人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义 1.1空间向量及其运算(含解析)

1.1 空间向量及其运算

1、空间向量的有关概念

名称

定义 空间向量

在空间中，具有大小和方向的量 相等向量

方向相同且模相等的向量 相反向量

方向相反且模相等的向量 共线向量

(或平行向量)

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量

平行于同一个平面的向量

2、空间向量的有关定理

〔1〕共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .

在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点

〔2〕共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .

在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点

3、空间向量的数量积及运算律

〔1〕数量积及相关概念

①两向量的夹角：两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，那么∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，

记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，假设〈a ，b 〉＝π2

，那么称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.

〔2〕空间向量数量积的运算律：

①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )；

②交换律：a·b ＝b·a ；

③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .

知识梳理

题型一 空间向量根本关系

例1 向量,a b 互为相反向量，b ＝3，那么以下结论正确的选项是〔 〕

A ．a b =

B ．a b +为实数0

C ．a 与b 方向相同

D ．||a

＝3 【答案】D

【详解】

向量,a b 互为相反向量，

那么,a b 模相等、方向相反. 0a b +=.

应选：D.

1、以下说法正确的选项是〔 〕

A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底

B ．空间的基底有且仅有一个

C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等

【答案】C

【解析】

【分析】

根据空间向量根本定理判断选项可解.

【详解】

A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.

B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.

D 项中因为基底不唯一，所以D 错.

稳固练习 知识典例

2、在以下命题中：

①假设a 、b 共线，那么a 、b 所在的直线平行；

②假设a 、b 所在的直线是异面直线，那么a 、b 一定不共面；

③假设a 、b 、c 三向量两两共面，那么a 、b 、c 三向量一定也共面；

④三向量a 、b 、c ，那么空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++.

其中正确命题的个数为〔 〕

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】A

【详解】

①假设a 、b 共线，那么a 、b 所在的直线平行或重合；所以①错；

②因为向量是可以自由移动的量，因此即使a 、b 所在的直线是异面直线，a 、b 也可以共面；所以②错； ③假设a 、b 、c 三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此a 、b 、c 三向量不一定共面；所以③错； ④假设三向量a 、b 、c 共面，假设向量p 不在该平面内，那么向量p 不能表示为p xa yb zc =++，所以④错. 应选：A.

题型二 空间向量的表示

例 2 如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，AC 与BD 的交点为O ，点M 在BC '上，且2BM MC '=，那么以下向量中与OM 相等的向量是〔 〕

A ．172263A

B AD AA '-++ B ．151263

AB AD AA '-++ C ．112263AB AD AA '++ D ．111263

AB AD AA '-+

解：因为2BM MC '=，所以23BM BC '=， 在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，

OM OB BM =+

'2

3OB BC =+

'

12()23DB AD AA =++

'

12

()()23AB AD AD AA =-++

1

1

2

263AB AD AA '=++，

应选：C

【点睛】

1、在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，那么EF 等于〔

〕

A ．1

223EF AC AB AD →→→→

=+- B ．112223EF AC AB AD →

→→

→

=--+

C ．112223EF AC AB A

D →→→→=-+ D ．112223EF AC AB AD →

→→→

=-+-

【答案】B

解：在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，

所以EF EB BA AF →→→→=++

稳固练习

1223AB AC AB AD →→→→⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 112223AC AB AD →→→=--+， 即112223EF AC AB AD →→→→

=--+. 应选：B.

2、在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，假设记→→=AB a ，AD b →→=，AC c →→=，那么AG →

=______.

【答案】111244

a b c →→→

++

解：在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，

那么AG AB BG →→→

=+

12

AB BE →→=+ 11()22

AB BC BD →→→=+⨯+ 1()4AB AC AB AD AB →→→→→=+-+- 111442AB AC AD AB →

→→→=++- 111244

AB AD AC →→→=++. 故答案为：111244

a b c →→→

++.

题型三 基底问题

例 3 〔多项选择〕设a ，b ，c 是空间一个基底，那么( )

A ．假设a ⊥b ，b ⊥c ，那么a ⊥c

B ．那么a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面

C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z )，使p xa yb zc =++

D ．那么a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据基底的概念，对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】

对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2

，所以A 选项错误. 对于B 选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面.

对于C 选项，根据空间向量的根本定理可知，C 选项正确.

对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()

1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确.

