. ∴ NE →＝AM → 且NE 与AM 不共线．∴ NE ∥AM. ∵ NE 平面BDE ，AM 平面BDE ， ∴ AM ∥平面BDE. (2) 由(1)知AM → ＝??? ?－22，－22，1， ∵ D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴ DF → ＝(0，2，1)， ∴ AM →·DF → ＝0，∴ AM ⊥DF. 同理AM ⊥BF. 又DF∩BF ＝F ，∴ AM ⊥平面BDF. 例2 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32， 点M 、N 分别在PA 、BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝1 3 . (1) 求证：MN ⊥AD ； (2) 求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．
1.2空间向量在立体几何中的应用新课讲义2021-2022高一数学人教B版(2019)选择性必修一
〉。 〉。AB n⋅
典例解析 考点一：空间中的点线 例1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3,1,5),(4,3,1)A B -，点P 为线段AB 的中点，则点P 的位置向量的坐标是（ ） A ．7,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1,2,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．(12,3,5)- D ．14 ,,233⎛⎫- ⎪⎝⎭ 变式1．若(1,0,1),(1,4,7)A B -在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为（ ） A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3) D ．(3,2,1) 变式2．已知点(4,1,3),(2,5,1),A B C -为线段AB 上一点且 ||1 3 || AC AB = ，则点C 的坐标为（ ） A ．715,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3,3,28⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．10 7,1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．573,,222⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 例2．已知在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BB 1，DC 的中点，则异面直线AE 与D 1F 的夹角为( ) A.6 π B. 3 π C. 4 π D. 2π 变式1：把正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，O 是正方形的中心，则折起后，直线OE 与OF 的夹角的大小是( ) A.3 π B. 2 π C. 3 2π D. 65π 变式2:如图, 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA 1=3, 120BAD ∠=︒.求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；
2021_2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.3.2空间向量运算的坐标表示学案含解
1.3.2 空间向量运算的坐标表示 新课程标准学业水平要求 1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示． 2．掌握空间向量的数量积的坐标表示． 1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运 算问题．(数学运算) 2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断 两个向量是否共线或垂直．(逻辑推理、数学 运算) 3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的 距离公式，并能运用这些公式解决简单几何 体中的问题．(逻辑推理、数学运算) 必备知识·自主学习 导思 1.怎样用坐标进行向量的线性运算和数量积运算？ 2．怎样通过坐标反映向量的平行与垂直？怎样用坐标求向量的模和夹角？ 1.空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3． 2．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝a a＝a+a a 222 123 +； cos 〈a，b〉＝ a·b |a||b|＝ 112233 222222 123123 a b a b a b a a a b b b ＋＋ ＋＋＋＋ .
若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，a ∥b ，则一定有a 1b 1 ＝a 2b 2 ＝a 3 b 3 成立吗？ 提示：不一定，只有当b 1，b 2，b 3均不为0时，a 1b 1 ＝a 2b 2 ＝a 3 b 3 成立． 3．空间两点间的距离 在空间直角坐标系中，设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则12P P ＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)； P 1P 2＝|12P P |＝ 222212121(x x )(y y )(z z )-+--． 1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)若a ＝(1，－2，1)，a ＋b ＝(－1，2，－1)，则b ＝(－2，4，－2).( ) (2)若a ＝(1，2，0)，b ＝(－2，0，1)，则|a |＝|b |.( ) (3)若a ＝(0，0，1)，b ＝(1，0，0)，则a ⊥b .( ) (4)在空间直角坐标系中，若A(1，2，3)，B(4，5，6)，则AB → ＝(－3，－3，－3).( ) (5)已知a ＝(x 1，y 1，z 1)，若x 1＝y 1＝z 1＝1，则a 为单位向量．( ) 提示：(1)√.b ＝a ＋b －a ＝(－1，2，－1) －(1，－2，1)＝(－2，4，－2). (2)√.||a ＝ 12＋22＋02 ＝ 5 ，||b ＝ （－2）2＋02＋12 ＝ 5 ，所以||a ＝||b . (3)√.由a ·b ＝0，得a ⊥b . (4)×.由 A(1，2，3)，B(4，5，6)，得AB → ＝(4－1，5－2，6－3)＝ (3，3，3). (5)×.若x 1＝y 1＝z 1＝1，则||a ＝ 12＋12＋12 ＝ 3 ，所以a 不是单位向量． 2．已知向量a ＝(3，－2，1)，b ＝(－2，4，0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16，0，4) B ．(8，－16，4) C ．(8，16，4) D ．(8，0，4) 【解析】选D.4a ＝(12，－8，4)，2b ＝(－4，8，0)，所以4a ＋2b ＝(8，0，4). 3．已知a ＝(2，－3，1)，b ＝(4，－6，x)，若a ⊥b ，则x 等于 ( ) A ．－26 B ．－10 C ．2 D ．10 【解析】选A.由于a ＝(2，－3，1)，b ＝(4，－6，x)，且有a ⊥b ， 所以a ·b ＝2×4＋(－3)×(－6)＋1×x ＝0，解得x ＝－26.
