专题3 空间向量基本定理 讲义
专题1.3 空间向量基本定理
知识点一 空间向量基本定理
如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z)，使得p ＝xa ＋yb ＋zc.
我们把{a ，b ，c}叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．
知识点二 空间向量的正交分解 1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i ，j ，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a ，均可以分解为三个向量xi ，yj ，zk 使得a ＝xi ＋yj ＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三 证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量a ，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb.
(2) 如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y)，使p ＝xa ＋yb.
知识点四 求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a·b
|a||b|. (2)若a ，b 是非零向量，则a∥b ⇔a·b ＝0. 知识点五 求距离(长度)问题 ||a ＝a·a( ||AB →＝AB →·AB → )．
【题型1 空间向量基底的判断】
【例1】（2020秋•嘉祥县校级期中）已知{a →
，b →
，c →
}是空间向量的一个基底，则与向量p →
=a →
+b →
，q →
=a →
−b →
可构成空间向量基底的是（ ） A ．a →
B ．b →
C ．a →
+2b →
D ．a →+2c →
【变式1-1】（2020秋•桃城区校级期中）已知{e 1→
，e 2→
，e 3→
}是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空
间一个基底的是（ ）
①e 1→，2e 2→，e 2→−e 3→
②2e 2→
，e 2→
−e 1→
，e 2→
+2e 1→
③2e 1→+e 2→，e 2→+e 3→，−e 1→+5e 3→ ④e 3→
，e 1→
+e 3→
，e 1→
+e 3→
．
A ．①②
B ．②④
C ．③④
D ．①③
【变式1-2】（2020秋•赤峰校级期末）{a →，b →，c →
}＝是空间向量的一个基底，设p →
=a →
+b →，q →
=b →
+c →，r →
=c →
+a →
，给出下列向量组：①{a →
，b →
，p →
}，②{b →
，c →
，r →
}，③{p →
，q →
，r →
}，④{p →
，q →
，a →
+b →
+c →
}，其中可以作为空间向量基底的向量组有（ ）组． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【变式
1-3】已知{e 1→，e 2→，e 3→
}为空间的一个基底，且OA
→=
e 1
→+2e 2
→−e 3→
，OB
→=
−3e 1
→+
e 2
→+2e 3→
，OC
→=e 1→
+
e 2
→−
e 3→
，能否以{OA →，OB →，OC →}作为空间的一组基底？
【题型2 空间向量基本定理的应用（表示向量）】
【例2】（2020秋•南开区校级月考）在平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1中，AA 1→
=c →
，AB →
=b →
，AD →
=a →
，E 是BC 的中点，用a →
，b →
，c →
表示A 1E →
为（ ） A ．12a →
+b →
−c →
B ．a →
+b →
−c →
C ．12a →
−b →
−c →
D ．12a →
−b →
+c →
【变式2-1】（2020秋•南阳期末）已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG ＝2GN ，用向量OA →
，OB →
，OC →
，表示向量OG →
是（ ）
A ．OG →
=OA →
+23OB →
+23OC →
B ．OG →
=12OA →
+23OB →
+23OC →
C ．OG →
=16OA →
+13OB →
+13OC →
D ．OG →
=16OA →
+13OB →
+23OC →
【变式2-2】（2020秋•随州期末）已知在空间四边形OABC 中，OA →
=a →
，OB →=b →，OC →
=c →
，点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，N 为BC 中点，用a →
，b →
，c →
表示MN →
，则MN →
等于 ．
【变式2-3】（2020秋•珠海期末）四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于点O ，点G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →
=a →
，PB →
=b →
，PC →
=c →
，用基底{a →
，b →
，c →
}表示向量BG →
= ．
【题型3 空间向量基本定理的应用（求参数）】
【例3】（2020秋•江苏期末）在三棱锥O ﹣ABC 中，AD →
=DB →
，CE →
=2EB →
，若DE →
=xOA →
+yOB →
+zOC →
，则（ ）
A ．x =1
2，y =−1
6，z =1
3 B ．x =1
2，y =1
6，z =−13 C ．x =−1
2，y =1
6，z =1
3 D ．x =1
2，y =1
6，z =1
3
【变式3-1】（2020秋•资阳期末）如图，M ，N 是分别是四面体O ﹣ABC 的棱OA ，BC 的中点，设OA →
=a →
，OB →
=b →
，OC →
=c →
，若MN →
=x a →
+y b →
+z c →
，则x ，y ，z 的值分别是（ ）
A ．1
2
，1
2
，1
2
B ．1
2
，1
2
，−1
2
C ．−1
2
，1
2
，−1
2
D ．−12
，12
，1
2
【变式3-2】（2020秋•白水县期末）在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若AG →
=xAB →
+yAD →
+zAC →
，则x+y+z ＝ ．
【变式3-3】（2020秋•番禺区期末）在平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1中，E ，F ，分别在棱B1B 和D1D 上，且BE =1
3BB 1，DF =2
3DD 1．若EF →
=xAB →
+yAD →
+zAA 1→
，则x+y+z ＝ ．
【题型4 利用空间向量基本定理解决几何问题】
【例4】如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD －A1B1C1D1 ，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________．(填序号)
① (AA1—→＋AB →＋AD →)2＝2(AC →
)2 ； ②AC1—→·(AB →－AD →
)＝0 ；
③向量B1C —→与AA1—→
的夹角是60°； ④BD1与AC 所成角的余弦值为6
3.
