空间向量讲义
空间向量教学讲义
教学内容
【新授课知识讲解】
知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：〔1〕向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
〔2〕空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下〔如图〕。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈
运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a
++=++
⑶数乘分配律：b a b a
λλλ+=+)(
3. 共线向量。
〔1〕如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线
向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a
//。
当我们说向量a 、b 共线〔或a //b 〕时，表示a 、b
的有向线段所在的直线可能是同
一直线，也可能是平行直线。
〔2〕共线向量定理：空间任意两个向量a 、b 〔b ≠0 〕，a //b 存在实数λ，使a
＝λb 。
4. 共面向量
〔1〕定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。
〔2〕共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数
,x y 使p xa yb =+。
5. 空间向量根本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
假设三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，那么对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
6. 空间向量的直角坐标系：
〔1〕空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使
++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，
记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
〔2〕假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示。
〔3〕空间向量的直角坐标运算律：
①假设123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，那么112233(,,)a b a b a b a b +=+++，
112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++，
112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。
②假设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，那么212121(,,)AB x x y y z z =---。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
〔4〕模长公式：假设123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 那么21||a a a a =
⋅=+21||b b b b =⋅=+〔5〕夹角公式：21cos ||||a b
a b a b a ⋅⋅=
=⋅+。
〔6〕两点间的距离公式：假设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，
那么2
||(AB AB =
=，
或,A B d =
7. 空间向量的数量积。
〔1〕空间向量的夹角及其表示：两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作
,OA a OB b ==，那么AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定
0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；假设,2
a b π
<>=
，那么称a 与b 互相垂直，
记作：a b ⊥。
〔2〕向量的模：设OA a =，那么有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：
||a 。
〔3〕向量的数量积：向量,a b ，那么||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作
a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>。
〔4〕空间向量数量积的性质：
①||cos ,a e a a e ⋅=<>。②0a b a b ⊥⇔⋅=。③2
||a a a =⋅。 〔5〕空间向量数量积运算律：
①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅。②a b b a ⋅=⋅〔交换律〕。 ③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅〔分配律〕。 【典型例题】
1.在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，那么a ·(b ＋c )的值为( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．－2
2.(2021·太原高二期末)设空间有四个互异的点A ，B ，C ，D ，(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →
)＝0，那么△ABC 是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
3.i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，那么a ·b 等于________．
4.|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，那么a 与b 的夹角大小为________．
5.|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，m ⊥n ，那么λ＝________．
6.空间向量a ，b ，c 两两夹角都是60°，其模都是1，那么|a －b ＋2c |＝________．
【典型例题】
1.a ＝(1，－2，1)，a ＋b ＝(－1，2，－1)，那么b 等于( ) A ．(2，－4，2) B ．(－2，4，－2) C ．(－2，0，－2)
D ．(2，1，－3)
2.i ，j ，k 是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向上的单位向量，且AB →＝－
i ＋j －k ，那么B 点的坐标为( )
A ．(－1，1，－1)
B ．(－i ，j ，－k )
C ．(1，－1，－1)
D ．不确定
3.空间三个向量a ＝(1，－2，z )，b ＝(x ，2，－4)，c ＝(－1，y ，3)，假设它们分别两两垂直，那么x ＝________，y ＝________，z ＝________．
4.△ABC 的三个顶点为A (3，3，2)、B (4，－3，7)、C (0，5，1)，M 为BC 的中点，那么|AM →
|＝________．
5.向量a ＝(4，－2，4)，b ＝(6，－3，2)，那么以下结论正确的选项是( )
A ．a ＋b ＝(10，－5，－6)
B ．a －b ＝(2，－1，－6)
C ．a ·b ＝10
D ．|a |＝6
6.(2021·武汉高二检测)向量a ＝(2，－3，5)与向量b ＝(－4，x ，y )平行，那么x ，y
的值分别是( )
A ．6和－10
B ．－6和10
C ．－6和－10
D ．6和10
7.向量a ＝(2，－3，3)，b ＝(1，0，0)，那么cos 〈a ，b 〉＝( )
A ．0 B.12 C.22
D.32
8.(2021·台州高二期末)a ＝(2，－1，1)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(λ，5，1)，假设
向量a ，b ，c 共面，那么λ＝________．
9.空间四点A 、B 、C 、D 的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－
1，－2)，假设p ＝AB →，q ＝CD →
.