应选：BCD

1、有以下命题： ①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；

②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；

③向量,,a b c 是空间的一个基底，那么向量,,a b a b c +-也是空间的一个基底．

其中正确的命题是〔 〕

A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．①②③

【答案】C

①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，

那么,a b 的关系是不共线；所以不正确．

反例：如果,a b 有一个向量为零向量，

共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．

②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底， 稳固练习

那么点,,,O A B C 一定共面；这是正确的．

③向量,,a b c 是空间的一个基底，那么向量,,a b a b c +-不共面，

也是空间的一个基底；所以正确．

应选：C ．

2、以下关于空间向量的命题中，正确的有______.

①假设向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，那么b a //；

②假设非零向量a ，b ，c 满足a b ⊥，b c ⊥，那么有//a c ；

③假设OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++，那么A ，B ，C ，D 四点共面； ④假设向量a b +，b c +，c a +，是空间一组基底，那么a ，b ，c 也是空间的一组基底.

【答案】①③④

【解析】

【分析】

根据空间向量根本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择. 【详解】

对于①：假设向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即//a b ，故①正确； 对于②：假设非零向量a ，b ，c 满足a b ⊥，b c ⊥，那么a 与c 不一定共线，故②错误；

对于③：假设OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且111333

OD OA OB OC =++，那么()()

1133OD OA OB OA OC OA -=-+-，即1133AD AB AC =+，可得到A ，B ，C ，D 四点共面，故③正确； 对于④：假设向量a b +，b c +，c a +，是空间一组基底，那么空间任意一个向量d ，存在唯一实数组(),,x y z ，使得()()()()()()d x a b y b c z x z a x c y b y a z c +=++++=+++++，那么a ，b ，c 也是空间的一组基底，故④正确.

故答案为：①③④

题型四 共面问题

例 4 点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，都有1133

OM xOA OB OC =++，那么x 的值是( )

A ．1

B ．0

C ．3

D ．13

【答案】D

【解析】 试题分析：因

1133OM xOA OB OC =++，那么M 、A 、B 、C 四点共面，必有13131=++

x ，解得3

1=x ，应选D ． 考点：空间向量的共面问题．

1、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，假设点F 是侧面CD 1的中心，且1AF AD mAB nAA =+-那么m ，n 的值分别为( ) A ．12，－12 B ．－12，－12 C ．－12，12 D ．12，12

【答案】A

由于11111()222

AF AD DF AD DC DD AD AB AA =+=++=++， 所以11,22

m n =

=-. 应选：A 【点睛】

2、设12,e e 是平面内不共线的向量，1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-假设A ，B ，D 三点共线，那么k =____.

【答案】8-

【解析】

【分析】

由A 、B 、D 三点共线、共线向量定理得关于k 的方程，即可得答案；

【详解】

12124,2BD CD CB e e AB e ke =-=-=+，

又A 、B 、D 三点共线，由共线向量定理得AB BD λ=，

∴2,84,

k k λλ=⎧⇒=-⎨=-⎩， 故答案为：8-.

题型四 数量积

例 4 a 、b 是异面直线，且a ⊥b ，12,e e 分别为取自直线a 、b 上的单位向量，且121223,4,a e e b ke e a b =+=-⊥，

稳固练习

那么实数k 的值为___.

【答案】6

【解析】

【分析】

根据向量垂直数量积为0，可得关于k 的方程，解方程即可得答案；

【详解】

由a b ⊥，得0a b ⋅=，

∴1212(23)(4)0e e e e +⋅-=，∴2120k -=，∴6k =.

故答案为：6.

如下图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量OA 与BC 的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

运用向量的减法表示向量BC ＝AC －AB ，再由向量数量积的定义分别求OA ·AC 和OA ·AB 可得答案.

【详解】

∵BC ＝AC －AB ，∴OA ·BC ＝OA ·AC －OA ·AB

＝OA AC ⋅|cos 〈OA AC ，〉－OA AB ⋅|cos 〈OA BA ⋅〉

＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162.

稳固练习

题型五 异面直线夹角

例 5 1BB ⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形，▱A 11B A B 、▱B 11B C C 的对角线都分别相互垂直且相等，假设AB ＝a ，求异面直线1BA 与AC 所成的角.

【答案】60°

【解析】

【分析】

根据几何体的特点，利用向量法求得1BA AC ⋅，以及对应的模长，那么问题得解. 【详解】

如下图.

因为11,BA BA BB AC AB BC

=+=+ 故()()

1111BA AC BA BB AB BC BA AB BA BC BB AB BB BC ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ 因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，

故2110,0,0,AB BC BB AB BB BC BA AB a ⋅=⋅=⋅=⋅=-

故21BA AC a ⋅=- 又111,BA AC BA AC cos BA AC ⋅=⋅⋅ 故211,222cos BA AC a a

==-⨯. 而[]1,0,BA AC π∈，故可得1,120BA AC =︒

<>， 又∵异面直线所成的角是锐角或直角，

∴异面直线BA 1与AC 成60°角.