【变式4-1】如图，二面角α－l －β等于2π
3，A ，B 是棱l 上两点， BD, AC 分别在平面α，β内，AC∥l ，BD∥l ，且 2AB ＝AC ＝BD ＝2，则CD 的长等于( )
A ．2 3 B.13 C ．4 D ．5
【变式4-2】如图所示，在三棱锥 A －BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ＝DA ＝2，E 为BC 的中点．
(1)证明：AE∥BC ；
(2)求直线AE 与DC 的夹角的余弦值．
【变式4-3】如图，正方体ABCD －A1B1C1D1中，P 是DD1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B1O∥平面PAC.
【课后检测】
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2020秋•烟台期中）下列说法正确的是（ ） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个
C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D ．直线的方向向量有且仅有一个
2．（3分）（2020秋•碑林区校级月考）若{a →
、b →
、c →
}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（ ）
A ．{a →
，a →
+b →
，a →
−b →
} B ．{b →
，a →
+b →
，a →
−b →} C ．{c →
，a →
+b →
，a →
−b →
} D ．{a →
+b →
，a →
−b →
，2a →
+b →
}
3．（3分）（2020秋•枣庄期末）如图：在平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1中，M 为A1C1，B1D1的交点．若
AB →
=a →
，AD →=b →，AA 1→
=c →
，则向量BM →
=（ ）
A ．−12a →
+12b →
+c →
B ．12a →
+12b →
+c →
C ．−12a →
−12b →
+c →
D ．12a →
−12b →
+c →
4．（3分）（2020秋•榆林期末）如图，在平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1中，M 为A1C1与B1D1的交点．若AB →
=a →
，AD →
=b →
，AA 1→
=c →
，则下列向量中与AM →
相等的向量是（ ）
A ．−12a →
+12b →
+c →
B ．12a →
+12b →
+c →
C ．−12a →
−12b →
+c →
D ．12a →
−12b →
+c →
5．（3分）（2020秋•安顺期末）如图，在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，则OG →
等于（ ）
A ．13
OA →
+13
OB →
+13
OC →
B ．12
OA →
+13
OB →
+14
OC →
C ．12OA →+14OB →+14OC →
D ．14OA →+14OB →+16OC →
6．（3分）（2020秋•新乡期末）如图，在长方体ABCD ﹣A1B1C1D1中，P 是线段D1B 上一点，且BP ＝2D1P ，若AP →
=x AB →
+y AD →
+z AA 1→
，则x+y+z ＝（ ）
A ．5
3
B ．2
3
C ．4
3
D ．1
7．（3分）（2020秋•皇姑区校级期末）若O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →
不能构成空间的一个基底，则（ ）
A ．OA →
，OB →
，OC →
共线 B ．OA →
，OB →
共线 C ．OB →
，OC →
共线 D ．O ，A ，B ，C 四点共面
8．（3分）（2020秋•吉林期末）在四面体OABC 中，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，若OG →
=13OA →
+xOB →
+yOC →
，且G ，M ，N 三点共线，则x+y ＝（ ） A ．−1
3 B ．1
3 C ．2
3 D ．−2
3
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021春•徐汇区校级期中）在平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1中，设AB →
=a →
，AD →
=b →
，AA 1→
=c →
，用a →
、b →
、c →
作为基底向量表示D 1B →
= ．
10．（4分）（2020秋•沈阳期中）已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且MP ＝2PN ，设向量OA →
=a →
，OB →
=b →
，OC →
=c →
，则OP →
= .（用{a →
，b →
，c →
}表示）
11．（4分）（2020秋•浙江月考）已知正方体ABCD ﹣A1B1C1D1中，A 1E →
=1
3
A 1C 1→
，若AE →
=xAA 1→
+yAB →
+zAD →
，
则x ＝ ，y+z ＝ ．
12．（4分）（2020•闵行区校级模拟）在正方体ABCD ﹣A1B1C1D1中，点M 和N 分别是矩形ABCD 和BB1C1C 的中心，若点P 满足DP →
=m DA →
+n DM →
+k DN →
，其中m 、n 、k∥R ，且m+n+k ＝1，则点P 可以是正方体表面上的点 ．
三．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2020秋•淄博期末）已知空间向量i →，j →，k →
都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ）
A ．向量i →
+j →
+k →
的模是3
B ．{i →
+j →
，i →
−j →
，k →
}可以构成空间的一个基底
C ．向量i →
+j →
+k →
和k →
夹角的余弦值为√3
3 D ．向量i →
+j →
与k →
−j →
共线
14．（4分）（2020秋•荔湾区期末）在空间四边形OABC 中，E 、F 分别是OA 、BC 的中点，P 为线段EF 上一点，且PF ＝2EP ，设OA →
=a →
，OB →
=b →
，OC →
=c →
，则下列等式成立的是（ ） A ．OF →
=12
b →
+12
c →
B ．EP →
=−16
a →
+16
b →
+16
c →
C ．FP →
=−13
a →
+13
b →
+13
c →
D ．OP →
=13
a →
+16
b →
+16
c →
15．（4分）（2020秋•山东月考）设{a →
，b →
，c →
}是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ） A ．a →
，b →
，c →
可以为任意向量
B ．对空间任一向量p →
，存在唯一有序实数组（x ，y ，z ），使p →
=x a →
+y b →
+z c →
C ．若a →
⊥b →
，b →
⊥c →
，则a →
⊥c →
D ．{a →
+2b →
，b →
+2c →
，c →
+2a →
}可以作为构成空间的一组基底
16．（4分）（2020秋•乳山市校级月考）给出下列命题，其中正确命题有（ ） A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B ．已知向量a →
∥b →
，则存在向量可以与a →
，b →
构成空间的一个基底
C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →
，BM →
，BN →
不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面 D ．已知向量组{a →
，b →