求(1)p ＋2q ；(2)3p －q ；(3)(p －q )·(p ＋q )．
10.a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，那么a ＋b 与a －b 的夹角是( )
A ．90°
B ．60°
C ．30°
D ．0°
11.a ＝(1－t ，1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，那么|b －a |的最小值是( )
A.55
B.
555
C.
35
5
D.115
12.点A ，B ，C 的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P 的坐标为(x ，
0，z )，假设PA →⊥AB →，PA →⊥AC →
，那么点P 的坐标为________．
13.向量a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，以及点A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2)．
(1)求|2a ＋b |；
(2)在直线AB 上是否存在一点E ，使OE →
⊥b (O 为原点)．
【题型介绍】
这章学习的内容是在平面向量的根底上进一步去学习的，在高考也是重点内容，固定一道大题，外加不定的选择和填空题，所以学好这章极为重要。
【课堂训练】
1.设直线l1的方向向量为a＝(2，1，－2)，直线l2的方向向量为b＝(2，2，m)，假设l1⊥l2，那么m＝( )
A．1 B．－2
C．－3 D．3
2.线段AB的两端点的坐标为A(9，－3，－4)，B(9，2，1)，那么线段AB与哪个坐标平面平行( )
A．xOy B．xOz
C．yOz D．xOy与yOz
3.设O为坐标原点，OA→＝(1，1，2)，OB→＝(3，2，8)，那么线段AB的中点P的坐标为________．
4.点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM→＝xOA→＋1
3
OB→＋
1
3
OC→，那么x的值为________．
5.设两条直线所成角为θ(θ为锐角)，那么直线方向向量的夹角与θ( )
A．相等B．互补
C．互余D．相等或互补
6.A、B、C三点的坐标分别为A(4，1，3)、B(2，－5，1)、C(3，7，λ)，假设AB→⊥AC→，
那么λ等于( )
A ．28
B ．－28
C ．14
D ．－14
7.l 1的方向向量为v 1＝(1，2，3)，l 2的方向向量v 2＝(λ，4，6)，假设l 1∥l 2，那么λ等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8.两异面直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，假设cos 〈v 1，v 2〉＝－12
，那么l 1与l 2所成角为________．
9.假设AB →
＝λCD →
＋μCE →
(λ，μ∈R )，那么直线AB 与平面CDE 的位置关系是________． 10.A (2，1，0)，点B 在平面xOz 内，假设直线AB 的方向向量是(3，－1，2)，求点B
的坐标．
11.直线l 1的方向向量a ＝(2，4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y ，2)，假设|a |＝6，
且a ⊥b ，那么x ＋y 的值是( )
A ．－3或1
B ．3或－1
C ．－3
D ．1
12.正六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，那么这个棱柱的侧面对
角线E 1D 与BC 1所成的角是( )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
13.直线l 的方向向量v ＝(2，－1，3)，且过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，那么y
＝________，z ＝________．
14.正方体AC 1中，O 1为B 1D 1的中点，求证：BO 1∥平面ACD 1.
【稳固训练】
1.假设n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，那么以下向量中能作平面α法向量的是()
A．(0，－3，1)B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
2.假设平面α与β的法向量分别是a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)，那么平面α与平面β的关系是()
A．平行B．垂直
C．相交但不垂直D．无法判断
3.平面α，β的法向量分别为m＝(1，2，－2)，n＝(－2，－4，k)，假设α⊥β，那么k 等于________．
4.A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，那么平面ABC的单位法向量坐标为________．
【稳固训练】
1.假设直线l的方向向量为a＝(－1，0，－2)，平面α的法向量为u＝(4，0，8)，那么()
A．l∥αB．l⊥α
C．l⊂αD．l与α斜交
2.平面α上的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，那么平面α的一个法向量为()
A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)
3.