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理学业分层测评新人教B版选修21
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的 基本定理学业分层测评新人教B 版选修21 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则 x ＋y 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．0 【解析】 因为m 与n 共线，所以x a ＋y b ＋c ＝z (a －b ＋c )． 所以⎩⎪⎨⎪ ⎧ x ＝z ，y ＝－z ， 1＝z . 所以⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝1，y ＝－1， 所以x ＋y ＝0. 【答案】 D 2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D 【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB →＝－a －2b ，∴BD → ＝－2BA →， ∴BD →与BA → 共线， 又它们经过同一点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A 3．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC → ，则P ，A ，B ，C 四点( ) A ．不共面 B ．共面 C ．不一定共面 D ．无法判断 【解析】 ∵34＋18＋1 8＝1， ∴点P ，A ，B ，C 四点共面．
4．设p ：a ，b ，c 是三个非零向量；q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】 当非零向量a ，b ，c 不共面时，{a ，b ，c }可以当基底，否则不能当基底．当{a ，b ，c }为基底时，一定有a ，b ，c 为非零向量．因此p q ，q ⇒p . 【答案】 B 5．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO → 1，AO → 2，AO →3}为基底，AC ′→＝xAO →1＋yAO 2→＋zAO → 3，则x ，y ，z 的值是( ) A ．x ＝y ＝z ＝1 B ．x ＝y ＝z ＝1 2 C ．x ＝y ＝z ＝ 22 D ．x ＝y ＝z ＝2 【解析】 AC ′→＝AA ′→＋AD →＋AB → ＝12(AB →＋AD →)＋12(AA ′→＋AD →)＋12(AA ′→＋AB →) ＝12AC →＋12AD ′→＋12AB ′→＝AO 1→＋AO 3→＋AO 2→， 由空间向量的基本定理，得x ＝y ＝z ＝1. 【答案】 A 二、填空题 6．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，若λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，则λ2 ＋μ2 ＋v 2 ＝________. 【解析】 ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3为不共面向量． 又∵λe 1＋μe 2＋v e 3＝0， ∴λ＝μ＝v ＝0，∴λ2 ＋μ2 ＋v 2 ＝0. 【答案】 0 7．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO → ，则2x ＋3y ＋4z 的值为________. 【导学号：15460063】 【解析】 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是对空间任意一点O ，存在实数x 1， y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD → ，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此2x ＋3y ＋4z ＝－1.