，c →
}是空间的一个基底，若m →
=a →
+c →
，则{a →
，b →
，m →
}也是空间的一个基底 四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）已知{a →
，b →
，c →
}是空间的一个基底，求证：{a →
+b →
，b →
+c →
，c →
+a →
}可以构成空间的一个基底． 18．（6分）（2020秋•乐山期中）如图，在平行六面体ABCD ﹣A'B'C'D'中，AB ＝4，AD ＝3，AA'＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°，且点F 为BC'与B'C 的交点，点E 在线段AC'上，有AE ＝2EC'． （1）求AC'的长；
（2）将EF →
用基向量AB →
，AD →
，AA′→
来进行表示．设EF →
=x AB →
+y AD →
+z AA′→
，求x ，y ，z 的值．
19．（8分）（2020秋•兴庆区校级期中）如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，设
AB →
=a →
，AC →
=b →
，AD →
=c →
，a →
，b →
，c →
为空间向量的一组基底， 计算： （1）EF →
⋅BA →
； （2）|EG|．
20．（8分）（2020秋•成都期末）如图，已知平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1．
（I ）若G 为△ABC 的重心，A 1M →
=3MG →
，设AB →
=a ，AD →
=b ，AA 1→
=c ，用向量a 、b 、c 表示向量A 1M →
； （II ）若平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1各棱长相等且AB ⊥平面BCC1B1，E 为CD 中点，AC1∩BD1＝O ，求证：OE ⊥平面ABC1D1．
21．（8分）已知在四面体P ﹣ABC 中，PA →
=a →
，PB →=b →，PC →
=c →
，G∥平面ABC ． 证明：G 为△ABC 的重心的充要条件是PG →
=1
3
（a →
+b →
+c →
）
22．（8分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，点G 为△ABC 的重心，点M 在PG 上，且PM ＝3MG ，过点M 任意作一个平面分别交线段PA ，PB ，PC 于点D ，E ，F ，若PD →
=m PA →
，PE →
=n PB →
，PF →
=t PC →
，求证：1
m +1
n +1
t 为定值，并求出该定值．
南京工业大学矩阵论ch1 线性空间讲义
第一章 线性空间 线性空间是我们以前学习过的n 维向量空间的推广和抽象，它不仅在线性代数和矩阵的有关理论中占有重要的地位，而且它的理论和方法已经渗透到自然科学和工程技术的许多领域。 §1.1 线性空间的定义和性质 为下面讨论需要，先引入数域的概念。 定义1 设P 是由一些复数组成的集合，如果它包含0与1，且P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然属于P ，则称P 为一个数域。 显然，有理数集Q 、实数集R 和复数集C 都是数域，分别称为有理数域、实数域和复数域。另外，数集 },3{)3(Q b a b a Q ∈+= 也是一个数域，但整数集不是数域。 我们知道n 维向量空间n R 就是全体n 维向量组成的集合，在其中定义了加法运算和实数与向量的数乘运算，并且这二种运算满足八条规律。另外，在全体n m ⨯阶实矩阵组成的集合n m R ⨯中，也定义了矩阵的加法运算和实数与矩阵的数乘运算，且这二种运算满足八条规律。还有很多这样的例子，从这些例子中可见，所考虑的对象虽然完全不同，但它们有一个共同点，即它们都具有两种运算：一种是两个元素之间的加法运算；另一种运算是数与元素之间的数乘运算，且满足八条规律。我们撇开这些对象的具体含义，加以抽象化，得到线性空间的概念。 定义2 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，如果 1. V 中元素具有可加性 对任意V ∈βα,，在V 中总存在唯一元素γ与它们对应，γ称为α与β的和，记作βαγ+=，并且对任意V ∈γβα,,满足： （1）交换律 αββα+=+ （2）结合律 )()(γβαγβα++=++ （3）在V 中存在零元素0，使对任意V ∈α，都有αα=+0； （4）对任意V ∈α，存在V 中的元素β，使得0=+βα（β称为α的负元素，记为－α）； 2. V 中元素与数域P 中的数具有可乘性 对任意P k ∈和任意V ∈α，在V 中总存在唯一元素δ与之对应，δ称为数k 与α的数量乘法（简称数乘），记为αδk =，并且对任
【湘教版】高二数学选修2-1讲义+精练：第3章 3.4～3.5 直线与平面的垂直关系 平面的法向量
3．4～3.5直线与平面的垂直关系__平面的法向量 [读教材·填要点] 1．射影 (1)过空间任意一点P作平面α的垂线与α相交于点P0，则P0称为点P在平面α内的射影． (2)预先给定平面α，空间任何一个图形的每一个点P在平面α上都有一个射影P0，所有这些P0在平面α上组成一个图形，称为这个空间图形在平面α上的射影．2．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直． 3．平面的法向量 与平面α垂直的非零向量称为α的法向量． [小问题·大思维] 1．平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，平面的法向量之间的关系是怎样的？ 提示：平面的法向量不是唯一的，平面的不同法向量是共线的． 2．若直线l的一个方向向量为(1,1,1)，向量(1，－1,0)及向量(0,1，－1)都与平面α平行，则l与α有怎样的位置关系？ 提示：∵(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， (1,1,1)·(1，－1，0)＝0， 而向量(1，－1,0)与向量(0,1，－1)不平行，∴l⊥α. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC. [自主解答]设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，
则A (2，0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2，2,1)，F (1,1,2)． EF ―→＝(－1，－1,1)，AB 1―→＝(0,2，2)，AC ―→ ＝(－2,2,0)． ∴EF ―→·AB 1―→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0， EF ―→·AC ―→＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC . 利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直． 1．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1，AB ＝2AD ，点E 是线段C 1D 1的中点，求证：DE ⊥平面EBC . 证明：建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设AD ＝1，则AA 1＝1，AB ＝2，则可得D (0,0,0)，E (0,1,1)，B (1,2,0)，C (0,2,0)， DE ―→＝(0,1,1)，EB ―→＝(1,1，－1)， EC ―→ ＝(0,1，－1)， 因为DE ―→·EB ―→＝1－1＝0， DE ―→·EC ―→＝1－1＝0， 所以DE ⊥EB ，DE ⊥EC ， 又EB ∩EC ＝E ，所以DE ⊥平面EBC . 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，G ，E ，F 分别为AA 1，AB ，BC 的 中点，试建立适当的空间直角坐标系，求平面GEF 的法向量． [自主解答] 以D 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则G ????a ，0，12a ，E ????a ，12a ，0，F ????1 2a ，a ，0， ∴GE ―→ ＝????0，12a ，－12a ， GF ―→ ＝????－12 a ，a ，－12a . 设平面GEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则