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ACC1的一个法向量可以是() →
A.BC
→
B.A1B1
→
C.BB1
→
D.BD
4.l ∥α，且l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，1
2，2，那么m ＝________．
5.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，那么AE →与平面A 1D 1F
的关系为________．
6.
如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1
2
，
求平面SCD 的一个法向量．
7.平面α过点A (1，－1，2)，法向量为n ＝(2，－1，2)，那么以下点在α内的是( ) A ．(2，3，3) B ．(3，－3，4) C ．(－1，1，0) D ．(－2，0，1) 8.(2021·杭州高二检测)直角三角形ABC 的直角边AB 在平面α内，其中∠B 为直角，顶点C 在α外，且C 在α内的射影为C 1(C 1不在AB 上)，那么△ABC 1是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．以上都有可能 9.
如下图，矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，假设在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，那么a 的值等于________．
10.在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，∠PBA ＝60°，底面ABCD 是直角梯形，
∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝1
2
AD .
求证：平面PCD ⊥平面P AC .
【课堂回忆】
1．了解空间向量的根本概念；掌握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；了解空间向量共面的概念及条件；理解空间向量根本定理.
2．理解空间直角坐标系的概念，会用坐标来表示向量；理解空间向量的坐标运算. 【课后作业】
1.平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，那么斜线与平面所成角的大小为( )
A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．120°
2.假设直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，那么直线l 与平面α所成的角等于( )
A ．120°
B ．60°
C ．30°
D ．以上均错
3.假设平面α的一个法向量为n ＝(3，3，0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1，1，1)，那么l 与α所成角的余弦值为________．
4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正切值为________．
5.直线l 与平面α所成角为π
6
，直线m 在平面α内且与直线l 异面，那么直线l 与m 所
成角取值范围为( )
A ．[π6，π2]
B ．[0，π6]
C ．[π3，π2]
D ．[π6，56π]
6.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )
A.23
B.33
C.23
D.63
7.AB ⊥平面α于B ，BC 为AC 在α内的射影，CD 在α内，假设∠ACD ＝60°，∠BCD ＝45°，那么AC 和平面α所成的角为( )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
8.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(0，2，1)，b ＝(2，5，5)，那么这条斜线与平面的夹角为________．
9.空间四边形ABCD 各边和对角线的长都相等，那么AC 与平面BCD 所成角的正弦值为________．
10.正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．
11.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，那么AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为( )
A.33
B.12
C.66
D.32
12. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，P A ⊥底面
ABCD ，且P A ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点，那么BD 与平面ADMN 所成的角θ为( )
A ．30°
B ．60°
C．120°D．150°
13.等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，假设AC与α成30°角，那么斜边上的中线CM与平面α所成角的大小为________．
高考数学讲义空间向量与立体几何.知识框架
空间向量在立体几何中的应 用 要求层 次 重难点 空间直 角坐标 系 空间直角坐标系 B （1）空间直角坐标系 ①了解空间直角坐标系，会用空间 直角坐标表示点的位置． ②会推导空间两点间的距离公式． （2）空间向量及其运算 ①了解空间向量的概念，了解空间 向量的基本定理及其意义，掌握空 间向量的正交分解及其坐标表示． ②掌握空间向量的线性运算及其 坐标表示． ③掌握空间向量的数量积及其坐 标表示，能运用向量的数量积判断 向量的共线与垂直． 空间两点间的距离 公式 B 空间向 量的应 用 空间向量的概念 B 空间向量基本定理 A 空间向量的正交分 解及其坐标表示 B 空间向量的线性运 算及其坐标表示 C 空间向量的数量积 及其坐标表示 C 运用向量的数量积 判断向量的共线与 垂直 C 空间向量在立体几何中的应 用 要求层 次 重难点 空间直 角坐标 系 空间直角坐标系 B （1）空间直角坐标系 ①了解空间直角坐标系，会用空间 直角坐标表示点的位置． 空间两点间的距离 公式 B 空间向空间向量的概念 B 高考要求 模块框架 空间向量与立体几何.知识框 架
量的应用 空间向量基本定理 A ②会推导空间两点间的距离公式． （2）空间向量及其运算 ①了解空间向量的概念，了解空间 向量的基本定理及其意义，掌握空 间向量的正交分解及其坐标表示． ②掌握空间向量的线性运算及其 坐标表示． ③掌握空间向量的数量积及其坐 标表示，能运用向量的数量积判断 向量的共线与垂直． 空间向量的正交分 解及其坐标表示 B 空间向量的线性运 算及其坐标表示 C 空间向量的数量积 及其坐标表示 C 运用向量的数量积 判断向量的共线与 垂直 C 知识内容
空间向量及其运算讲义