2021-2022新教材数学人教B版选择性必修第一册章末检测：第一章 空间向量与立体几何
章末检测（一) 空间向量与立体几何 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题，共60分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知空间四边形ABCD ，G 是CD 的中点，连接AG ，则AB ―→＋12 (BD ―→＋BC ―→ )＝( ) A ．AG ―→ B ．CG ―→ C ．BC ―→ D ．12 BC ―→ 解析：选A 在△BCD 中，因为点G 是CD 的中点，所以BG ―→＝12 (BD ―→＋BC ―→)，从而AB ―→ ＋12 (BD ―→＋BC ―→)＝AB ―→＋BG ―→＝AG ―→． 2．已知a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，5，－1)，则a ·(a ＋3b )＝( ) A ．(0，34，10) B ．(－3，19，7) C ．44 D ．23 解析：选C a ＋3b ＝(－3，2，5)＋3(1，5，－1)＝(0，17，2)，则a ·(a ＋3b )＝(－3，2，5)·(0，17，2)＝0＋34＋10＝44. 3.如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→ ＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN ―→ ＝( ) A ．12 a －23 b ＋12 c B ．－23 a ＋12 b ＋12 c
C ．12 a ＋12 b －12 c D ．－23 a ＋23 b －12 c 解析：选B MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝12 (OB ―→＋OC ―→)－23 OA ―→ ＝－23 a ＋12 b ＋12 c . 4．夹在两平行平面α、β之间的两条射线段AB 和CD 的长分别为8和12，AB 和CD 在α内的射影长之比为3∶5，则α、β间的距离为( ) A ．15 B ．17 C ．19 D ．21 解析：选C 设α与β之间距离为h ，设AB 和CD 在α内射影长分别为3a 和5a ，则有h ＝82－（3a ）2 ＝122－（5a ）2 ，∴a ＝5 ，故h ＝19 . 5．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE ―→·CF ―→ ＝( ) A ．0 B ．12 C ．－3 4 D ．－1 2 解析：选D 设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD ―→ ＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1， 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝1 2 ， 又AE ―→＝12 (a ＋b )，CF ―→＝1 2 c －b ， 因此AE ―→·CF ―→＝12 (a ＋b )·⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 12c －b ＝14 a ·c －12 a ·b ＋14 b ·c －12 b 2＝－1 2 ，故选D. 6．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( ) A ．8 3 B ．38 C ．4 3 D ．34
空间向量在立体几何中的应用-2021-2022学年高二数学人教B版选择性必修第一册(原卷版)
第十二章 《空间向量与立体几何》讲义 第2讲 空间向量在立体几何中的应用 知识梳理.建立空间直角坐标系与求法向量 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz 时，一般把x 轴、y 轴画成水平放置，x 轴正方向与y 轴正方向夹角为135°(或45°)，z 轴与y 轴(或x 轴)垂直． 2．空间中一点的坐标：空间一点M 的坐标可用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，其中x 叫做点M 的横坐标(或x 坐标)，y 叫做点M 的纵坐标(或y 坐标)，z 叫做点M 的竖坐标(或z 坐标)． 3．三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy 的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy 的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{(x ，y ，z )|x ＞0，y ＞0，z ＞0}． 二、平面的法向量 1．平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n 是空间中的一个非零向量，且表示n 的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n 为平面α的一个法向量，此时也称n 与平面α垂直，记作n ⊥α． 2．平面的法向量的性质 (1)如果直线l 垂直于平面α，则直线l 的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量． (2)如果n 是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn 也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行． (3)如果n 为平面α的一个法向量，A 为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意 一点B ，向量AB →一定与向量n 垂直，即n ·AB →＝0，从而可知平面α的位置可由n 和A 唯一确定． 3．如果v 是直线l 的一个方向向量，n 是平面α的一个法向量，则n ∥v ⇔l ⊥α，n ⊥v ⇔l ∥α，或l ⇔α． 4．两个平面平行或垂直的判断：设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α与β重合⇔n 1∥n 2；α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0．
2021-2022学年新教材高中数学 第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量在立体几何中的.