1.1空间向量及运算新课讲义-2021-2022高一下学期数学人教B版(2019)选择性必修一
1 2(AB x =一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。11(x ,y ,z a =22(x ,y b =，则 12112(x ,y )a b x z +=++， 12112(x ,y )a b x z -=--， 111(,,)a x y z R λλλλ=， 12a b x x y ⋅=+12//x a b x ⇔=12a b x x ⊥⇔+211||x a y =+222|x b y =++夹角公式：2 1cos ||||x a b a b a b ⋅⋅==⋅+（3）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222121|()()()AB x y y z z =+-+-空间向量的共面定理 （1）ABCD ,(OD xOA yOB zOC x y =+++（2）a b c ， ，向量共面：a xb yc =+
2 典例解析 考点一：概念的判断 例1．若空间向量a 与b 不相等，则与a ，b 一定( ) A ．有不同的方向 B ．有不相等的模 C ．不可能是平行向量 D ．不可能都是零向量 变式1：下列命题中，不正确的命题的个数是（ ） ①空间向量任意五边形ABCDE ，则0;AB BC CD DE EA ++++=②若//,a b a 则所在的直线与b 所在的直线平行；③空间任意两非零向量a ，b 共面；④空间向量a 平行于平面α，则a 所在的直线平行于平面α. A.1 B.2 C.3 D.4 变式2 给出下列命题： ①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量,a b 满足||||a b =，则a b =；④若空间向量 ,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 考点二：空间向量的线性运算 例2．如图在长方体1111D C B A ABCD -中，O 为AC 中点。 (1)化简：11122 AO AB AD -- (2)设E 是棱1DD 上的点，且123DE DD = ，若1EO=xAB yAD zAA ++试求,,x y z 的值。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.1直线的方向向量及平面的法向量讲义
3．2.1 直线的方向向量及平面的法向量 1．用向量表示直线的位置 (1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定 (2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定 3．空间中平行、垂直关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线上任意两个不同的点A ，B 表示的向量AB → 都可作为该直线的方向向量．( ) (2)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( ) (3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________． (2)已知a ＝(2，－4，－3)，b ＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n ＝(1，m ，n )是α的一个法向量，那么m ＝________，n ＝________. (3)(教材改编P 104T 2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6， k )，若α∥β，则k ＝________. (4)已知直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1＝(1,2，－2)，v 2＝(－3，－6,6)，则直线l 1， l 2的位置关系为________． 答案 (1)(2,4,6) (2)1 2 0 (3)4 (4)平行 探究1 点的位置向量与直线的方向向量 例1 (1)若点A ? ????－1 2，0，12，B ? ????12，2，72在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A.? ????13，23，1 B.? ????1 3 ，1，23 C.? ????23，13，1 D.? ?? ??1，23，13 (2)已知O 为坐标原点，四面体OABC 的顶点A (0,3,5)，B (2,2,0)，C (0,5,0)，直线BD ∥ CA ，并且与坐标平面xOz 相交于点D ，求点D 的坐标． [解析] (1)AB →＝? ????12，2，72－? ????－12，0，12＝(1,2,3)，? ????13，23，1＝1 3 (1,2,3)＝13AB →，又因
人教版选修21第三章空间向量的基本定理讲义
人教版选修21第三章空间向量的基本定理讲义 讲堂合作研究 重点难点突破 知识点一 共线向量定理 （1）定理内容：对空间两个向量()0,≠b b a ，b a //的充要条件是存在唯一的实数x ， 使xb a =。此定理可以分化为以下两个命题；①若()0//≠b b a ，则存在唯一实数x ，使xb a =。②存在实数x ，使()0≠=b xb a ，则b a //。 （2）在定理中为什么要准则0≠b 呢?当时0=b ，若0=a ，则b a //，也存在实数x 使xb a =；但若0≠a ，我们知道零向量和任一非零向量共线，但不存在实数x ，使xb a =，因此在定理中准则了0≠b 。若将定理写成xa b b a =⇔//，则应准则0≠a 。 说明：①在xb a =功中，敷衍确定的x 和b ，xb a =功表示空间与b 平行或共线且长度为xb 的所有向量；②利用共线向量定理可以证明两线平行，或三点共线。 知识点二 共面向量定理 （1）共面向量 已知向量a ，作a OA =，要是OA 的基线平行于平面a ，记作α//a （右 图），通常我们把平行于联合平面的向量，叫做共面向量。 说明：①α//a 是指a 的基线在平面α内或平行平面α。②共面向量是指这些向量的基线平行或在联合平面内，共面向量的基线可能相交、平行或异面。 我们已知，对空间恣意两个向量，它们总是共面的，但空间恣意三个向量就不一定共面了。比方，在下图中的长方体，向量AB 、AC 、AD ，无论怎样平移都不能使它们在联合平面内。 （2）共面向量定理 共面向量定理：要是两个向量a 、b 不共线，则向量c 与向量a 、 b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数y x ,，使yb xa c +=。 说明：①在证明充要条件标题时，要证明两个方面即充分性和必要性。
专题3 空间向量基本定理 讲义