空间向量及其运算讲义 一、知识梳理 1．空间向量的有关概念 2.(1)共线向量定理 空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0) a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模 |a | a 21＋a 22＋a 2 3 夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 23· b 21＋b 22＋b 23 注意：1．向量三点共线定理 在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC → (其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点． 2．向量四点共面定理 在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → (其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间中任意一点． 二、基础检测 题组一：思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) (5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA → ＝0.( ) (6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．( ) 题组二：教材改编 2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→ ＝c ，则下列向量中与BM → 相等的向量是( ) A ．－12a ＋1 2b ＋c B.12a ＋1 2b ＋c C ．－12a －1 2 b ＋c D.12a －1 2 b ＋c
1.1空间向量及运算新课讲义-2021-2022高一下学期数学人教B版(2019)选择性必修一
1 2(AB x =一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。11(x ,y ,z a =22(x ,y b =，则 12112(x ,y )a b x z +=++， 12112(x ,y )a b x z -=--， 111(,,)a x y z R λλλλ=， 12a b x x y ⋅=+12//x a b x ⇔=12a b x x ⊥⇔+211||x a y =+222|x b y =++夹角公式：2 1cos ||||x a b a b a b ⋅⋅==⋅+（3）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222121|()()()AB x y y z z =+-+-空间向量的共面定理 （1）ABCD ,(OD xOA yOB zOC x y =+++（2）a b c ， ，向量共面：a xb yc =+
2 典例解析 考点一：概念的判断 例1．若空间向量a 与b 不相等，则与a ，b 一定( ) A ．有不同的方向 B ．有不相等的模 C ．不可能是平行向量 D ．不可能都是零向量 变式1：下列命题中，不正确的命题的个数是（ ） ①空间向量任意五边形ABCDE ，则0;AB BC CD DE EA ++++=②若//,a b a 则所在的直线与b 所在的直线平行；③空间任意两非零向量a ，b 共面；④空间向量a 平行于平面α，则a 所在的直线平行于平面α. A.1 B.2 C.3 D.4 变式2 给出下列命题： ①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量,a b 满足||||a b =，则a b =；④若空间向量 ,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 考点二：空间向量的线性运算 例2．如图在长方体1111D C B A ABCD -中，O 为AC 中点。 (1)化简：11122 AO AB AD -- (2)设E 是棱1DD 上的点，且123DE DD = ，若1EO=xAB yAD zAA ++试求,,x y z 的值。
空间向量讲义
空间向量教学讲义 教学内容 【新授课知识讲解】 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：〔1〕向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 〔2〕空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下〔如图〕。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 〔1〕如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线 向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 当我们说向量a 、b 共线〔或a //b 〕时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线。 〔2〕共线向量定理：空间任意两个向量a 、b 〔b ≠0 〕，a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。 4. 共面向量 〔1〕定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 〔2〕共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数
,x y 使p xa yb =+。 5. 空间向量根本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。 假设三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，那么对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： 〔1〕空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标， 记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 〔2〕假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示。 〔3〕空间向量的直角坐标运算律： ①假设123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，那么112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。
第1章 1.1.1 空间向量及其运算-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修一讲义
1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算 学 习目标核心素养 1．了解空间向量、向量的模、零向量、相反向 量、相等向量、共面向量等概念．(重点) 2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量 的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算 律．(重点、易混点) 3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算 律．(重点、易错点) 1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽 象素养． 2．借助于空间向量的线性运算，提升数学运算 素养． 3．借助于空间向量的数量积，提升数学运算及 逻辑推理的数学素养． 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 图1图2 1．空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法：