1 . 2.5空间中的距离 （ 新噩标淮 1 学业水平要求 1 1 1 1 1 !能用向量方法解决点到直线、点到平面、 相 1 互平行的直线与平面、M 平行的平邮J 距 离问题，体会向量方法在做几何问题中1.理解国形与硼的距离刎念.（数学扭像） 2 .理解初忡两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行 的苴线与平面之何的距离以及相互平行的平面与平面刎的距离的概 念.- 会求它们之间的距离・（数学11橡、逻脚理） 3 .会用向量方法求两点间的距离、点到平酗距离、线面距和面到面的距离. ------ 必备知识•自主学习 空间中的距离
田老» 空间距离的几种形式的求解方法之间有何关系？ 提示：点点距、点线距都可用空间向量的模来求解，而线面距和面面距可以转化为点 面距，利用平面的法向量来求解. 夕根底小测S 1.辨析记忆（对的打〃寸，错的打"X”）. （1）点到线的距离就是垂线的方向向量的模・（） （2）直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面上任一点的距离・（） （3）两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点与另一个平面内的任一点之间的距离.（）提示：（l）x.点到线的距离可用空间向量的模来求解，但不一定是垂线的方向向量的模. （2）x.直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面的距离. （3）x.两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点到另一个平面的距离. 2.A(1 , 1 , 0) , B( - 1 , 2 , 1),那么A , B两点间的距离是()
A . 6 B . C . D . 5 【解析】选C.因为A(1 , 1 , 0) , B( - 1 , 2 , 1), 所以A, B两点间的距离是=. 3.(教材例题改编)正方体ABCDAiBiCiDi的棱长为2 ,那么AiA到平面BQiDB的距 离为______ . 【解析】 由题意可知，AiA〃平面BiDiDB z A t A到平面B.DiDB的距离就是点Ai到平面的距离.连接AiCi ,交BiDi于Oi , AQi的长即为所求.由题意可得AiOi = AiCi =. 答案： 关键能力•合作学习 类型一空间两点之间的距离(逻辑推理、数学运算) Q题组训练今 1•如图，AB = AC = BD = 1 z ABu平面a , AC 平面a , BD±AB , BD 与平面a成 30。角，那么C , D间的距离为()
2022成才之路·人教B版数学·选修2-1练习：第3章 空间向量与立体几何3.1.2
第三章 3.1 3.1.2 一、选择题 1．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体，则下列错误的一个命题是导学号 64150650 ( ) A ．存在唯一的实数对x ，y ，使得AC 1→＝xA B →＋yAD → B ．存在唯一的实数对x ，y ，使得A C →＝xAB →＋yA D → C ．存在唯一的有序实数组x ，y ，z ，使得AC 1→＝xAB →＋yA D →＋zAA 1→ D ．存在唯一的有序实数组x ，y ，z ，使得AC →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→ [答案] A [解析] 若选项A 中命题为真，则可得到AC 1→，AB →，AD →共面．而由图可知AC 1→，AB →，AD → 不共面． 2．已知不共线向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则肯定共线的三点是导学号 64150651( ) A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、 D D ．A 、C 、D [答案] A [解析] AD →＝CD →－CA →＝CD →＋AC →＝CD →＋AB →＋BC →＝(7a －2b )＋(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＝3a ＋6b ＝3AB → . ∴A 、B 、D 三点共线，同理B 、C 、D 三项错误．故选A. 3．已知A 、B 、C 三点共线，O 为空间任意一点，假如OC →＝xOA →＋16OB → ，则x 的值为 导学号 64150652( ) A.16 B.5 6 C ．－56 D ．－16 [答案] B [解析] 由直线向量参数方程知x ＋16＝1，∴x ＝5 6 . 4．设a ，b 是不共线的两个向量，λ，μ∈R 且λa ＋μb ＝0，则导学号 64150653( ) A ．a ＝b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．μ＝0，a ＝0 [答案] B [解析] 由共面对量定理知，选B. 5．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们肯定是导学号 64150654( ) A ．共面对量 B ．共线向量 C ．不共面对量 D ．既不共线也不共面对量 [答案] A [解析] 2a －b 由a 与b 线性表出，所以三向量共面． 6．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，假如有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→ ，那么M 必导学号 64150655( ) A ．在平面BAD 1内 B ．在平面BA 1D 内 C ．在平面BA 1 D 1内 D ．在平面AB 1C 1内 [答案] C [解析] 本题主要考查四点共面的推断方法．由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1→ －4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝P A 1→＋6(P A 1→－PB →)－4(PD 1→－P A 1→)＝11P A 1→－6PB →－4PD 1→ ，于是M ，B ，A 1，D 1四点共面，故选C. 二、填空题 7．已知空间四边形OABC 如图所示，M 是AB 的中点，N 是CM 的中点，用基底{a ，b ，c }表示ON → ，则ON → ＝________.导学号 64150656 [答案] 14a ＋14b ＋1 2c [解析] ON →＝OM →＋MN → ＝12(OA →＋OB →)＋12MC → ＝12(a ＋b )＋12×12 (AC →＋BC →)