专题1.3 空间向量基本定理 知识点一 空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z)，使得p ＝xa ＋yb ＋zc. 我们把{a ，b ，c}叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量． 知识点二 空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i ，j ，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a ，均可以分解为三个向量xi ，yj ，zk 使得a ＝xi ＋yj ＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三 证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a ，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb. (2) 如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y)，使p ＝xa ＋yb. 知识点四 求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b|. (2)若a ，b 是非零向量，则a∥b ⇔a·b ＝0. 知识点五 求距离(长度)问题 ||a ＝a·a( ||AB →＝AB →·AB → )． 【题型1 空间向量基底的判断】 【例1】（2020秋•嘉祥县校级期中）已知{a → ，b → ，c → }是空间向量的一个基底，则与向量p → =a → +b → ，q → =a → −b → 可构成空间向量基底的是（ ） A ．a → B ．b → C ．a → +2b → D ．a →+2c → 【变式1-1】（2020秋•桃城区校级期中）已知{e 1→ ，e 2→ ，e 3→ }是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空 间一个基底的是（ ）
专题22 立体几何(三)
精锐教育学科教师辅导讲义
[解析] 关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标、竖坐标分别互为相反数． 4．在空间直角坐标系中，所有点P(x,1,2)(x∈R)的集合表示( ) A．一条直线 B．平行于平面xOy的平面 C．平行于平面xOz的平面 D．两条直线 [答案] A [解析] 点P的y坐标与z坐标不变，只有x坐标发生变化，在空间中表示一条直线． 5．(2009·安徽)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M与A与B的距离相等，则M的坐标是____________． [答案] (0，－1,0) [解析] 本题考查空间两点间距离公式． 由题意可设M(0，y,0)，又|MA|＝|MB|， ∴(0－1)2＋y2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，解得y＝－1. 6．已知A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影的长度为________．[答案] 101 [解析] 求线段AB在坐标平面yOz上的射影长，可先求A、B两点在yOz上的射影，然后再用两点间距离公式，A(3,5，－7)在yOz上的射影是A′(0,5，－7)， B(－2，4,3)在yOz上的射影是B′(0,4,3)， 故|A′B′|＝(0－0)2＋(5－4)2＋(－7－3)2＝101. 7．已知长方体的长、宽、高分别为AB＝4，BC＝3，BB1＝5，以长方体的一个顶点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，将长方体的各个顶点的坐标表示出来. [解析] 根据题干所示的空间直角坐标系，由AB＝4，BC＝3，BB1＝5，所以各点的坐标为O(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,4,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,5)，A1(3,0,5)，B1(3,4,5)，C1(0,4,5)． （四）典型例题 1.命题方向：空间中点的坐标 [例1] 设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适当的坐标系，求点S、P1、P2、P3和P4的直角坐标．[分析] 建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜． [解析] 正四棱锥S－P1P2P3P4如图所示，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上．∵d(P1，P2)＝a，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，
专题3：空间向量法求角基础知识与典型例题(解析版)
专题3：空间向量法求角基础知识与典型例题（解析版） ⑴求异面直线所成的角 已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BD θ?= 1．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点M 、N 分别是11A B 和1BB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出图中M 、N 的坐标； (2)求直线AM 与NC 所成角的余弦值. 【答案】(1)M （2，1，2），N （2，2，1）.(2) 25 ． 【分析】 (1)根据正方体的棱长，直接写出坐标； (2)利用向量夹角公式能求出直线AM 与CN 所成的角的余弦值． 【详解】 (1)由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2. 由题意知A （2，0，0），B （2，2，0），∴M （2，1，2）， C （0，2，0），∴N （2，2，1）. (2)由(1)可知()012AM =，，，CN =（2，0，1）， 设直线AM 与CN 所成的角为θ， 则cosθ＝|cos AM CN ＜，＞|＝55?|25 =．
∴直线AM 与CN 所成的角的余弦值是25． 【点睛】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查了空间向量法的应用，是基础题． 2．如图,三棱柱111OAB O A B -中,平面11OBB O ⊥平面OAB ,且 160O OB ∠=?,190,2,3AOB OB OO OA ∠=?===,求异面直线1A B 与1O A 所成角的余弦值. 【答案】17 【分析】 以O 为坐标原点,,OA OB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 利用向量法求异面直线1A B 与1O A 所成角的余弦值. 【详解】 以O 为坐标原点,,OA OB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则11(3,0,0),(0,2,0),(3,1 3),(0,13)A B A O , 所以11(3,1,3),(3,1,3)A B O A =--=--.
人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义 1.1空间向量及其运算(含解析)
1.1 空间向量及其运算 1、空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2、空间向量的有关定理 〔1〕共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . 在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点 〔2〕共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b . 在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点 3、空间向量的数量积及运算律 〔1〕数量积及相关概念 ①两向量的夹角：两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，那么∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角， 记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，假设〈a ，b 〉＝π2 ，那么称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. 〔2〕空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 知识梳理