如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ︒∠=∠=，12BC =，31=||AB

求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．

【答案】66

． 【分析】根据空间向量的夹角公式计算可得结果.

【详解】

因为1AB a b =+，

因为2211()1111111222)2(AB BC a b a c b a a c a b b a c b b ⋅=+⋅+-=+⋅+-⋅+⋅+⋅=+

-+=--， 所以11

111116cos ,623

AB BC AB BC AB BC ⋅<>===⨯． 所以异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为

66．

题型六 线段长度求解

例 6 ：如图，在60︒的二面角的棱上有A B 、两点，直线AC BD 、分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直AB ，4,6,8AB AC BD ===，那么CD =__________．

【答案】217

【解析】

CD CA AB BD =++，所以()()

222222CD CA AB BD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =++=+++⋅+⋅+⋅ 稳固练习

21636642068cos 011648683π⎛⎫=++++⨯⨯+=-= ⎪⎝⎭ ，所以217CD =，故填：217.

平行六面体1111ABCD A B C D -，11AD AA AB ===，1160A AB DAB DAA ∠=∠=∠=︒，111

3AC NC =，14D B MB =，设AB a =，AD b =，1AA c =；

〔1〕试用a 、b 、c 表示MN ；

〔2〕求MN 的长度；

【答案】〔1〕15312124MN a b c =-

++；〔2〕138||12

MN =. 【分析】 〔1〕1111MN MD D A A N =++根据空间向量的线性运算法那么，由此能求出结果．

〔2〕由15312124MN a b c =-

++．11AD AA AB ===，1160A AB DAB DAA ∠=∠=∠=︒，由此能求出MN 的长度． 【详解】

解：〔1〕1111MN MD D A A N =++

1113243

D B AD AC =--+ 132()()43

D D DB AD AB AD =-+-++ 332()()443

c a b b a b =---++ 15312124

a b c =-++． 〔2〕

15312124MN a b c =-++． 11AD AA AB ===，1160A AB DAB DAA ∠=∠=∠=︒，

1113AC NC =，14D B MB =，设AB a =，AD b =，1AA c

=； ∴22222153125915133()121241441441612122152212424

MN a b c a b c a b a c b c =-+⨯+++⨯-⨯+=⨯⨯⨯- 稳固练习

12591513532cos602cos602cos60144144161212124124=++-⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒ 413814=， MN ∴的长度为138||12

MN =．

题型七 共面证明

例 7 如图，、、、、、、、、为空间的个点，且，，，

，，，. 求证：〔1〕

、、、四点共面，、、、四点共面； 〔2〕

； 〔3〕

.

证明：〔1〕∵

，，∴A 、B 、C 、D 四点共面． ∵

，，∴E 、F 、G 、H 四点共面．

〔2〕，∴

. 〔3〕

.

如图，点M ，N 分别在对角线,BD AE 上，且11,33BM BD AN AE ==．求证：向量,,MN CD DE 共面．

【答案】证明见解析.

【分析】

由题意，在AD 上取点G ，使13AG AD =

，从而可证//GM CD ，//GN DE ，从而可证向量MN ，CD ，DE 共面． 【详解】

证明：如图，在AD 上取点G ，使13

AG AD =

， 又13BM BD =， //GM AB ∴，又

//AB CD ，

//GM CD ∴， 同理，//GN DE ，

故由GN 、GM 、MN 共面可知，

向量MN ，CD ，DE 共面．

稳固练习

1、以下命题中，假命题是〔 〕

A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比拟大小

B ．两个相等的向量，假设起点相同，那么终点也相同

C ．只有零向量的模等于0

D ．共线的单位向量都相等

【答案】D

【详解】

A.向量是有向线段，不能比拟大小.真命题.

B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，那么终点也相同.真命题.

C.零向量：模长为0的向量.真命题.

D .共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.

应选：D.

2、对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：623OP OA OB OC =++，那么〔

〕

A ．四点O ，A ，

B ，

C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面

C ．四点O ，P ，B ，C 必共面

D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，得到23AP PB PC =+，判定AP ，PB ，PC 共面，进而可得出结果.