6.1.2向量的加法 教学设计-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册
一、教材内容分析 6.1.2《向量的加法》 本节课是人教 B 版数学必修二第六章 6.1.2《向量的加法》第一课时，即是对平面向量这一章第一节向量的概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课，对向量的减法运算的定义，有直接的影响，同时也对平面向量的后续课程，以及未来将要学习的空间向量的课程，有一定的影响。本节课的内容是关于向量的理论知识体系中比较靠前的、能起到承上启下的作用的一个知识环节。 二、教学目标 1.学习目标：理解向量和的定义；掌握向量加法的三角形法则和平行四边形 法则；了解多个向量相加以及和向量模的不等式；理解向量加法的运算律；2.核心素养：通过学习和向量的定义，培养学生的数学抽象的素养；通过向 量加法的运算，培养学生的直观想象，数学运算能力的素养。 三、学习者特征分析 学生已经学习了向量的概念，对向量的方向性有了一定的认识。更重要的学 生在物理中学习过的一些矢量的正交分解（如力的正交分解）概念，为本节学习向量的加法起到了铺垫作用。学生能从生活中的一些实际例子对向量加法有一定的感性认识，在直观上能体会向量的加法与数量的加法之间有明显的不同，这都对本节课的学习有促进作用。 四、教学重点、难点 重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量 难点：向量的运算律的理解 五、教学方法 探究式，小组合作学习 六、教学过程
6.1.2 向量的加法 【学习目标】 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向 量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法 【自主学习】 知识点 向量求和法则及运算律 图示 几何意义 三角形 法则 平面上任意给定两个向量a ，b ，在该平面内任取一点A ， 作AB →＝a ，BC →＝b ，作出向量AC →，则向量AC → 称为向量a 与b 的 (也称AC → 为向量a 与b 的和向量)，记作___，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC → 平行四 边形法则 平面上任意给定两个不共线的向量a ，b ，在该平面内任取一点A ，作AB →＝a ，AC → ＝b ，以AB ，AC 为邻边作一个平行四 边形ABDC ，作出向量AD →，因为BD →＝AC →，因此AD → ＝ 交换律 a ＋b ＝ 结合律 (a ＋b )＋c ＝ 【思考探究】 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( ) (2)|a ＋b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是a ∥b .( ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( ) (4)|AB →|＋|BC →|＝|AC → |.( ) 【互动课堂】 题型一 向量加法的三角形法则与平行四边形法则 【例1】 已知|a |＝3，|b |＝4，求|a ＋b |的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a 与b 的关系． [跟踪训练1] 已知|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，求|a ＋b ＋c |的最大值．
高三数学总复习 空间向量在立体几何中的应用教案
城东蜊市阳光实验学校2021届高三数学总复习空间向量在立体几何中的应用教案A版 那么λ＝________． 答案：－2或者者 解析：由得＝＝， ∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或者者λ＝. 2.(选修21P89练习3)空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且＝a,＝b,＝c，用a，b，c 表示向量＝________． 答案：(b＋c－a) 解析：如图，＝(＋)＝·[(－)＋(－)]＝(＋－2)＝(＋－)＝(b＋c－a)． 3.(选修21P101练习2改编)l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，那么m＝________. 答案：－8 解析：(2，m，1)·＝0，得m＝－8. 4.(选修21P86练习3改编)a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，假设a、b、c三个向量一一共面，那么实数λ等于________． 答案： 解析：由于a、b、c三个向量一一共面，所以存在实数m、n使得c＝ma＋nb，即有(7，5，λ)＝m(2，