2018_2019学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2共面向量定理讲义
3．1.2 共面向量定理 [对应学生用书P50] 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，观察下列几组向量，回答问 题． 问题1：AB 、AD 、11A C 可以移到一个平面内吗？ 提示：可以，因为AC ＝11A C ，三个向量可移到平面ABCD 内． 问题2：1AA ，AC ，1AC 三个向量的位置关系？ 提示：三个向量都在平面ACC 1A 1内． 问题3：1BB 、1CC 、1DD 三个向量是什么关系？ 提示：相等． 1．共面向量 一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理 如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b . 1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面． 2．向量共面不具有传递性． 3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据． [对应学生用书P51]
[例1] 给出以下命题： ①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量； ③若存在有序实数组(x，y)使得OP＝x OA＋y OB，则O、P、A、B四点共面； ④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面； ⑤若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面． 其中正确命题的序号是________． [思路点拨] 先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断． [精解详析] ①错：空间中任意两个向量都是共面的； ②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向； ③正确：因为OP、OA、OB共面， ∴O、P、A、B四点共面； ④错：没有强调零向量； ⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量． [答案] ③ [一点通] 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理． 1．下列说法正确的是________(填序号)． ①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体； ②设平行六面体的三条棱是AB、 1 AA、AD，则这一平行六面体的对角线所对应的 向量是AB＋ 1 AA＋AD； ③若OP＝1 2 (PA＋PB)成立，则P点一定是线段AB的中点； ④在空间中，若向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共面． ⑤若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线确定的平面是同一个平面． 解析：①②③⑤不正确，④正确． 答案：④ 2．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b ＋22c，试问向量p、q、r是否共面？
专题4 空间向量及其运算的坐标表示 讲 义
专题1.4 空间向量及其运算的坐标表示 知识点一 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{}i ，j ，k ，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 知识点二 空间一点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA → ，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z)，使OA → ＝xi ＋yj ＋zk.在单位正交基底 {i ，j ，k}下与向量 OA → 对应的有序实数组(x ，y ，z)叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标． 知识点三 空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA → ＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z)，使a ＝xi ＋yj ＋zk.有序实数组(x ，y ，z)叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记作a ＝(x ，y ，z)． 知识点四 空间向量的坐标运算 设a ＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3)，有
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.1.3-3.1.4 Word版含答案
3.1.3空间向量基本定理 3.1.4空间向量的坐标表示 学习目标1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标． 知识点一空间向量基本定理 思考只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？ 答案不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直． 梳理空间向量基本定理 (1)定理内容： ． 不共面3e ，2e ，1e 条件：三个向量① ②结论：对空间中任一向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3. (2)基底： (3)推论： ①条件：O ，A ，B ，C 是不共面的四点． ②结论：对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP →＝x OA →＋y OB →＋z OC → . 知识点二空间向量的坐标表示 思考若向量AB → ＝(x 1，y 1，z 1)，则点B 的坐标一定为(x 1，y 1，z 1)吗？ 答 案 不一定．由向量的坐标表示知，若向量 AB →的起点A 与原点重合，则B 点的坐标为(x 1，y 1，z 1)，若向量AB →的起点A 不与原点重合，则B 点的坐标就不为(x 1，y 1，z 1)． 梳理(1)空间向量的坐标表示： ①向量a 的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作