①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB →|． ②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 2．几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面． 思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？ [提示] 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面． 3．空间向量的线性运算 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 图1 图2 (1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC → ＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→ ． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a ，则实数λ与空间向量a 相乘的运算称为数乘向量，记作λa ．其中： ①当λ≠0且a ≠0时，λa 的模为|λ||a |，而且λa 的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a 的方向相同；
高中数学第1部分第3章3.1空间向量及其运算3.1.2共面向量定理讲义含解析苏教版选修2_1
3．1.2 共面向量定理 [对应学生用书P50]如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，观察下列几组向量，回答问 题． 问题1：、、可以移到一个平面内吗？ 提示：可以，因为＝，三个向量可移到平面ABCD内． 问题2：，，三个向量的位置关系？ 提示：三个向量都在平面ACC1A1内． 问题3：、、三个向量是什么关系？ 提示：相等． 1．共面向量 一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x a＋y b. 1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面．2．向量共面不具有传递性． 3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据． [对应学生用书P51] [例1] 给出以下命题：
①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD ，则由四条线段AB 、BC 、CD 、DA 分别确定的四个向量之和为零向量； ③若存在有序实数组(x ，y )使得＝x ＋y ，则O 、P 、A 、B 四点共面； ④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面； ⑤若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量共面． 其中正确命题的序号是________． [思路点拨] 先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断． [精解详析] ①错：空间中任意两个向量都是共面的； ②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向； ③正确：因为、、共面， ∴O 、P 、A 、B 四点共面； ④错：没有强调零向量； ⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量． [答案] ③ [一点通] 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理． 1．下列说法正确的是________(填序号)． ①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体； ②设平行六面体的三条棱是、、，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是＋＋； ③若＝1 2 (＋)成立，则P 点一定是线段AB 的中点； ④在空间中，若向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共面． ⑤若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线所确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面是同一个平面． 解析：①②③⑤不正确，④正确． 答案：④ 2．已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，试问向量p 、q 、r 是否共面？ 解：设r ＝x p ＋y q ， 则－7a ＋18b ＋22c ＝x (a ＋b －c )＋y (2a －3b －5c ) ＝(x ＋2y )a ＋(x －3y )b ＋(－x －5y )c ，
人教版选修21第三章空间向量的基本定理讲义
人教版选修21第三章空间向量的基本定理讲义 讲堂合作研究 重点难点突破 知识点一 共线向量定理 （1）定理内容：对空间两个向量()0,≠b b a ，b a //的充要条件是存在唯一的实数x ， 使xb a =。此定理可以分化为以下两个命题；①若()0//≠b b a ，则存在唯一实数x ，使xb a =。②存在实数x ，使()0≠=b xb a ，则b a //。 （2）在定理中为什么要准则0≠b 呢?当时0=b ，若0=a ，则b a //，也存在实数x 使xb a =；但若0≠a ，我们知道零向量和任一非零向量共线，但不存在实数x ，使xb a =，因此在定理中准则了0≠b 。若将定理写成xa b b a =⇔//，则应准则0≠a 。 说明：①在xb a =功中，敷衍确定的x 和b ，xb a =功表示空间与b 平行或共线且长度为xb 的所有向量；②利用共线向量定理可以证明两线平行，或三点共线。 知识点二 共面向量定理 （1）共面向量 已知向量a ，作a OA =，要是OA 的基线平行于平面a ，记作α//a （右 图），通常我们把平行于联合平面的向量，叫做共面向量。 说明：①α//a 是指a 的基线在平面α内或平行平面α。②共面向量是指这些向量的基线平行或在联合平面内，共面向量的基线可能相交、平行或异面。 我们已知，对空间恣意两个向量，它们总是共面的，但空间恣意三个向量就不一定共面了。比方，在下图中的长方体，向量AB 、AC 、AD ，无论怎样平移都不能使它们在联合平面内。 （2）共面向量定理 共面向量定理：要是两个向量a 、b 不共线，则向量c 与向量a 、 b 共面的充要条件是，存在唯一的一对实数y x ,，使yb xa c +=。 说明：①在证明充要条件标题时，要证明两个方面即充分性和必要性。
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量的坐标讲义(含解析)湘教版选修2-1-湘教版高
3．2空间向量的坐标 [读教材·填要点] 1．定理1 设e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则 (1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3. (2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′. 2．定理2(空间向量基本定理) 设e1，e2，e3是空间中三个不共面的单位向量，则 (1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3. (2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′. 3．空间向量运算的坐标公式 (1) 向量的加减法： (x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)， (x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)． (2)向量与实数的乘法： a(x，y，z) ＝(ax，ay，az)． (3)向量的数量积： (x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (4)向量v＝(x，y，z)的模的公式： |v|＝x2＋y2＋z2. (5)向量(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)所成的角α的公式： cos α＝ x1x2＋y1y2＋z1z2 x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22 . 4．点的坐标与向量坐标 (1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