【详解】

因为623OP OA OB OC =++，所以()()23OP OA OB OP OC OP -=-+-，

即23AP PB PC =+，

根据共面向量根本定理，可得AP ，PB ，PC 共面，

所以，P ，A ，B ，C 四点共面．

应选：B ．

3、在以下命题中：

稳固提升

①假设向量,a b 共线，那么,a b 所在的直线平行；

②假设向量,a b 所在的直线是异面直线，那么,a b 一定不共面；

③假设三个向量,a b c ，两两共面，那么,a b c ，三个向量一定也共面；

④三个向量,a b c ，，那么空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++.

其中正确命题的个数为〔 〕

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】A

【解析】

此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：假设三个向量,,a b c 两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：根据空间向量的根本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，所以选A

4、设向量,,a b c 不共面,那么以下可作为空间的一个基底的是( )

A ．{,,}a b b a a +-

B ．{,,}a b b a b +-

C ．{,,}a b b a c +-

D ．{,,}a b c a b c +++ 【答案】C

选项A,B 中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.

选项D 中，()a b c a b c ++=++，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，

所以不能作为空间的一个基底.

选项C 中,,a b b a c +-不共面,故可作为空间的一个基底.

应选：C .

5、如图，在空间四边形ABCD 中，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅=〔 〕

A ．1-

B ．1

C ．0

D ．不确定

【答案】C

【详解】 ()AB CD AC DB AD BC AD DB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅

AD CD DB CD AC DB AD BC =⋅+⋅+⋅+⋅

()AD CD DB CD AC AD BC =⋅+⋅++⋅

AD CD DB AD AD BC =⋅+⋅+⋅

()00AD CD DB BC AD =⋅++=⋅=.

应选：C.

6、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设AB a =,AD b =,1AA c =,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,那么BE =_____. 【答案】-12a+12

b+c 【详解】 如图,11111111(2

BE BB B E AA B C B A =+=+

+) =11(2AA AD AB +-)= 1122-++a b c

故答案为 1122-++a b c

7、在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，假设PA =a ，PB =b ，PC =c ，那么BE =_____．

【答案】

131222

a b c -+ 【详解】 解：)1(2BE BP BD =+=12(b -+BA BC +)=12b - +1(2PA PB PC PB -+-)=12b - +12(2)a c b +-=131222

a b c -+． 故答案为：131222a b c -+.

8、假设12a e e =+，23b e e =+，31e c e =+,12323d e e e ++=,假设123,,e e e 不共面,当d a b c αβγ=++时,α+β+γ=____.

【答案】3

【解析】

【分析】

由123()()()d e e e αγαβγβ=+++++,所以1,2,3,αγαβγβ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩

故有α+β+γ=3.

【详解】

由123()()()d e e e αγαβγβ=+++++,

所以1,2,3,αγαβγβ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩

故有α+β+γ=3.

故答案为3

9、如下图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，用向量OA ，OB ，OC 表示OP 和OQ

【答案】111633OP OA OB OC =

++；111366

OQ OA OB OC =++ 【解析】

【分析】 根据向量的加法、减法法那么及条件，先求出12OM OA =，1122ON OB OC =+，13MQ MN =，23MP MN =，再结合图形，运用向量加法，用空间向量根本定理表示出待求向量．

【详解】

因为M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，

所以12OM OA =，1122ON OB OC =+，13MQ MN =，23MP MN = 所以OP OM MP =+=1223OA MN +=12()23OA ON OM +-=121()232

OA ON OA +- =121233OA ON OA +-=1211()6322OA OB OC ++=111633

OA OB OC ++； OQ OM MQ =+=1123OA MN +=11()23OA ON OM +-=111()232

OA ON OA +- =1133OA ON +=1111()3322OA OB OC ++=111366OA OB OC ++

10、如下图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，,,AB a AD b AA c '===，P 是CA '的中点，M 是CD '的中点，

N 是C D ''的中点，点Q 在CA '上，且:4:1CQ QA '＝用基底{}a b c ，

，表示以下向量.

〔1〕AP ；〔2〕AM ；〔3〕AN ；〔4〕AQ .

【答案】〔1〕1()2AP a b c =

++；〔2〕1122AM a b c =++；〔3〕12AN a b c =++；〔4〕114555

AQ a b c =++.. 连接.AC AD '，

〔1〕P 是CA '的中点

111()()()222

AP AC AA AB AD AA a b c ''=+=++=++ 〔2〕M 是CD '的中点

1111()(2)2222

AM AC AD AB AD AA a b c ''=+=++=++ 〔3〕N 是C D ''的中点

1111()()(2)2222

AN AC AD AA AC AD AA AA AB AD AA a b c ''''''=+=+++=+++=++〔4〕点Q 在CA '上，且:4:1CQ QA '＝