－1，3)＋n(－1，4，－2)，即(7，5，λ)＝(2m－n，－m＋4n，3m－2n)，∴解得m＝，n＝，λ＝. 5.(选修21P110例4改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，那么平面A1ED与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________． 答案： 解析：以A为原点建立平面直角坐标系，设棱长为1，那么A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)， ∴＝(0，1，－1)， ＝， 设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)， 那么∴ ∴n1＝(1，2，2)．∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝. 即所成的锐二面角的余弦值为. 1.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线l上的向量e以及与e一一共线的向量叫做直线l的方向向量． (2)假设表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时把向量n叫做平面α的法向量． 2.线面关系的断定 直线l1的方向向量为e1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为e2＝(a2，b2，c2)，平面α的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面β的法向量为n2＝(x2，y2，z2)． (1)假设l1∥l2，那么e1∥e2e2＝λe1a2＝λa1，b2＝λb1，c2＝λc1． (2)假设l1⊥l2，那么e1⊥e2e1·e2＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0． (3)假设l1∥α，那么e1⊥n1e1·n1＝0a1x1＋b1y1＋c1z1＝0． (4)假设l1⊥α，那么e1∥n1e1＝kn1a1＝kx1，b1＝ky1，c1＝kz1． (5)假设α∥β，那么n1∥n2n1＝kn2x1＝kx2，y1＝ky2，z1＝kz2． (6)假设α⊥β，那么n1⊥n2n1·n2＝0x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 3.利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的角 ①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是. ②向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为φ，那么有cosθ＝|cosφ|. (2)直线与平面所成的角 ①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是.
2022年 《学案1.2空间向量基本定理》优秀教案
空间向量根本定理 共线，那么＝________，＝________ 1 －1 [由m 与n 共线，得错误!＝错误!＝错误!， ∴＝1，＝－1] ①{a ，b ，}，②{，，}，③{b ，c ，}，④{，，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间一个基底的向量组有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! 错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误 !错误!错误!错误!错误!＋错误!＝－错误!错误!－错误!错误!＋错误!错误!，比拟知＝－错误!，＝－错误!，＝错误!，应选D] 1．取单位正交基底比一般的基底的优点有哪些？ [提示] 假设取单位正交基底{i ，，}，那么|i |＝||＝||＝·＝·＝i ·＝0，这是其他一般基底所没有的． 2．正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{错误!，错误!，错误!}为基底，如何表示向量AC ′
[提示]错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＋错误!错误!＋错误!＋错误!错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误! 【例3】如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝12021求异面直线BD1和AC所成角的余弦值． [思路探究]错误!→ 错误!→错误! →错误!→错误! [解]{错误!，错误!，错误!}可以作为空间的一个基底，且|错误!|＝a，|错误!|＝a，|错误!|＝b，〈错误!，错误!〉＝90°，〈错误!，错误!〉＝12021〈错误!，错误!〉＝12021又错误!＝错误!＋错误!－错误!，错误!＝错误!＋错误!， ∴|错误!|2＝|错误!|2＋|错误!|2＋|错误!|2＋2错误!·错误!－2错误!·错误!－2错误!·错误!＝a2＋b2＋a2＋2ab co 120210－2ab co 120212a2＋b2， |错误!|2＝|错误!|2＋2错误!·错误!＋|错误!|2＝2a2， ∴|错误!|＝错误!，|错误!|＝错误!a ∴错误!·错误!＝错误!＋错误!－错误!·错误!＋错误!＝错误!·错误!＋|错误!|2＋错误!·错误!＋错误!·错误!－|错误!|2－错误!·错误!＝0＋a2＋ab co 12021ab co 12021a2－0＝－ab ∴|co〈错误!，错误!〉|＝错误!＝错误!＝错误! ∴异面直线BD1和AC所成角的余弦值为错误!