为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，有序实数组(x ，y ，z )叫做向量a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )． ②向量OA →的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A (x ，y ，z )，向量OA →是确定的，即OA → ＝(x ，y ，z )． (2)空间中有向线段的坐标表示： 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， ①坐标表示：AB →＝OB →－OA → ＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)． ②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标． (3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则： (4)空间向量平行的坐标表示： 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a ≠0，则a ∥b ⇔b 1＝λa 1，b 2＝λa 2，b 3＝λa 3(λ∈R )． 1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{－a ，b,2c }也可构成空间的一个基底．(√) 2．若向量AP → 的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．(×) 3．在空间直角坐标系O －xyz 中向量AB → 的坐标就是B 点坐标减去A 点坐标．(√) 类型一空间向量基本定理及应用 命题角度1空间基底的概念 例1已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC → ＝e 1＋e 2－ 67 e 3，试判断{OA →，OB →，OC → }能否作为空间的一个基底． 解假设OA →，OB →，OC → 共面， 由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，
专题10 空间向量与立体几何 讲义(知识点+综合检测题)2022届高三数学快速提分精讲精炼(老高考)
专题10：空间向量与立体几何知识点与综合测试题 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+; BA OA OB a b =-=-; ()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合， 那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作 b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b
存在实数λ，使a ＝λb 。 （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ= <=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为a ± 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=> ) 1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存
人教版高中数学选择性必修一讲义1.2 空间向量的基本定理(精讲)(原卷版)
1.2 空间向量的基本定理 考点一 基底的判断 【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111 ABCD A B C D 中,可以作为空间向量的一组基底的是（）A．AB AC AD ，，B．11 AB AA AB ，， C． 11111 D A DC D D ，，D． 111 AC AC CC ，， 【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个 C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等 2．（2018·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( ) A ．{,,}a b b a a +- B ．{,,}a b b a b +- C ．{,,}a b b a c +- D ．{,,}a b c a b c +++ 3．（2018·开平市忠源纪念中学高二期末（理））若{a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑}构成空间的一组基底,则( ) A ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,a ⃑不共面 B ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b ⃑⃑不共面 C ．b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑不共面 D ．a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑不共面 考点二 基底的运用 【例2】（2019·佛山市荣山中学高二期中）如图,平行六面体1111ABCD A B C D -中,O 为11A C 的中点,AB a =,AD b =,1AA c =,则AO =（ ） A ．1122-++a b c B ．1122a b c ++ C ．1122a b c --+ D ．1122 a b c -+ 【一隅三反】 1．（2019·甘肃靖远。高二期末（理））如图,在三棱锥P ABC -中,点D ,E ,F 分别是AB ,PA ,CD 的中点,设PA a =,PB b =,PC c =,则EF =（ ）
高中数学立体几何(向量法)—建系讲义
立体几何（向量法）—建系 引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需 建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系” ，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系 例1（2012 高考真题重庆理19 ）（本小题满分12 分如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB=4，AC=BC=，3 D 为AB的中点 （Ⅰ）求点C到平面A1 ABB1的距离; （Ⅱ）若AB1 A1C 求二面角的平面角的余弦值. 【答案】解：（1）由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB.又CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，所以点 C 到平面A1ABB1 的距离为CD＝BC2－BD2＝ 5. （2）解法一：如图，取D1 为A1B1的中点，连结DD1，则DD1∥AA1∥CC1.又由（1）知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠ A1DD 1为所求的二面角A1－CD－C1 的平面角．
因A1D 为A1C 在面A1ABB1 上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠ A1AB1、∠A1DA都与∠ B1AB互余，因此∠ A1AB1＝ AA1 A1B12 ∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此AD1＝A1A11，即AA21＝AD·A1B1＝8，得AA1＝2 2. 从而A1D＝AA12＋AD2＝2 3. 所以，在Rt△A1DD1 中， DD1 AA1 6 cos∠A1DD1＝ A1D ＝ A1D ＝ 3 . 解法二：如图，过D作DD1∥AA1交A1B1于点D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD 1两两垂直．以D 为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴、y 轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz. 设直三棱柱的高为h，则A（－2,0,0），A1（－2,0，h），B1（2,0，h），C （0，5， 0），C1（0，5，h），从而A→B1＝（4,0，h），A→1C＝（2，5，－h）．由A→B1⊥ A→1C，有8－h2＝0，h＝2 2. 故D→A1＝（－2,0,2 2），C→C1＝（0,0,2 2），D→C＝ （0，5，0）． 设平面A1CD 的法向量为m＝（x1，y1，z1），则m⊥D→C，m⊥D→A1，即