18空间向量-拔高难度-讲义
空间向量 知识讲解 一、空间向量基本知识 1.空间向量的定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示．用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0（不是0）． 注：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a，AB． 3.模：表示向量a的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a 4.方向：有向线段的方向表示向量的方向． 5.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线． 6.共线向量（平行向量）：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． 注：a平行于b记为a b ∥． 7.运算：向量的加法、减法与数乘向量运算：与平面向量类似； 二、空间向量的基本定理 共线向量定理：对空间两个向量a，b（0 b≠），a b ∥的充要条件是存在实数λ，使 → → =b aλ． 共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c xa yb =+． 空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组（x，y，z），使p xa yb zc =++． 注：表达式xa yb zc ++，叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合． 上述定理中，a，b，c叫做空间的一个基底，记作{} a b c ，，，其中a b c ，，都叫做基向量．
由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 三、空间向量内容 1.两个向量的夹角：已知两个非零向量a b ， ，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉， ．通常规定0πa b 〈〉≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉， ，．如果90a b 〈〉=，°，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥． 2.两个向量的数量积：已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为： ||||cos a b a b a b ⋅=〈〉， 数量积的性质： 1）||cos a e a a e ⋅=〈〉， ，→ e 为单位向量 ； 2）0=⋅⇔⊥→ →→→b a b a ； 3）2||a a a =⋅； 4）a b a b ⋅||≤||||． 数量积满足如下运算律： 1）()()a b a b λλ⋅=⋅； 2）a b b a ⋅=⋅； 3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． 3.空间向量的直角坐标运算： 建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k ，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ，，，这个基底叫做单位正交基底． 空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k ；， ，． 4.投影和坐标 投影：在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一数组()z y x ,,， 使→ → → → ++=k z j y i x a ，其中→ → → k z j y i x ,,分别叫做向量a 在i j k ，， 方向上的分量或投影， 坐标：有序实数组()z y x ,,叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作 ()z y x a ,,=→ ．
专题3 空间向量基本定理 讲义
专题1.3 空间向量基本定理 知识点一 空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z)，使得p ＝xa ＋yb ＋zc. 我们把{a ，b ，c}叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量． 知识点二 空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i ，j ，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a ，均可以分解为三个向量xi ，yj ，zk 使得a ＝xi ＋yj ＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三 证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a ，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb. (2) 如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y)，使p ＝xa ＋yb. 知识点四 求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b|. (2)若a ，b 是非零向量，则a∥b ⇔a·b ＝0. 知识点五 求距离(长度)问题 ||a ＝a·a( ||AB →＝AB →·AB → )． 【题型1 空间向量基底的判断】 【例1】（2020秋•嘉祥县校级期中）已知{a → ，b → ，c → }是空间向量的一个基底，则与向量p → =a → +b → ，q → =a → −b → 可构成空间向量基底的是（ ） A ．a → B ．b → C ．a → +2b → D ．a →+2c → 【变式1-1】（2020秋•桃城区校级期中）已知{e 1→ ，e 2→ ，e 3→ }是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空 间一个基底的是（ ）
1.1 空间向量及其运算讲义(选择性必修一)
1.1 空间向量及其运算讲义（选择性必修一） 一、知识框架
二、考点解析 考点一 概念的辨析 【例1】下列命题中，假命题是（ ） A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C ．只有零向量的模等于0 D ．共线的单位向量都相等 【跟踪练习】 1．在下列命题中： ①若向量,a b 共线，则,a b 所在的直线平行； ②若向量,a b 所在的直线是异面直线，则,a b 一定不共面； ③若三个向量,a b c ，两两共面，则,a b c ，三个向量一定也共面； ④已知三个向量,a b c ，，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.在下列命题中： ①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行； ②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面； ④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考法二 空间向量的线性运算 【例2】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（ ） A ．1223 EF AC AB AD → →→→ =+- B ．112223EF A C AB A D → →→→ =--+ C ．112223 EF AC AB AD →→→→ =-+ D ．112223 EF AC AB AD →→→→ =-+-