2021_2022学年新教材高中数学第3章空间向量与立体几何§4向量在立体几何中的应用4.3第2课时
第2课时 空间中的距离问题 学 习 任 务 核 心 素 养 1．理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(重点) 2．掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点) 通过利用空间向量解决距离问题的过 程，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养． 1．如图，已知向量s 是直线l 的方向向量，点P 在直线l 上，点A 是空间中一点，则向量P A → 在s 上的投影数量是什么？其几何意义是什么？ 2．如何利用P A → 在s 上的投影数量求点A 到直线l 的距离？ 1．点到平面的距离 (1)定义 如图所示，设点P 是平面α外一点，点A 是平面α内的已知点，n 0是平面α的单位法向量．过点P 作PP ′⊥平面α，垂足为点P ′，则线段PP ′的长度就是点P 到平面α的距离． (2)求法 点P 到平面α的距离，等于点P 与平面α内任意一点A 连线所得向量P A → ，在平面α的单位法向量n 0方向上所作投影向量的长度，即d ＝|P A →·n 0|，n 0＝n |n| ． 2．点到直线的距离 (1)定义 如图所示，设点P 是直线l 外一点，l 0是直线l 的单位方向向量，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点P ′，则垂线段PP ′的长度就是点P 到直线l 的距离．
(2)求法 若点P 是直线l 外一点，l 0是直线l 的单位方向向量，点A 是直线l 上任意一点，则点P 到直线l 的距离为d ＝ |P A →|2－|P A →·l 0|2，l 0＝l |l | ． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)点A 到平面α的距离是点A 与平面α上所有点连线的最小值． ( ) (2)直线l ∥平面α，则直线l 到平面α的距离就是直线l 上的点到平面α的距离．( ) (3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离． ( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ 2．若三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足P A ＝PB ＝PC ＝1，则点P 到平面ABC 的距离是( ) A ． 66 B ．63 C ．36 D ．33 D [分别以P A ，PB ，PC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)． 可以求得平面ABC 的一个法向量为n ＝(1，1，1)， 则d ＝|P A →·n ||n |＝33 ．] 3．已知直线l 与平面α相交于点O ，A ∈l ，B 为线段OA 的中点，若点A 到平面α的距离为10，则点B 到平面α的距离为________． [答案] 5 4．如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，CA ＝2，D 是CC 1的中点，试问在A 1B 上是否存在一点E 使得点A 1到平面AED 的距离为26 3 ？
2021_2022高中数学第三章空间向量与立体几何2立体几何中的向量方法1教案新人教A版选修2_
立体几何中的向量方法 【教学目标】 1. 向量运算在几何证明与计算中的应用； 2. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题。 【导入新课】 复习引入 1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？ 2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？ ⑴利用定义a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞或cos ＜a ,b ＞＝ a b a b ⋅⋅，可求两个向量的 数量积或夹角问题； ⑵利用性质a ⊥b ⇔a ·b ＝０可以解决线段或直线的垂直问题； ⑶利用性质a ·a ＝｜a ｜2 ，可以解决线段的长或两点间的距离问题。 新授课阶段 例1：已知空间四边形OABC 中，OA BC ⊥，OB AC ⊥．求证：OC AB ⊥。 证明：· OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －。 ∵OA BC ⊥，OB AC ⊥， ∴· 0OA BC =，·0OB AC =， · ()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -=． ∴· ·OA OC OA OB =，··OB OC OB OA =。 ∴· OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0． ∴OC AB ⊥ 例2：如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥ AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠=，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离。 解：由AC α⊥，可知AC AB ⊥。 由'30DBD ∠=可知，＜,CA BD ＞＝120，