2019-2020学年数学选修2-1人教B版新素养同步讲义：3.1-3.1.2 空间向量的基本定理
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3．1。2 空间向量的基本定理 1。了解共线向量的概念、向量与平面平行的意义．2。理解共线向量定理、共面向量定理、空间向量分解定理．3．会用适当的基底表示其他向量． 1．共线向量定理 两个空间向量a，b(b≠0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数x,使a＝x b． 2．共面向量定理 3．空间向量分解定理 如果三个向量a，b，c不共面,那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝p＝x a＋y b＋z c,这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作｛a，b，c}，其中a，b,c 都叫做基向量． 1．判断（正确的打“√"，错误的打“×"） （1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．( ) (2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．( ） (3）若a∥b，则存在惟一的实数λ,使a＝λb。（) （4)空间中任意三个向量一定是共面向量．( ) 答案：(1)×（2）×(3）×（4）× 2．已知λ∈R，则下列命题正确的是（） A．｜λa|＝λ|a| B．｜λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ｜｜a｜
D．|λa|＞0 答案：C 3．若e1，e2不共线,则下列各组中的两个向量a，b共线的是( ) A．a＝e1－e2，b＝错误!e1＋错误!e2 B．a＝错误!e1－错误!e2，b＝2e1－3e2 C．a＝错误!e1－错误!e2，b＝2e1－3e2 D．a＝e1＋e2，b＝错误!e1－错误!e2 答案：C 4．空间的任意三个向量a，b，3a－2b，它们一定是( ） A．共线向量 B．共面向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量 答案：B 共线向量的判定 如图，在平行六面体ABCD。A1B1C1D1中,M,N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE ＝2EA1，F在CC1上且CF＝错误!FC1，判断错误!与错误!是否共线？ 【解】由已知可得，错误!＝错误!＋错误!＋错误! ＝错误!错误!＋错误!＋错误!错误!＝－错误!＋错误!＋错误!错误! ＝错误!＋错误!＝错误!＝－错误!。 所以错误!＝－错误!， 故错误!与错误!共线． 在本例中，若M、N分别为AD1,BD的中点,证明错误!与错误!共线．
1.4空间向量的应用-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义
2.4 空间向量的应用 1、如图，直线α⊥l ，取直线l 的方向向量a ，则称向量a 为平面α为平面α的法向量给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合}|{0=⋅AP a P 2、求直线与平面所成的角 （1）设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n | . （2）线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉| 3、求二面角的大小 （1）如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉. （2）如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角). （3）二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补. 4、设a AP =，则向量AP 在直线l 上的投影向量u u a AQ )(⋅=，在APQ Rt ∆中，由勾股定理，得 2222)(||||u a a AQ AP PQ ⋅-=-= 5、点P 到平面α的距离是AP 在直线l 上的投影向量QP 的长度：| |||||||||||n n AP n n AP n n AP PQ ⋅=⋅=⋅= 知识梳理
专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理(解析版)
专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理 一、单选题 1．（2019·全国高二课时练习）已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ） A ．2a ，a ﹣b ，a +2b B ．2b ，b ﹣a ，b +2a C ．a ，2b ，b ﹣c D ．c ，a +c ，a ﹣c 【答案】C 【解析】 对于A ，因为2a = 43（a ﹣b ）+2 3（a +2b ），得2a 、a ﹣b 、a +2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A 不正确； 对于B ，因为2b = 43（b ﹣a ）+2 3 （b +2a ），得2b 、b ﹣a 、b +2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B 不正确； 对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a =λ•2b +μ（b ﹣c ）成立，故a 、2b 、b ﹣c 三个向量不共面， 它们能构成一个基底，C 正确； 对于D ，因为c =12（a +c ）﹣1 2 （a ﹣c ），得c 、a +c 、a ﹣c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D 不正确 故选：C ． 2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =， AB b =，AD c =，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c 表示1A N （ ） A ．12 a b c -++ B ．a b c -++ C ．12 a b c --+ D ．12 a b c -+ 【答案】A
【解析】 N 是BC 的中点， 11111 222 A N A A A B BN a b B C a b A D a b c ∴=++=-++=-++=-++. 故选：A. 3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ） A ．111 333OA OB OC ++ B ．111 234OA OB OC ++ C ．111244 OA OB OC ++ D ．111446 OA OB OC ++ 【答案】C 【解析】 在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点 ∴1 2 OG OA AD =+ 11 ()22OA AB AC =+⨯+ 1 ()4OA OB OA OC OA =+⨯-+- 111 244 OA OB OC =++ 故选:C. 4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，设AB a =， AD b =，1AA c =，则CE =（ ）