空间向量及其运算(讲义及答案)
1 / 10 空间向量及其运算（讲义） ➢ 知识点睛 一、空间向量的定义及定理 1. 定义：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2. 空间向量的有关定理及推论 （1）共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b （b ≠0），a ∥b 的充要条件是：存在实数λ，使__________． 扩充：对空间三点P ，A ，B ，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线： ①PA PB λ−−→ −−→ =； ②对空间任一点O ，OP OA t AB −−→ −−→ −−→ =+； ③对空间任一点O ，1OP x OA y OB x y −−→ −−→ −−→ =++=（）． （2）共面向量定理 如果两个向量a ，b __________，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是：存在________的有序实数对(x ，y )，使____________． 扩充：对空间四点P ，M ，A ，B ，可通过证明下列任意一个结论成立来证明四点共面： ①MP x MA y MB −−→ −−→ −−→ =+； ②对空间任一点O ，OP OM x MA y MB −−→−−→−−→−−→ =++； ③对空间任一点O ，1OP xOM y OA z OB x y z −−→ −−→ −−→ −−→ =++++=（ ④PM −−→ ∥AB −−→ （或PA −−→ ∥MB −−→ 或PB −−→ ∥AM −−→ ）． （3 ）空间向量基本定理 l
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得___________________________． 其中，__________叫做空间的一个基底． 二、空间向量的线性运算 类比平面向量 三、空间向量的坐标运算 a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)（a，b均为非零向量）： a+b=____________________，a-b=_____________________， λa=_____________________； a b⋅=__________________，a=____________________； cos
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算讲义新人教A版
3.1.3 空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角 如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b □05互相垂直，记作□06a ⊥b . 2．空间向量的数量积 两个向量数量积的性质： (1)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔□12a·b ＝0； (2)若a 与b 同向，则a·b ＝□13|a ||b |； 若反向，则a·b ＝□ 14－|a ||b |； 特别地：a·a ＝|a |2 (3)若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝□ 16a·b |a ||b |； (4)|a·b |□ 17≤|a ||b |.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于空间任意两个非零向量a ，b ，a ∥b 是〈a ，b 〉＝0的充要条件．( ) (2)若a 2 ＝b 2 ，则a ＝b 或a ＝－b .( ) (3)若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的充要条件．( ) (4)在△ABC 中，〈AB →，BC → 〉＝∠B .( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．做一做 (1)(教材改编P 92T 3)已知空间四边形的每条边和对角线长都是a ，点E ，F ，G 分别为AB ， AD ，DC 的中点，则a 2等于( ) A ．2BA →·AC → B ．2AD →·BD → C ．2FG →·CA → D ．2EF →·BC → (2)若向量a 与b 满足|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π 3，则a·b ＝________. (3)已知|a |＝2，|b |＝ 22，a ·b ＝－2 2 ，则a 与b 的夹角为________． (4)已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________. 答案 (1)B (2)1 (3)135° (4)1 8 解析 (1)∵AD →与BD →的夹角为60°，|AD →|＝|BD → |＝a ， ∴2AD →·BD →＝2|AD →||BD →|cos60°＝2×a ×a ×12＝a 2 . 探究1 求向量的数量积 例1 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F 分别是AB ， AD 的中点，计算：
高中数学第1部分第3章3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算讲义含解析苏教版选修2_1
3．1.1 空间向量及其线性运算 [对应学生用书P48] 春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来． 问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？ 提示：是． 1．空间向量 (1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量． (2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示． 2．相等向量 凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量. 问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算． 提示：利用平行四边形法则、三角形法则等． 问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？ 提示：交换律、结合律、分配律． 1．空间向量的加减运算和数乘运算 ＝＋＝a＋b，＝－＝a－b， ＝λa(λ∈R)． 2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R). 空间中有向量a，b，c(均为非零向量)． 问题1：向量a与b共线的条件是什么？ 提示：存在惟一实数λ，使a＝λb. 问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？ 提示：一定；不一定． 1．共线向量或平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量． 向量a与b平行，记作a∥b. 规定，零向量与任何向量共线． 2．共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa. 1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则． 2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍． 3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行． [对应学生用书P49] [例1] 下列四个命题： (1)所有的单位向量都相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；
空间向量及其坐标的运算(精讲) 讲义
1.3 空间向量及其坐标的运算 1.空间向量的坐标表示 (1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz， 那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x，y，z)． (2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则OP的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了. 2．空间向量的坐标运算 3．(1)空间向量a，b，其坐标形式为：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)a·a＝|a|2＝ 222 123 a a a ++ . 3.空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 【题型精讲】 考点一坐标的运算 【例1】（1）（2020·宜昌天问教育集团高二期末）设 ,x y R ∈，向量(,1,1),b(1,,1),c(2,4,2) a x y ===-，,c a c b ⊥，则|| a b +=（） A．B C．3D．4
2020版高考数学一轮复习第7章立体几何第6讲空间向量及运算讲义理(含解析)
第6讲 空间向量及运算 1．空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式 ①设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则|AB |＝□ 01 x 1－x 2 2 ＋y 1－y 2 2 ＋z 1－z 2 2 . ②设点P (x ，y ，z )，则与坐标原点O 之间的距离为 |OP |＝□02 x 2＋y 2＋z 2. (2)中点公式 设点P (x ，y ，z )为P 1 (x 1 ，y 1 ，z 1 )，P 2 (x 2 ，y 2 ，z 2 )的中点，则□03⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋x 22， y ＝y 1 ＋y 2 2 ，z ＝z 1 ＋z 2 2 . 2．空间向量的数量积 a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． 3．空间向量的坐标运算 a ＝(a 1，a 2，a 3)， b ＝(b 1，b 2，b 3)(a ，b 均为非零向量)：
1．概念辨析 (1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同．( ) (2)在向量的数量积运算中(a·b )·c ＝a ·(b·c )．( ) (3)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (4)对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC → (其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．小题热身 (1)如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD → ＝ b ，AA 1→＝ c ，则下列向量中与BM → 相等的向量是( )
专题10 空间向量与立体几何 讲义(知识点+综合检测题)2022届高三数学快速提分精讲精炼(老高考)
专题10：空间向量与立体几何知识点与综合测试题 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+; BA OA OB a b =-=-; ()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合， 那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作 b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b
存在实数λ，使a ＝λb 。 （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ= <=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为a ± 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=> ) 1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存
空间向量与立体几何讲义
空间向量与立体几何 一．空间向量及其运算 1．空间向量及有关概念 （1）共线向量定理：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量 或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直 线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式 A O P O =a t + ①其中向量a 叫做直线l 的方向向量。在l 上取a AB =，则①式可化为 .)1(t t +-= ②当21 = t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(2 1+= ③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。 （2）向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a 在α平面内，我们就说向量 a 平行于平面α，记作a ∥α。注意：向量a ∥α与直线a ∥α的联系与区别。 共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。 共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、 y ，使.b y a x p +=① 推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使,y x +=④或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ++=⑤在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。①式叫做平面MAB 的向量表示式。又∵.,OM OA MA -=.OM -=代入⑤，整理得 .)1(y x y x ++--= ⑥ 由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。 2.空间向量的运算及运算律与平面向量相同 二．空间向量基本定理 如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x , y , z , 使 .c z b y a x p ++= 说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是 {}R z y x c z b y a x p p ∈++=、、,| ，这个集合可看作由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a ，b ，c }